LIVRE V, C H A P. X

ïiomé philosophe se proposera donc la quesiion intéressante, sî Pétat actuel du système planétaire est stable; s'il changera indéfiniment, ou s'il ne fera que des oscillations entre des limites resserréesj ou en d'autres mots , si les lois physiques que l'Auteur de la nature lui a prescrites , sont telles , que la marche de la grande machine ne pourra jamais être dérangée , ou que cette machine se détruira elle-même , et finira par retomber dans le néant. Voilà des questions qui ne peuvent être indifférentes à quiconque a eu l'occasion d'admirer l'arrangement sage, et la beauté métaphysique de la nature en grand; et un système d'astronomie ne pourra être terminé plus convenablement, qu'en tirant du détail pénible du calcul de tous les mouvemens compliqués des corps célestes, des résultats généraux, également importans pour l'astronome et pour le philosophe, qui concernent la destinée de l'univers dans le cour^ éternel des tems. Ces résultats qui font l'objet du Chapitre présent, sont des suites immédiates du calcul des perturbations , qui a été développé jusqu'ici, ou plutôt des équations séculaires, les seules qui puissent produire des changemens perpétuels des orbites planétaires. Elles les produiraient même nécessairement , si c'étaient rigoureusement des équations séculaires. Ainsi cette recherche se réduit à décider la dernière question, ou à examiner avec soin la nature des équations séculaires.

§. '2.'j2. Suivant la notation dont nous nous sommes servis jusqu'à présent, 7, 7', y\ etc. sont les excentricités des planètes m, m', m', etc. ô, 6\ etc. sont les tangentes de leurs inclinaisons sur l'écliptique, tâj, ^', etc. J, i', etc. les longitudes de leurs périhélies et de leurs noeuds ascendans. Les quantités hznysxnw, IzzLycosvs, A'=z/sinTO', etc. ;3i=:9sinJ, çnrôcosJ, /t? zzô'sin J', etc. f§. i85. 187.), seraient donc constantes, si le mouvement des planètes autour du soleil n'était troublé par l'attraction des autres planètes. Mais comme cette attraction produit des variations des élémens 7, ro, etc. dont les premiers termes sont proportionnels au tems, on aura

h =z (7 -|-/$7)sin {xf5-\-t^XfS) zzL 7 sin (g3 -|- / ô^ ro) -}- if ô'7 sin tsJ, etc. en négligeant le carré des variations, et l'on pourra donner au dernier terme la forme A.s\nat. Il est donc à présumer, qu'en général les quantités h, l, h', etc. auront la forme,

484 ASTBONOMTE PHYSIQUE

hz:z.Asïn'a-\-at)~\-Bsin{^-f~bt)-^cei.

lz=: A cos'(a -\-at) -f- B cos p -|- A /j -j- cet. A' =z A' sin {a -\~ at) -\- cet. et ainsi de suite. L'intégration des ditrérentielles des équations séculaires, que nous avons (rouvées précédemment , doivent vérifier ces formes. Pour exécuter celte intégration, nous suivrons la méthode deLagrange, que ce grand géomètre a développée dans sa Théorie des variations séculaires des élérnens des Planètes ( ^ )»

Si l'on fait pour abrégery

(a) ..... - [^,\ mc^^'- (oij, - . -, ^ l .(^, -j-- ^,^j c(^> - -,- c(<^) ^ =[0,],

les formules XIV — XVII (§. 210.) donneront^ pour Faction de la planète n/ sur m, t étant le nombre d'années,

^^[ui]-^,-,oi)-[oiJ-^-,-zCoO'-^^,.^^-^^ d'où Ton tirera

rt = —Tt = 7 al +^ IJ =(«^)^-[oO^

— zziCotJA"— (01)^. 1^=1(01)^9' — 9), ^=(oî) (/?—/).

