LIVRE V, C H A P. X. Ôii

-\- 26/^" M -cosi . 33'',385i -|- .q'^'A . sîn / . 33 ', î85i — 45o'',9i .cos / .43'',2o8 4-i5.t2',68.siii^.43'>28+ h55'49.cos/.45 ,36;4 — ]44c/',48.sin^45",3674^ la précession des points éqiiinoxiaux en longitude, i zn

1273^', 28 . cost . 5o'',i — 3oll''^^7 .smt. 5o'',i -|- i223'',o . cost . 2^'..6'j\5-

— 891", 5 1 .s'mt .z^'^ô-jiS — Tdo8'j'\^6 .cost.Si ',^'0'-^ — 2935". 97.8111^. 3 1", 4^71

— 678''',i6. cos r. 33 ,3851 + 6o8",67 . sin / . 33",JF5i — ^'507 5i.cos^4J'',228 — 1038^68. sini. 43^,228 -f 3318'', 15. cos/. 45 ',3674 +7 268 ,68 .sin/.45 ',3674.

Si l'on fait tzno, les deux formules précédentes deviennent nulles, ainsi que cela doit être. En faisant tnzioo et i:=z — 100, on trouvera êzh — 49'. i ^t £11148^9, /— 8'' et iz^ — io'',9* Pour i zn — 2000 on aura s =; 847^4 et z'zz: — 1260'' j d'où l'on conclura ce qui suit. L'obliquité de l'écliptique a. éprouvé, des plus anciens tems de l'astronomie, une diminution qui va tenujours en croissant, et qui est actuellement de 49" P^^" siècle 3 ensorte qu'au tems d'Hipp-arque l'obliquité doit avoir été de 23° 4a'' Tout cela est conforme aux observations (I. §. 83. \ Depuis le tems d'Hipparque les points équinoxiaux ont avancé de 20' 5o'\ et leur précession séculaire, qui est ao tuellement d'environ 9', va en décroissant: elle se changera en rétrogradation au bout d'environ 4*^0 ans. Si on suppose, suivant les meilleures observations (L §. 9').), la rétrogradation annuelle des points équinoxiaux égale h 5u'',i, elle doit avoir été de 27° 5/ depuis le tems d'Hipparque. En y ajoutant la précession de 20' 5/, due à l'action des planètes, on aura la rétrogradation moyenne pendant cet intervalle =:28^io'5j", ce qui étant divisé par 2000, donnera la précession annuelle des équinoxes, due à l'action lunosolaire zz 60 '',7 , à peu près comme nous l'avons trouvée par la théorie de l'attraction (§. 118.).

La formule précédente de s ne renfermant aucun arc de cercle, mais seulement des sinus et cosinus, il est évident que les variations de l'obliquité ne sont que périodiques, ou des oscillations dont les limites extrêmes pourront être déterminées de là manière suivante. La somme de deux termes de £, dépendant du même argument r}, et ayant la forme A cos t] ^ -4- B sin iq:^,. sera un maximum, lorsque

— Ari sln y]t -\- Br\ cos r\i zz: o, ou tangT^/rr -, donc

d'où il résuUe la plus grande valeur des deux termes,

A cos y\t -1-BsHT7]^ = l:y'(A''4-B^).

Cela donne la limite, au delà de laquelle s ne peut jamais croître ou décroîfre,

Il est donc impossible que l'obliquilé devienne jamais plus granie que aS^^i' ou plus petite que i8°35 , et les oscillations de cet angle seront toujoursrenfermées dans un arc de 9^47'- Mais comme ceia suppose que toutes les combinaisons de ileux- termes homologues de e parviennent à leur maximum en même lem.s, il est aisé de voir que les oscillations de l'obliquité seront effectivement rentVimées entre des limites beaucoup plus resserrées , qu'on trouvera en égalant à zéro la différentielle de e. Les maxima et les minlma de l'obiiquité seront donc donnés par les valeuis de i'^ qui satisfont à l'équation, o zr ^ (• '^07. il . sin ^/ - 55 7,':8 . cos II + "-I (•>87-02 . sin y\t — 5ic,93 . cos y)/) -| K .1 '7 i.5o . sin v.t -\- 56 5 1 .76 . cos v.t) — X ( 64,^4 . sin \t — "94^4 • cos X i) -|-M. (|5 91 .sinj-t/H- i5 2,6S . cosiJ-.} — v (3 55 49 • sin v^; -^ 144*^4'^ • cos v/), en faisant pour abréger,

