LIVRE V, C H A P. X
etc. doivent îonjours avoir une valeur réelle, quelle que soit leur grandeur ou variation. Cela posé on aura
7" — (P= + Q-^yj^ 4- (Pj^ + Q.'yy'^ + cet., Y^ zz fF' -f Q'yy^ ^ cet. et ainsi du reste. En substituant ces valeurs dans les équations (2) (3), et désignant par jT le plus grand des exposans J] f , etc. on aura
a =: {m'y a (P= -j- Q=) -j- m'^ ci (P'^ -f- q") -\- cet,} e^^ -^ ceiC
(3 =z {n Va (R^ H- S^) -f m^ /a' (R'- -[- S'^) -f cet,} e^^ -f cet.
les termes suivans étant multipliés par des puissances de e , moins élevées
que e^Jt . Si les équations (E) (M) ont des racines égales, d'où résultent des
arcs de cercle et des termes de cette forme,
h=:Vir \-V,ir'^ceL, / — Q^r-^...., ;,— R/^-f-..„, 9=S/'*4-...., //=:P>-[-....., etc. tv étant la plus haute puissance de (, on aura, comme précédemmenf, ar::{my«,P'+Q^^-(-/7iVa\F^-fQ^')-fcet.}^"^-f-cet., pz{/?2y«(RVS='0+....}^' «>cet. Comme le tems i croît à Pinfini, les termes elft ^ t'^^ deviendront infiniment plus grands que tous les termes suivans, ajoutés ensemble. Il est donc impossible que la somme de tous les termes qui sont multipliés par e^J^ ou par i'f, se réduise à une constante a ou (3, à moins que le coefficient de e!/^ ou r^ ne soil nul. Il en est de même des termes e?/'^/, l'^'<^' , qui deviendront infiniment plus grands que la somme de tous les termes moins élevés. On aura donc, dans le cas des racines imaginaires ou égales,
o— P^-fQ^'-f f P '"-f Q'^) ----1^-- 4- ..... , o — R'+S'^-f (R'^+S''^) ^^' -H
^ ' ^ my a ^ ' ' ' my a ^
Si on substitue, suivant la troisième loi de Kepler, V — zz ^-7, etc. tes équations précédentes deviendront
Wa ^ N'a' ^^^^- °— Na ' N'a' ^^^^*
Puisque P^ Q, R, S, P', etc. sont des quantités réelles , leurs carrés toujours positifs, ainsi que les masses et les distances , m, a, m, a, etc. Les moyens mouvemens N, N', etc. seront aussi de même espèce, parceque toutes les planètes circulent autour du soleil dans le même sens^. Ainsi tous les termes des équations précédentes auront le même signe , et comme leur somme est nulle, il faut que chaque terme soit nul, d'où il résulte
P=:o, Q = o, P' = o, Q' — o, Pi=:o, etc. R = o, S = o, Ri~o, elc. c^est-à-dire, les expressions de h^ /, p, q, etc. ne peuvent renfermer ni exponentielles ni arcs de cercle : tous leurs termes sont des sinus ou périodiques , et ces élémens ne sont assnjétis qu'à des oscillations. Il en est de même de leurs carrés et par conséquent des excentricités 7 z:;y(/ï" -}-/') et è.ts ioclinaisons ê =: V (/?"-[- ç-^) . Ces élémens ne peuvent pas croître indé^ finimentj ils ne feront, dans tous les siècles à venir, qu'osciller entre des limites qui sont même très- resserrées. En effet , les équations (2) (i) donnent, en différentiant,
97^:——.— '^ — .3r— — • — 37" — cet.
i tu -y/ CL y m, y a
Il est donc visible, que les variations séculaires ne dépendent pas de la petitesse actuelle des élémens, mais du rapport qui existe entre les masses, les distances, etc. et que l'excentricité ou l'inclinaison d'une planète peut éprouver un très-grand changement , si la masse perturbatrice est beaucoup plus grande que celle de la planète troublée. En supposant par ex. que les lettres sans trait se rapportent à Mars, et celles marquées d'un trait à Jupiter, on Elira en nombres ronds,
— =11700, —ni, Tc ^^ ■> donc 37 =z — 1700.37.