On aura des expressions analogues pour l'action des autres planètes m",m"' ,^\q. Cela posé, si l'on désigne par (r^), [rs], et (sr), [sr], ce que deviennent (oi), [01], lorsqu'on considère l'action de la planète m^ sur m*' et de m** sur m^^ au lieu de Faction de rrf sur m, et qu'on fasse pour abréger,

C^; ..... (oi) + (02) -f- (o3; -f cet. — (o), (10) + C»^) "H (i^J-f cet. = (i),

(20) -|- (2 1 } H" (^3) -f- cet. nr (2)^, etc<. 6n aura-, pour Faction de toutes les planètes, les équations suivantes»

'^^-(o)/— [ot]/— [o,2jr— [o3]r— cet. ^'—(ly— [10]/— [12]/'— [13]/";

•^^]^-=C.)r-[2o]/-[2,y-[a3]^^ ^^^'::^^3)/"-[3o]/-[3.]/'-[32]/^ ^.=-(o)2+[oiJ//4-[o2]A"+[o3];/'^ — r-(i)A'+[io]/z+[.2]A"+[i3JV''5 etc.

(3) Noiiv. Méin. ai l'^dcad. Roj. de Berlin^ ulnnéi 1781. 178a.

'i£--^o)7?+(orY+(p07 +(o3)/'+ ceLi^'=:-(i>/+(io)^+(i%'^^^

'^^^-(o7>- o0;;-(o2y'~(o3>' ';^'zz(.>'-(io>-(i2 p''-(i3y' j etc.

Kous n'avons^ développé' ces équations que pour la combinaison de quatre planètes, m, m', m", m"', qui agissent l'une sur l'autre, parcequ'il est aisé de voir la forme des lermes^ suivans, si l'on veut considérer l'action de plus de quatre planètes.

§. 27,3. Il est- visible que l'intégrale des équations (A) doit avoir cette forme,

k=. B sin C(3-i-30, /rz B cos (|3-[-3/), h' — B'sin {^-\-bt), l'ziz B' cos (p-4-30, eic. Si on subs-litue ces valeurs , ainsi que leurs différentielles, dans les équations (A), en faisant

r o=:B:r4.ror]B'-i-[o2]B''-|-[o3]B'^', o=zBV-h[i o]B-|-[i-2]B"-|-[i3]B''',

^ <o— B'V'4-[2o]B4i[2iJB'-t-C23jB'/; o=B''V''4-[3oJ,B+[3ijB+[32]B^

Supposons;

Tiff' IM^/' M"''

(-o: B< = ^ B', B' = ^ B, B'" = ÎL. B.

Cela posé, les trois premières^ des équations- TC) donneront j par les règles ordinaires de l'élimination, en changeant les sigries,

N=(:o3][ ra] [2 1 ].-[o I ][i^] [23J-[o2] [.i 3J [2 1 ]+[.oa] [23]a;'+[o i ] [-1 3]x"-[o3]:ï V .. )M-— [o2][i3][2o];— -[o2][ro][23]-^|;o3][i2][2o]+[i2][23]:r+[o3]LioV'— [i3>:r'

^ ).M'':=[oi]:îo][23]— ^[oi][i3i2o]— ^[o3][io][2i]-|^ri3][2i>4-[o3j[^^^^

^•''zzxx^x' — ■[r2][2i]a:- — {02.']{'i.o]x'- — [oi][io]a;''-H[oi][i2][20]-|-[02][io][2i^ Le calcul de ces coefficiens, ainsi que de ceux qui Suivront, sera singulièreînent simplifié par l'observation suivante. Quand on a calculé les coefficiens' (oiO, [01], (02), etc. qui se rapportent à' l'action des planètes m'^ m" , etc. sur m, il est aisé d'en conclure les* coefficiens (10), [lo], (20) , etc. relatifs à la

Téaction de la planète m sur m, m'' , etc. En désignant par 'c*^^^ la valeur de c^^^y relative à la réaction de m sur m', on a (§. 174O

Ainsi les formules {a) (§. 272.) donneront

Mais on a, suivant la troisième loi de Kepler, — zz. (— j'» d'où résultent les relations suivantes:

doi)mya—[i6^m'ya\ (o'^)mVai=i{'Xo)m'''Va", {^ i)mV a:=:( O^xWV a" , tet en général, (rs) m^ YaT zz (5 r) m^ Ya^, [r5] m^ va^ zz [sr] m^ V a^; les lettres r, s, désignant des traits, et non des puissances. Ainsi on trouvera que les deux derniers termes de M" sont identiques.