5 ',1 = ^, 24' 5; 5 -VI, 3i",4 7IZZH, 33'^3[5'— X, 43',228=(x, 45\3674i=v. Il est visible que féquation précédente seia satisfaite par un noa.bre indéfini de valeurs de ^ ;, parceque cliaciue siiius appartient à une infinité d'arcs, ^l, ■r\f, etc. d'où il résultera un nombre infini , non seulement des maxima et minlma de a, mais aussi des périodes de l'augmentation et de la diminution de l'obliquité, lesquelles ne reviendront dans le même ordre, que lorsque tous les angles ^/^ y\f, etc. auront fait un nombre entier de révolutions, ayant respectivement augmenté de m.^ôj'^, «.3to'', etc. d'où il naî ra une grande période qui renferme un grand nombre de petites péi iodes, et une immensité de siècles. Nous nous boinerons à déterminer les périodes les plus proches de l'époque où nous sommes, les autres se perdant dans l'éternité. L'équation précédente, — :zz o, est satistaile par les valeurs suivantes de U

i) i zn — 3ii'^9, 2) ^ nz — 16200,5, 3) tzn — 38oaj 4) ^zi:-f-4782, 5)/z=+i7546, 6; ^ = 4- 32359;

qui donnent ces valeurs de e,

4) Ê =: — o^33'37^ 5) a =: -j- i«53'20^ 6) e zz — 2<» 28' 5i".

On en a conclu les résultats suivans. L'an 29379 avant l'ère chrétienne, l'obliquité a eu sa plus grande valeur de 27''3i'3o'''. Depuis celte époque l'obliquité a diminué pendant i4979 ^^^ jusqu'à Tan i44oOj où elle a été de ai'ao'ii". Après cela l'obliquité a augmenté pendant 12398 ans, et deux mille ans avant J.C. elle a été de 23*52"' 47'- Pendant les 8584 ans suivans l'obliquité va en croissant, et l'an 6582 de l'ère chrétienne elle sera de 22* 54' 23". Ensuite l'obliquité augmentera pendant i2764ans, jusqu'en 19346, où elle sera de 25^ 21' 20". Depuis cette époque elle diminuera pendant i48i3ans, et l'an 34169 elle parviendra à son minimum de 20° 69' 9". Dans cet intervalle de plus de 635 siècles les variations de l'obliquité seront renfermées dans un arc de 6^i2'2i', de 2o'^59'9"' à 27'^3i'3o'': le milieu entre ces deux extrêmes est 24^ 16' -o", ce qui n'excède l'obliquité actuelle que de 47'*

Les périodes de l'augmentation et de la diminution de l'obliquité sont très -différentes entre elles, de c6 à i5j siècles; mais malgré toutes ces anomalies on apercevra aisément la loi de stabilité que la nature observe ici, ainsi que , dans les règnes organisés de notre globe , elle maintient la perpétuité des espèces, sans considérer les individus; on verra qu'après un nombre infini de petites modifications, elle revient toujours à l'état primitif. L'angle formé par l'écliptique et l'équateur , duquel dépendent les vicissitudes des saisons, change avec une lenteur excessive , étant toujoui's renfermé dans les limites étroites de 21' à 28^. Il y eut un tems, où Tété et l'hiver des zones tempérées étaient plus rigoureux, les jours d'été et les nuits d'hiver plus longs qu'à présent; il viendra un tems, où les saisons seront plus modérées , les jours d'été et d'hiver moins différens les uns des autres. Mais la différence sera toujours peu considérable, et au bout d'une infinité de siècles, Tété et l'hiver, le printeras et l'automne, se succéderont précisément comme aujourd'hui.