m ' ' ff ^' 7 2' '
Ainsi la variation de l'excentricité de Mars serait 1700 fois plus grande que celle de Jupiter , si cette planète agissait seule sur Mars. Mais le système solaire est tellement arrangé, que les actions des diverses planètes se détruisent à peu près^ et c'est par cette raison, que les limites , entre lesquelles oscillent les excentricités et les inclinaisons des orbes planétaires, seront toujours très -étroites. Si l'on ajoute l'action de Saturne à celle de Jupiter, on aura à peu près
— = 550, -z=l6, ^=:î et 37^= — 237^, d'où il vient m a ' 7 2' '
37 ii:(— 1500 -f- 1557)37'=: — 143.37'.
L'action de la terre réduit cette variation à très - peu de chose. Ainsi on
voit , que le mouvement de toutes les planètes dans le même sens suiiît,
pour rendre périodiques les variations de la torme et de la position de leurs
orbites , et pour en exclure toute équation rigoureusement séculaire; mais que , si les limites , entre lesquelles se font ces oscillations périodiques, sont très-Tesserrées, c'est dû uniquement à la distribution des masses et des orbites, que le hazard a produite, ou que l'Auteur de la nature a choisie.
On trouvera le même résultat pour les satellites de Jupiter et de Saturne, qui circulent aussi dans le même sens, dont les masses sont peu différentes les unes des autres, et dont les excentricités et les inclinaisons sont également très-petites. Le système de tous ces corps est donc parfaitement stable relativement à leurs excentricités et inclinaisons: leurs orbites seront toujours à peu près circulaires et dans un même plan. Il en est autrement des apsides et des noeuds qui ont, ainsi qu'on l'a vu, un mouvement progressif qui sera déterminé par le calcul numérique des formules précédentes.
§. 2; 6. On trouve dans le Cliap. VII. tous les élémens nécessaires pour le calcul des formules précédentes. Nous commencerons par les variations séculaires de Jupiter, Saturne, et Uranus , qui forment un système à part, sur lequel les actions des autres planètes ont peu d'influence. En marquant donc de deux, de trois, et de quatre traits, toutes les quantités qui se rapportent à Jupiter, Saturne , et Uranus , on doit mettre dans les formules précédentes '§. 273. 274.)? les chiffres 2, 3, 4, à la place de o, 1, 2: d'où il viendra (01) = (23), (02) = (24), (o3)=i:o, etc. (o) zz (23) -]- (24) zz (2), (1 ) =: (32) ^- r34) =: (3), (2) = ^2) + (43)— ,4,1, (3) zz 0; et ainsi du reste. Il en suit
F=:o, E =: (2) (3; (4)- 2 [23] [34] '^^l- (^) H' [4^]- ( î)[24 •[42]-(4^^23][32], D=i(2X3) -[23j[32]-h(2)(4 -[24j[42]4- (3)(4)-[34:[43], C=:(2)+(3)4-(4); erro, ©=:(2)(3)-(23)(32j+(2j(4)~(24 l42) + ^3)(4)- (34)(4J), e = C| et b, g, seront donnés pas les équations
(E) oz^b^ — Cb^ + Bô — E, (M) o = g'--\-Cg-t^,
4'une des valeurs de g étant zéro.
Les valeurs de c^°^, c^^\ et les élémens des planètes (Tab. L VTH. IX. X. §. 209. 221. 222. 223.) donnent, suivant les formules («) (§. 272.), (i)(§.273,), (23)=r7'',324455; [23] z= 4",78j35î; 124) = 0^0967074; [24] =z o^o32o6o3| (34)zi:p'S355285j l3^j=::o",2i32^6y, (32; = i7",9i5243j [32j = 11'' ,6998315
ao^) — o",gio532; [423=1:0^3070772; (43) zz: .1^3826387; [43] — o",83oo7^4î
d'où l'on a conclu
(2) —f 421162^; (3) = î8",27o528, (4)=2''',3o3i707; G — 27^9948611; Dz=:i38",6o952; E = i8i'^26642; .^ — 62",q6i2t.