Maintenant si l'on substitue dans la quatrième des équations (C), les valeurs {d) (c) de B', B'', h'" , et x, x , x' , x''' , on la transformera , après l'avoir divisée par B, en

(E) 0=^4 — CZ-^^-D^^ — E^-f F,

et l'on trouvera

C =: ro) -f f 1) + (2) + (3),.

D=ro)(i)-[oi][io1-|-(o)V2)~[o2][2o]4-(oX3)-[o3][3o] + CO(0-[i2][2i]

4- (iK3) - [i3][3i] 4- (0(3) ~ [23JL32], E=:(o)(i)(2)— 2[orj[i2 [2o]4-(oX )( •)-2[oi][i3][3o]+(oX ■>.3)—2[o2-'.[23][3o]

+(lX2)C3)-2[l2l[23][3l]-fc)+;,0}[23][32]-{(o)4-(2.1,l3][3lH(o)+l3|[,2][2l]

- KO H- (•')} [o3J [3o] ~ {( 0 + (^)} [02] [20J ^ {(2) -f ^3)} [01] [10],

F==(o)(l)(2)(3 +[0l][l0][23][32] + [02][2O][l3][3l]-t-[03][3o][lo][2l]

— (o(i)i;23][32J-(O(90['3][3iKoX3)[i2][2iHO'.2)[o3][3oJ-(.)(3-[o2][2o]

— (2>(3)[oi][ioJ~2(o)[i2][23][3i] — 2fi)[o2][^3j[3o] — 2(2)[oijri3j[3o]

2(3)[01j[l2][20] 2[oi][i2j[23Jl3o] — 2^02][10j[23jl3i J 2[o3][l 2j[20"][3l],

La solution de l'équation (E) donnera quatre racines que nous désignerons par b^ h^, b^, b^; et il est visible que l'élimination de B, B', etc. eût donné une équation du degré /, si l'on eût combiné i planètes au lieu de 4* Ainsi les véritables intégrales de h, Ij h', Vf etc. seront

rh = Bsin (^-{-6t) -\- B^ sinrpi 4-^/) -f- B^sin ((B^ -j- ^oO "^ Bjsin ((33-I-Z.3O,

(Fi ,.,,■/

^ ^ \'/'zzB''sin((34-^/;+B''j sin(p,+3,0+B"^ sin(p^-f3^,0+B''3 sinf ^34-^-30,

Ces intégrales se changeront en l, ï , V, ï" , si on met les cosinus à la place des sinus. Il y a donc pour quatre planètes 24, et pour / planètes (/-|- a)? quantités inconnues, h, (3, B, B', B', B'", h^, (3^, Bj, etc. dont quatre ou / sont données par l'équation (E). Les équations fD) id) donnent i — i des indéterminées B, B, B*^', etc. et puisqu'il faut substituer pour b les i racines de l'équation (E), on aura {i — \)i quantités. Il ne reste donc que 2/ inconnues qu'on déterminera par les observations. En effet, soient I, F, etc. H, H', etc. les valeurs de 7, 7', etc. tjj, ca', etc. que les observations ont données à une époque quelconque, d'où l'on compte le tems t. On en tirera

(e) IsinnizH, rcoslIzzL, Fsinn'zzH', T'cosn'zzL', etc.

Comme les équations fF) donnent également les valeurs de A zz H, A'zi:H', etc. qui répondent à l'époque, si l'on fait ^zzio, on aura les équations suivantes, dont le nombre est ih

rH rz B sin (3 -j- B, sin ^^ -\- B^ sin p^ + ^3 *•" P? H" ^^^

(G) < L iz: B cos p -)- Bj cos Pi 4- B2 cos p^ -\- B3 cos P3 + cet.