§. 283. La véritable révolution de la terre autour du soleil, que nous appelons l'année sidérale, est constamment de même durée, parceque les perturbations des planètes n'altèrent point les grand axes de leurs orbites. Mais l'année tropique est plus courte que Tannée sidérale , du tems que le soleil, suivant son moyen mouvement, emploie à parcourir l'arc, duquel les points équinoxiaux rétrogradent dans cette année. L'année tropique sera donc pareillement d'une longueur constante, si le mouvement des points équinoxiaux est uniforme 5 mais elle diminuera ou augmentera , si le vrai mouvement des points équinoxiaux s'accélère ou se ralentit: ce qui est réellement le cas, malgré l'uniformité du mouvement de ôo''' à 5i'\ dû à l'action luno- solaire sur le sphéroïde de la terre, parceque le mouvement d'une demi-seconde, qui résulte de l'action des planètes, change d'un siècle à l'autre (§. 282.). Or l'année tropique étant déterminée immédiatement par observation, en supposant uniforme le mouvement des points équinoxiaux (L §. 122 — 124.), il en résulte, que la durée de l'année paraîtra diminuer ou augmenter, selon que la correction de la rétrogradation des points équinoxiaux, due à l'action des planètes , est positive ou négative: par conséquent le moyen mouvement du soleil paraîtra avoir une équation séculaire, qui sera positive dans le premier cas, négative dans le second , et qui en effet n'est qu'une équation du point équinoxial. D'après cela , la longueur moyenne de l'année tropique sera celle qu'on aura conclue, en ne considérant que la rétrogradation des points équinoxiaux, qui résulte de l'action du soleil et de la lune, parceque le mouvement, dû à l'action des planètes, est périodique, tantôt positif, tantôt négatif, tantôt nul. Ainsi, pour trouver la moyenne année tropique, on doit retrancher de sa longueur vraie ou observée , la partie qui résulte de l'action des planètes , en convertissant en tems le mouvement annuel des points équinoxiaux d'environ une demi-seconde, en raison du moyen mouvement du soleil. L'expression précédente de z\§ 282.J donnant l'intégrale de ce mouvement pour i ans , on aura le mouvement annuel pour une époque , postérieure ou antérieure à l'an iSoo de itl ^ ans, en différentiaut l'équation i, et en égalant dt à une année, ou faisant B/zzi: ce qui étant converti en tems, en multipliant par ^— — ,— zz — — -— i=.24,û494^i donnera la différence entre l'année moyenne el l'année vraie en secondes.

Ainsi le nombre de secondes , dont la vraie année tropique est plus longue

que l'année moyenne, sera 24,3494^ • t^ == ^> ^^ ^'°^ trouvera

/^ — — ^5",3o83 . sin it — \-l\%o^^ .cos^i— S'^b^-^ô . sin -^t — 2^586 .cosrit

-}-48'',5553. sin >t^— 10^8903 . cos st^-f- ^"^Q-]'.^-] • sin \l -{- 2'',39S8 . cosXe 4- ^y'^^99 ' S'" 1^^ ~ 5",3oo4 . cos \Lt ^- i7'',77o5 . sin vt -j- 38'',9282 . cos ^L Si l'on ôte k de l'année tropique vraie ou observée, il restera l'année moyenne^ on aura l'année vraie, en ajoutant k avec l'année moyenne.

En faisant (zzo, on trouvera pour l'époque de i^oo, /?: rz -f- 4"î74; ce qui nous apprend, que l'année 1800 est de 4| secondes plus longue que l'année moyenne : d'où il suit que ^ — 4''574 ^st l'augmentation de la vraie année tropique pendant l ans depuis x8oo. La plus grande valeur possible. sera trouvée, comme précédemment (§. 282.), en ajoutant ensemble les racines de la somme des carrés de deux coetficiens du même argument. Cela donne

d'où il suit que la vraie année tropique ne pourra jamais s'écarter de l'année moyenne de plus de 3^ minutes, et que la plus grande différence possible entre deux années vraies est de 6 ^, minutes. Mais pour trouver les véritables maxima et minima de k, qui indiqueront les changemens qu'éprouvera l'année tropique dans un grand nombre de siècles avant et après 1800, il faut égaler

à zéro la différentielle de ^ , et substituer en k la valeur de t qui résulte

dk de l'équation — - = o. Cela donnera

l z=: — 4836 et /t =: 4- 37^9^ t = -j- 5764 et k =z «=- 38''. On trouvera kzno, si t ziz -\~ ^i'j .