Si l'on fait J'^z: a; 4-- C, l'équation (E) se transformera. en o z:z x^ — 12^,6'i'jg . X — 512,993928;
(équation qui a trois racines réelles. On trouvera donc, par la .méthode (Ordinaire de la trisection de l'angle que nous désignerons par 3cp,
.cos3$i=: -ï— — ,
(40,876966.....)^ (Cl les trois racines :X, en multipliant ^y (40.87596,..; par coscp, .par "Sin(3(î*-cp))j et par — sin (3o^ -|- cp). Cela donnera 3^ — .îi°,2^42'ya:=: ia",76o474; o-^ = — 5",669i584; t. m — -7''>9î3i54; d'où il viendra b zn x -\- 9'^33!:62o4; donc
(à) . . . . .^ == 22'',o9'2C944; ^i =: 3'',662462; ^2 =: 2'',24o3o5.. Les racines .de l'équation (M) sont
.g — — I C±y il G^ — ^), partant {b) .... .^^ =1 — 2'\46632o4; ^^ = — ^^ ,5285407. On a donc les équations suivantes (§. 273. 274.),
/A" =: B sin (p -|- ^^; -f- B, sin (p, -\-b,t)-{. B^ sin % -f 5^ i),
1 TM'' TVl" M"
(/.- - '-^ B sin (p -f 3 /) + ~-I B, sin fp, -h b,t)+ ^^ B, sin (p,+ V); Yp" = G sin 71 -f Gj sin (y), + g^ t) + G^ sin (yj^ ^g^ t)^ , 1/'' — G sin n i- ^' G^ sin (v,, -f- g'xO + — G^ sin {r^^ -{- ^v),
(/.^^=:Gsin7i>-^ 'p^ G, sin (-/j, 4-^,0 -h ^- G, sin (y,^ + ^^ Oi
Z^'^, Z^";, /'% «7", etc. étant ce que deviennent h^^, /i"% h^^, p' , etc. lorsqu'on change les sinus en cosinus. On aura par ce qui précède (§• 273. 274.), Nr[24]{Z.-C3)}-[23][34], M=[34]{è(2)H24][32], M'r[23][32>{^-(2)}{ô-(33}j
ce qui donne' en même tems Nj, Lj, N^, L^,, K'j, etc. en mettant b^, b^, g^, g ^ à la place de b, g. Ainsi les valeurs précédentes donneront
N = —. 0,89698853 Ni=: — i;49i5336- N. =1 — 1,53741281
Lj =: 4,i3o6528j K'j =-3,4959175; K"j = — 52,91204?
L^rz 1, 9003653; K'gn: — 4,70074293 K^'^ = 0,2 04^5 j
d'où l'on conclura les équations
7^" = B sin (p 4.- ^ 0 -I- B; sin ((Si -^ 5j 0 -f- B; sin ([3. + i„ f) ^. ,A'" — — 3,067-8437 .Bsinfp-f-Z'^j -f. o,79o568,B, sin (p^ -f 3j 0 (?)..,.J ^o.qG^'^S'^. B^sm(^^-\- b,l),
hi^"" z- o,ii3i34i . B sin (i3 -|- bt) — 0,7085795 . Bj sin (pj -f b^ i)
>1- 17,617675 . B. sin (P2 -4- b^ ty, O?" — G sin >i -f- Gj sin(7ij+^j 0 -{-G^sin {%-]-8^t)\- (N)..... <^>"'=::Gsin7i4-o,8456G9. G, sin(7],+^j^)— 2,4735. G„sin(^2-j-^„?), C>''=Gsinrjr-i2;8G96.GiSin(y]j-l-^^0-i-o,io7479,G2sin(y]2+^„^). L'époque de 1800, de laquelle nous comptons le teins t, donne (Tab»I. §. 210.), H" = 0,00931092; L" zz: 0,04727013; H"^ =z o, ©5616212; L'" zz. o,ooo83352j H'^=o,oio2ii28;L'^=— 0,0455395; ?"= 0,02269773; Q' ^= — 0,00336228; E"^ = o,o4o4o263;Q"^ = — 0,0162661; P'^ = o,oi290276; 9^^=0,00398078. En substituant H", L^S H'^', etc. pour A", P', h^'^, etc. après avoir fait i zz o, dans les équations (F) , on trouvera par les règles ordinaires de l'élimination,
„ . ^ i4.,6iiT. H" — 18,3^6128. «"14.03173714. HIV
Bsinp— : ■ — — ■ ' ^ -, ^ ^ - — — :iz— o,oi258i3ij
j- „. 14,6111. L"—i8,5Q6i28.L"ï-f-o.î737i4.Liv
B-cos 13 =. ^ î— ^^-^^ ^2^-= 0,0094=0,6;
B, sin p. = -.964^8^ .H» - H- - 4.o3.,.5 . B.^ ^ ^^^^^ .