(H' — B'sinp -h B\ sin p^ -|- B ^ sin p^ -f" B'3 sin p3 4.cet.

et ainsi du reste. Ayant déterminé de cette manière toutes les inconnues, on connaîtra h,l,h,r, etc. pour un tems quelconque t, ce qui donnera

(H) 7^ = A^-f /^y=^=zA=*4-/^ etc.tgro:=:|, tgw'zzy, etc.

§. 274- I^6s équations (B) (§. 2'j2.) donneront par le même procédéj p zz G sin (>] 4- gt), q znQ cos {y\ -\- gt], p zzG' sin (>] -\-gi), etc- £n faisant donc if) 8'^io)z=y, ^ + (1) = /, ^ + r2) = y', g f (3)==/^ on aura

rozzGj — (oi)G'— (02)G"— (o3 G", oz^G'/— (lo)G-'(i )G''— (i3 G"',

^ ^ <oii:GV-(2o)G-(2i)G'-^(23}G"', o=GV~C3^)G~(^0G'-(^^)G'^-

Si on suppose

4P^ A s 1' R U N O M 1 E PHYSIQUE

les trois premières équations (J) donneront

(Lr(0jy/'+(02)(23)/+(0l)(l3)y'+(0lXl2)C23)+(02)ri3:(2])-(03)(l0)(2:l\

^Sv'-(i3)y/'+rio)(23:^'+:o3:)(io)/'+(o2)(io)(o3)-(o2)(i3X2o)+ro3)(^ ( ^'••y^''::(o3)j/+(i3)(20j+(o3)(.2o)/+(oi)('i3)(2oHoî)(îo)(;23)+(o3)(io)(2

(r''==j/y'— (i2)'2i>— (o2)r2oy— (oi)rio)y'-(oi)fï2)(2o)-(o9.XioX^i\

Si on substitue les valeurs, données par les formules (/") (^) (K), .dans la der» nière des équations (J), elle prendra la forme

o zizg"^ -|- (Ig^ ~{-^g^ 4-^^ -j-"^'. et l'on trouvera

-4- l)(^0 — ('2)(20 -f :('X^) -rï3)(3l)4-e2)(3) (23)(32),

eiz(o):i)(2— 2(orX.2)^2o34(o)(i)(3)— 2(oî)(i3y3o)4-ro)(2)r3)-2(o2)(23)r3o) 4- ( ,)(2)(3)~- 2(.2)(23)(3i)~ {(o) + (i)f r23)(32) - |(o) + (-,)} (i3)(3i)

H(«)i-'3)Ki2)(2j)-:{(i)4-;:2}Co3)3o)-fo+(3)}(o2X2o)-|C2)^x3)}(oO^

Il suit de % zz 0, qu'une des racines g est nulle, ce qui est d'ailleurs «vident. Car à l'inspection seule des équations (J) on voit qu'on ieur satisfaira, en supposant G — G' =: G^' = G"\ et j zzrXo), / =: (0,^ = (2), /" — (3), ce qui revient à supposer f^zr:o: car alors le premier terme de chaque -équation est égal à la somme négati\o de tous les autres termes, parceque (o)i:(oi)+(o2)+(o3).5 etc. On trouvera aussi L zz K' := K" zzK% en faisant ^zzo dans les équations (K). Nous avons donc

<L) ^zzo, GzzG'zzG"-G'^

Si on désigne les racines de l'équation (M) par gi, gn> g^> î^ viendra

cpzizG sin 71 4- Gj sin (vi, -|-g-,0 -j- G^ sin (yj^ -f^.O -|- G3 sin (v) ^ 4-^3^), 'il/=iGsmYi-\-G\s\n{y\,-^g^i)^G'^smf%--\-g^0-\-<^'3 «'"(^j+^sO. etc. On aura 7, ç'', g", q"' y en changeant les sinus en cosinus. Si l'on substitue successivement g^j g^, gy pour g, dans les équations (K), on trouvera Cy\ G'\ G"%. G'a G"2 G'"2. G^ G'^3 ^'^