Delà on tirera les conclusions suivantes. Antérieurement à l'année 3o36 avant J . C. l'année tropique a été plus longue que l'année moyenne, et Tannée 3o36 a été la plus longue parmi un grand nombre de siècles, savoir de 38 secondes plus longue que l'année moyenne. Depuis cette époque jusqu'en 1800 après J. C. l'année a toujours diminué , et diminuera encore jusqu'en 7564« L'année 1800 n'a excédé l'année moyenne que de 5 secondes, et l'année 2227 lui sera exactement égale. Depuis cette époque l'année sera plus courte que l'année moyenne jusqu'en 7664 ? où la différence montera

à 38'^: après cela les années recommenceront à augmenter, en se rapprochant de Tannée moyenne. La diminution continuelle de l'année depuis 3ooo an» avant J. C. jusqu'à nos jours, que nous venons de trouver par la théorie, est conforme à ce que quelques astronomes ont conclu des observations les plus anciennes , comparées avec les observations modernes (II. §. 190.) ; mais la même théorie prouve , que celle diminution n'existera pas toujours , qu'au bout de 5764 ans elle se changera en augmentation , et que la longueur de l'année est toujours renfermée entre des limites très-élroïtes.

§. 284. Puisque ïéquation séculaire de la lune dépend uniquement de l'excentricité de l'orbe terrestre i§. 260.) , on pourra maintenant décider la question , si cette équation est d'une progression continuelle ou périodiquej et quelles sont ses périodes et limites. Nous avons trouvé (^§. 258.) l'expression générale de l'équation séculaire de la lune, œ^

ou en secondes d'un degré,

y étant l'excentricité variable de la terre , dont la valeur est donnée pour une époque quelconque, par l'équation (§ 281.)

7^ z=: A^ -j- K\ + B^ -^ B\ + cet. z=zf-Y $• Cette expression est composée d'une partie constante

J- A' -I A^ i- B- -h B\ -f B\ + B^3 , et d'une partie variable

(|)r=2AAj ces (6 — bJ~|-2AB cos (& — (3— dt) 4- cet On aura donc, en intégrant,

œziz — ccfi — ocf(^ a tf

le premier terme apparlenant au moyen mouvement de la lune, et le second donnant l'équation séculaire de ce mouvement. Si on désigne par I la vraie excentricité de la terre à l'époque de î8oo, on aura pour un tems quelconque i, le carré de la vraie excentricité en fonction du tems (§. sSo.),

7^ zz: 1 2 + D ^ -j- E ^^ -j- cet.

ce qui étant comparé avec l'équation 7^ ^^f^ ^» donnera

d'où l'on, tirera, en faisant tzno,

4)' = ^-/, ce qui est ia partie variable ou l'équation du carré de rexcentricité, à l'époque de 1800. n en résulte l'équation séculaire, ou plutôt la partie variable du moyen mouvement de la lune dans le dix -neuvième siècle,

donc en nommant N' le moyen mouvement séculaire , apparent ou observé, dans le dix -neuvième siècle, et N le véritable mouvement moyen, on aura

N' — N- a(r— /), partant NniN'-}- arr^' — /), en faisant /zri, parceque t, dans ces formules, désigne le nombre des siècles (§. 25o.)» Dans tout autre siècle, la différence entre les mouvemers séculaires, moyen et apparent, sera — a.J(pdfzz. — acp, parcequ'on peut regarder 0 comme constant pendant cent ans. Si on emploie les valeurs précédentes (§. 279. 209.), A zzz 0,002799, A j rz: 0,017613, B =z o,oi4'^95, B, zr — 0,00877?, B„ :=r—^ 0,02 1047 j B3 zz 0,01289^; I zz 0,0167798,on trouvera

y rz 0,0012173416, I^ zn 0,0002815617; donc r^ — /•= — 0,00093578, a (P -y) zz— i36c7 ", N zz N' — 13607'". Ainsi on aura le vrai moyen mouvement séculaire de la lune, en retranchant 3*'46'47" du mouvement observé dans le dix -neuvième siècle.