BjCosPjZz: ~ — 1: zi: o,o38929c3;:
Bo^sin p^ zz H-' — B sin p — B, sin p^ =: 0,00 148 132. B^ cos p^ zz U' — B cos p — Bj cos p^ zz — 0,00107966; On aura de" la même manière, par les équations (Nj,
Gsin 7] rz:o,0267994j Gj simi, = 0,00104171; G„ sin tq^, rz — o,oo5i4344; Gcosy)Zz: — 0,0063^7563 Gj cos >]j m — 0,00077406; G^ ces -/i^ n: 0,003749 J4' Au moyen de ces valeurs on trouvera i3, (3j, p^» B? ^n Bo, B', etc. ainsi que >5, >ii, VI2, G, G^, etc. par les équations,
B sin (3 . , G sin 7] . r» B sin G
*^»6 P = j^ p ■ etc. tang y, = g^- , etc. B = -—S. , etc. B' = I' B, B , = '^ B„ etc. G' = G" = G, G', = ^ G„ etc.
ce qui donnera
(3=: 126" 49' 32^ pj =9.7°4o'7"', p„ = 126^ 20' 17'',
B zi — o,oi57i7')i| Bj n; 0,04395538; B^ =: 0,001 83893;
B' = 0,04821887; B'i =:o,oJ47497ïJ B'^ =: 0,00177324;
B' zn — 0,00177819; B''^ ru — o,o3 514589; B'^r^^z o^o32^^>g'j5gi
7] n: io3° 1 8' 18"; y]^ — 126° 36' 53", r\^ = 126° 5' 25'',
G ::= 0,02753866; Gj =10,00 1*^97 82; O^.'^^^ — o,oo636495,'
G' zz: G, G''j = 0,00109745; G'a^ 0,01 5744^3;
G" = G, G',=:--o,oi66;.452; G'^^ =:— 0,0006841.
§. 277. En rassemblant toutes les quantités précédentes, on aura
//'m — 0,01571751 . sin (isô*^ 49' ^2"'-]- t . 22^,0920944) 4-o,o4'^9534 sin(27°4o'7''-[-^.3",662462)H-o,ooi83893.sini^i 26^20 17''+/.?/', 24o3o5)j,
/i"' =0,04821887 . sin (126° 49 32" -|- t . 22>920944) -|-o, 0347497 ï .sin(27^4o'7' 4-^.3'",66 ..., -}-o,ooi 773 .'4 sini^i 26°20 1 7 -{-1.2", 2^ ....),
h^'^ :zz — 0,00177819 . sin (126° 49' 32'"-!- / . 2 2'", 0920944) —o,o3ii4589.sin(o7°4o'7"-j-/,3'',66...)-[-o,o3239759.sin(io6®2o'i7''-|-^.2^24 ....); />"= 0,02753856 . sin io3°i8 i8'-f- o,ooi29782.sin (i26'36'53" — /.2 ",46632o4)
— 0,00636495 . sin (126° 5' 25'' — t 25"',52854o7),
;>"* = 0,02753856. sin io3°i8'i8^'-|-o,ooio9745. sin (126" 36' 53''—i.2",466....)
4- 0,01574433 . sin (126° 5' 25'' — ^ . 25",52854o7), p^''=o,02753856.sinio3''i3'i8"— o,OK66?4r2.sin(i26'36'53'' — ^2",466....)
— 0,0006841 . sin (126* 5' 2/' — i . 25",52854o7).
Les mêmes formules donneront /"^ /"'^ /^% 9", ç^"^ cf^"^ , si on change les siaus en cosinus. Cela posé on aura