Oi» Gi^ Gj» Gj» Ga^ G3' G3 ' G3

Le reste des inconnues, savoir y\, y\^^ y\^, tq^, G, Gi, G2, G5, sera déterminé par observation, ainsi qu'on l'a vu à l'égard des excentricités et des périgées (§. 2^3.). Cela posé on aura, pour un tems quelconque. p,qfp\ etc. ce qui donnera

(0) e — f-^-q", r-:=p'^-\-q'\ etc. tang. Jzz ^, tang J^zz^', etc.

5. 275. Il suit de ce qui précède, que les variations des élémens h,I,p,q, etc. ne sont que périodiques ou des oscillations, parceque les formules que nous avons trouvées (F) (N), ne renferment que des sinus ou cosinus. Les angles de ces sinus sont composés des quantités (3,10, et b^g, etc. Les premières sont données par une équation linéaire de leur tangente: les angles p, t^, etc. sont donc toujours réels. Les dernières, b, g, sont données par les équations (E) (M), lesquelles étant du degré i, pourront avoir des racines imaginaires; et dans ce cas les angles ^ -\- bt, etc. deviendraient imaginaires, ce qui indique des quantités exponentielles, dans l'exposant desquelles entre le tems t, et qui, par conséquent, au lieu d'être périodiques, changeront à l'infini avec le tems. Il suit de la théorie générale des racines algébriques, que deux racines, avant d'être imaginaires, deviennent nécessairement égalesj et l'on sait que, dans ce cas, les sinus se changent en arcs de cercle, qui croîtront aussi à l'infini. On voit donc, que les variations des élémens ne seront pas périodiques , qu'au contraire la nature des orbites sera à la longue entièrement changée, et la stabilité du système planétaire détruite, lorsque les équations (E) (M) ont des racines imaginaires ou égales. Il est donc très -important, d'examiner, si quelques racines de ces équations peuvent devenir égales. Il est vrai qu'il serait fort difficile de juger a priori de la qualité de ces racineSé Mais on verra par le calcul numérique, que les racines des équations (E)(^M), qui résultent de la combinaison de toutes les planètes connues, sont trop difiérentes entre elles, pour qu'elles puissent devenir égales, et encore moins imaginaires , par un petit changement de leurs coefficiens. Or ces coefficiens, (01), [01], (02), etc. sont des fonctions des moyens mouvemens et des masses des planètes (§. 272. (a)), et les premiers sont connus avec une grande précision. Les masses sont moins certaines^ mais cette incertitude regarde principalement les petites masses de Vénus, Mercure, et Mars: l'égalité de deux

490 ASTRONOMIEPHYSIQUE

racines demanderait donc des changemens énormes de ces masses, que les observations n'admettent pas» On peut donc être assuié que, quelle que soit Ja véritable valeur des masses inconnues des planètes, les équations (E) (M) n'ont pas de racines imaginaires ou égales, et que par conséquent les élémens h,l,p,qf etCr ne sont assujctis qu'à des alîérations périodiques. Cependant comme ce n'est qu'une preuve empirique, il serait tiès-inléressant d'avoir une démonstration directe de cette vérité, sur laquelle est fondée la stabilité du système planétaire. M. de Laplace l'a démontrée d'une manière fort simple que nous allons exposer.

Si on multiplie la première des équations (A) et TB) par mhVa et mpVof la cinquième par rnlV a et mqVa, la seconde par mliV a' et m' p^V a, et ainsi du reste; la somme des équations (A) et celle des équations (B) donneront

mVa . âT~ "^ '^ K « —J-f 1"^ y "^ ' J-f r cet. r=

m V a \[o i ] (Ik' — h n + [02] (ih" — h n -4- [o3] (/A"' — h r')}

^ /?/y a' {j G- (A/-- //O -h cet.} + m'^^a''! [20] (Ar ~ /A'O 4- cet.}