La plus grande valeur possible de l'excentricité de la terre étanl7i:o, 077720 (§. 281.); 7^zz;y4-cp ne peut jamais devenir plus grand que 0,006041176, ce qui donnera

7^ — y zz cp zz 0,004823834, donc acî5 zz 70144'' ^=^ l9^29'4'"• Il s'en suit que le mouvement séculaire de la lune ne peut jamais être de 195 degrés moindre que le mouvement moyen, ni de 23| degrés moindre que le mouvement actuel. La plus petite valeur de (J) ou 7^ — yesto— yiz: = — o,ooi2i73|i6j ce qui donnera

acp — — 17701" zz — 4«55'i^ Ainsi la plus grande valeur possible du mouvement séculaire de la lune sera de 4*^j>' plus grand que le mouvement moyen, et de î°8' plus grand que dans

le dix-neuviëme siècle. Il suit de là, que le mouvement séculaire de la lune sera toujours renfermé entre les limites N'-f-i^S' et N' — 23°i6', et que le plus grand changement possible ne monte qu'à 24^24'. Mais les véritables limites étant beaucoup plus resserrées, il ne sera pas inutile de les déterminer.

§. 285. Le moyen mouvement séculaire de la lune, pour une époque quelconque, étant wzzN— a(7^— /) (%. 284.), il deviendra un maximum ou un minimum en même tems que y— 7^: ainsi les périodes de l'excentricité de la terre donneront celles du moyen mouvement de la lune. Pour les trouver, il faut égaler à zéro la différentielle de l'équation 7^:i=A'+Ai^-hB^+cet. (§. 281.). Au moyen des valeurs précédentes (§. 279.) on trouvera

y^ zn 0,001217342 -(- 0,000098609 . cos (99''9'25" -|-^.i8'',4296) -4-0,00008 ] 7 i3.cos(3°i 2'i3''-t-^,4",4i 91 ) — 0,000049 j 1 3.cos(;343°i'27"-j-^.5",443 1 ) —0,0001 17836. cos(86°4'i9''4-^.i4''>8237)-[-o,oooo722(9.cos(37^57'9'~|-/.i6'',69) +o,ooo5 1 4 1 34.cos(95''56'38''+/. 1 4",o 1 o5)—o, 0003090 1 6.cos( 1 1 6^758''+^. 1 2",9865) — 0,00074142 . cos ( 1 3<'5'6"-)~^.3",6o6) -|- o,ooo454335 . cos (6i°i 2'] &' ^l.\" .-^^Qi) — 0,000266066 cos(339°48'4i"+/,i",o24)—o,ooo6i4378.cos(^82'^5i'32"-f-^.io'',4o45) -{-o,ooo376485.cos(34°44'22"+Ai2",2709)-[-o,ooo369o67.cosfio3^2'52"+A9'',38o5) — o,ooo226283.cos(54"55'42"+/;.u",-^469)-o,ooo542(,a.cos(3ii°52'5o''+^i'',8663). Parmi le grand nombre de valeurs de t, qui font évanouir la différentielle de J'expression précédente, les plus petites sont

iz=- — i3248 et ^zz-f- o36io.

En substituant ces valeurs dans l'équation précédente, on trouvera

^^^=^f — o,oco83i3o8 zz o,ooo386o34, et

y'^zz.f — 0,001203909^=0,0000154326; donc

7 — 0,01964775 et 7 = 0,003908435.

Delà on tirera les conclusions suivantes. L'an 11448 avant J. C. l'excentricité

de l'orbe terrestre a été un /72a:j7>«i/m zz: 0,01964775. Depuis cette époque

elle va toujours en décroissant pendant 36858 ans, et parviendra à son /?i//??*-

mî/m zz 0,003928435 l'an 25410 de l'ère chrétienne; alors elle commencera à

croître. Dans cet intervalle de 36858 ans, qui renferme le siècle présent.

l'excentricité de la terre sera toujours renfermée entre o,oo39 et 0,0196.

On en a conclu, pour celte période, les limites de Cpzz7^— /(§. 284.):

L I V R E V, C H A p. X. Sit)

cpzz — o,ooo83i3i et cp = — 0,001201915 donc — a(p=z3°2i2S'\ et — a $11:4^5 1' 17''.

