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équations intégrales que nous venons de trouver, donnent le moyen de déterminer plus exactement les limites, entre lesquelles oscilleront toujours les excentricités et les inclinaisons , ainsi que le mouvement des apsides et des noeuds. Il résulte des équations (A) (B) (§. 279. 280.) , qu'à une époque quelconque on aura

7=^zirA^+ A%+B^+B%^B=^^-f B^-3-f aAA^cos ^6~ 6 J -f- 2 ABcos iJ>-^—èt) -f cet» r HT. F=4-F\H-G^4-G%+G-\+G^34-2F F.cos (g- 9^; -f 2FGCOS 9->]— ^0 -1- cet, et ainsi du reste. Il est visible, que ces carrés ne peuvent jamais devenir plus grands que les valeurs qu'ils prendraient, si tous les cosinus devenaient en même tems positifs et égaux à l'unité j ce qui ne peut arriver qu'après une infinité de siècles. Alors on aura

'V-A4-A,-i-B4-B,+B,-|-B3, é — F + F^-f-G-f-G.-f G.-f G3. Il en est de même des expressions que nous avons trouvées pour Uranus^ Saturne, et Jupiter (§. 277.). Ainsi les limites, au delà desquelles il est impossible que les excentricités et les inclinaisons des planètes puissent croître, seront

pour JJranus^ Excentricité z:i o,o65322, Inclinaison :=: 0,044847 nr 2^ 34' 8"}

pour Saturne^ Excentricité zz 0,084742, Inclinaison zz o,o4438 zz: 2° 82' 28'";

pour Jupiter, Excentricité =0,061 5 12, Inclinaison :zi o,o3520i zz 2*^ o'SS^'j

pour 3 fars, Excentricité zzo, 141375, Inclinaisons 0,102274=: 5® 5o' 22"^

pour la Terre, Excentricité =: 0,077725, Inclinaison zz o,o85389 =: 4° Si' 5o^^

pour Vénns, Excentricité zz 0,087917, Inclinaison zz 0,090027 zz 5^ 8' 4o"j

pour Mercure,

Excentricité zz: 0^227995, Inclinaison zz o,i55o68 zz: 8° 48' 52''.

On voit que ces maxima sont peu différens des valeurs actuelles (§. 209.),

à l'exception des excentricités de la Terre et de Vénus, lesquelles semblent

5o8 ASTRONOMIE PHYSIQUE

être près de leur minimum, et qui ne pourront jamais devenir aussi grandes que l'excentricité actuelle de Mars. On voit en même tems, que les plans des orbiles ne foi itont jfiiTais du zodiaque, auquel on donne ordinairement une largeur de huit degrés, et que l'inclinaison de Saturne est très-près de {•on maximum. Nous avons vu (§. ''77) , tj^e les mo}^ens mouvemens sidéraux des apsides de Saturne et de Jupiter sont de 2si",i et de 3'' 7 par an, mais que les, apsides d'Uranus , et les noeuds de toutes les planéies n'ont point de

vrai m yen mouvement. Le vrai lieu des péiiliélies et des noeuds , pour

une époque quelconque, est donne par les equaMons tangrozr ^, tangj— -^

si, dans les fotmules de 7 sin te, 7 cos 10, t) sin J, ô cos J, etc. (§. 279.280.7 on substitue pour ^ ou — t le nombre d'années, duquel l'époque est posiérieure ou antérieure à l'an 1800, Au reste, toutes ces longitudes son' comptées depuis le point équinoxial de 18003 ^^ '^ ^*^ ^i^^ ^^^ ^O''' <^l"^» pour avoir les vraies longitudes comptées depuis l'équinoxe mobile , on n'a qu'à ajouter 5o'',i à tous les coetficiejs de t, c'est-à-dire à a, a,, f,. b, Aj, b^, ^^> S' Si' 8'^' 81 '§• "7'^*)- Pour le prouver, considérons un terme quelconque de h et /, ou de p Gi q , tel que A ^ B sin ([3 H- é^/ zn 7 sin ro, ZzzBcos <^-\-bt)Zizycosm, to étant la longitude du péribélie, comptée depuis Téquinoxe fixe. Fn nommant (te) la longitude comptée depuis rétiuinoxe mobile, on aura (t&) zz ro -]- 5o",i . ^, et

7 sir (ro -f- 5n",. . t) h cos 5</' I . f 4-? ?in 5o'^i . t

tang (ît) 7co^(OT^5o",i.O ~ Z~cj^ 5./-',i . f — h i.n ào",~7t "" B sin (^j+hf) cos 5 ^^ I. t + B cos((3jf^0s^n 5 ('■''-■. A B sir (3 -4- ?> t ■+ 5(/', .t) Bcos (i3-t-Èt]'cos ôo^^Lt — Bsin (,3 -+- &f)sin5o",..f B cu^ (,j -f- 0 f -+-5o", .f; *

expression -cjoi est identique avec-, si l'on augmente b de 5o',i.

§. o>'2. Il en est de même des inclinaisons. Les valeurs précédentes de cet élément se rapportent au plan fixe, dans lequel la terre a fait sa révolution autour du soicil en i8oo. Dans tout autre tems l'o-bite de la terre fera avec ce plan un angle qui est donné par la valeur de e, répondant à ce tems t. Si, dans les formules de ô sin J et ô cos J ^§. 260), on fait i:=zo, on trouvera ^sinJrzo et dcosJzzio, ce qui veut dire que l'orbite, décrite par la terre en 180O5 coïncide avec le plan fixe auquel on rapporte toutes les orbi-