Il s'en suit que, 1 i44S ans avant J. C. le mouvement séculaire de la lune a été un minimum^ savoir de 3°2ï^q.S" plus grand que le mouvement moyen, et de 25'ig'' plus petit que dans le dix-neuvième siècle. Depuis cette époque le mouvement séculaire augmente pendant 36858 ans, et parviendra à son maximum l'an 25410, quand il sera de 4^5 1'^ 7' plus grand que le mouvement moyen, et de i°4'3o'' plus grand que dans le siècle présent: ensorle que, dans celte longue période de 36858 ans, le mouvement séculaire n'augmentera que d'un degré et demi, après quoi il commencera à diminuer. Ainsi on voit, combien les véritables limites de ig degrés sont plus étroites que les limites possibles de 24^24' (§. 284.).

§. 286. L'explication précédente de l'équation séculaire de la lune, qui s'est trouvée parfaitement conforme aux observations aussi bien qu'à la théorie de la gravitation, n'est pas moins importante sous un autre point de vue, parcequ'elle prouve que, depuis l'origine de l'astronomie, la vitesse de la rotation de la terre n'a point changé (§. iig.)- En effet le moindre changement de cette vitesse alongeravt ou accourcirait le jour, qui est la mesure universelle du tems dans l'astronomie: il changerait donc nécessairement le nombre qui exprime chaque période, quand même cette période serait invariable. Si la vitesse de la rotation augmente, ou que la durée du jour diminue, chaque période astronomique, l'année, le mois, etc. sera exprimé par un plus grand nombre de jours et de ses fractions 3 le contraire aura lieu, si la rotation est retardée. Ainsi, lorsque le nombre qui représente une période, indépendante de la rotation de la terre, ne change pas, il faut en conclure que celte rotation est invariable, à moins que d'autres observations ne prouvent le contraire: car il n'est pas impossible, quoiqu'il soit infiniment peu probable, que la rotation et cette période, étant supposées indépendantes l'une de l'autre, changentprécisément dans le même rapport. Le résultat ne sera plus douteux, s'il est ronfirmé par différentes périodes. Or il est certain que la longueur de Vannée n'a pas changé depuis deux mille ans, ou que le petit changement qu'on croitavoir aperçu, est expliqué par des causes physiques (§. 283.). Il en est de même-

de la lune. Les observations de vingt siècles nous aprennent, que le mois diminue continuellement, ou que le moyen mouvement de la lune devient plus vite; mais on a vu que c'est une véritable accélération, dont nous venons de donner l'explication physique. Si l'on en fait abstraction, le rapport du jour à l'année et au mois, et par conséquent la durée du jour, ou la vitesse de la rotation de la terre, n'a point changé depuis deux mille ans.

Supposons par ex. que la longueur du jour ait augmenté de la centième partie d'une seconde, depuis Hipparque jusqu'à nos jours, ensorte que l'espace de cent années Juliennes, ou le siècle soit actuellement plus long que celui d'Hipparque de 365 secondes, pendant lesquelles la lune parcourt un arc de 3'2o". Cela posé le mouvement séculaire de la lune serait à présent de 3 20" plus grand que dans le tems d'Hipparque. Mais cet arc surpasse beaucoup la différence qui existe entre ces deux mouvemens: en effet, le mouvement séculaire, observé par Hipparque, après avoir été corrigé par l'équation séculaire dont nous venons de donner l'explication physique, est sensiblement le même que le mouvement actuel. On peut donc être certain, que la longueur du jour, ou la période de la rotation de la terre, n'a pas changé de la centième partie d'une seconde pendant deux mille ans, et que, par conséquent, elle ne chi^nge pas, dans l'espace d'un an, de la 2ooooon^e partie d'une seconde.

§. 287. Les recherches précédentes tiennent h un des objets les plus intéressans de l'astronomie j et il faut convenir que, sous ce rapport, une détermination sure et exacte des masses des planètes, principalement de Vénus, serait un des plus grands enrichissemens de cette science, puisque les résultats précédens, étant fondés sur la grandeur supposée des masses planétaires, pourront paraître douteux, si les masses ne sont pas bien connues. Mais il est aisé de s'assurer, que cette incertitude, sans altérer les conclusions générales que nous en avons tirées relativement à la stabilité du système solaire, n'influe que sur la grandeur des limites et des périodes que le calcul nous a données. Les limites pourront s'élargir ou rétrécir, les périodes pourront s'alonger ou raccourcir; mais elles ne pourront, devenir infinies, que lorsque les expressions analytiques, qui ont donné les mouvemens séculaires, renfer-