LIVRE III, C H A P. IL 8i

§. 47' Si la densité de chaque sphère est la même fonction de la distance au centre dans toute l'étendue de la sphère, on peut concevoir les sphères A, B, partagées en couches sphériques infiniment minces, dont chacune aura une densité uniforme qui est fonction du rayon, et par consé-

s quent attirera les couches de l'autre sphère avec une force — , dirigée vers

le centre (§. 45')5 S étant la masse de la couche attracirice, et r la distance des deux centres. Comme la distance des couches à leur centre n'entre pas dans cette expression, on aura, en nommant S', S', etc. les masses des différentes couches, la force totale qui attire B vers le centre de A, zz * 1

s -\- S' -j" cet. étant la masse totale de la sphère A, qui est trouvée par l'intégration , la densité étant donnée en fonction de la distance au centre. Il est aisé de voir que la somme' de la série S 4- S' -f" cet. sera le volume de la sphère A, multiplié par un nombre qui exprime la densité moyenne, et qui est déterminé par la loi, suivant laquelle la densité dépend de la distance

du centre. Comme il en est de même de la sphère B, il en suit, que cha-

que sphère A attire une autre B avec la force — , dirigée vers son centre,

exactement comme si les masses étaient réunies au centre. La vitease avec

laquelle les sphères approcheront l'une de l'autre, sera — j— , et là quantité

2 A fî

du mouvement entier — — (*).

En supposant donc, que la jfigure du soleil et des planètes est sphérique, et que la densité de chaque couche est une fonction du rayon, il a été prouvé , que le mouvement sera tel qu'il serait , si les centres seuls s'attiraient réciproquement j le centre de chaque planète décrira, suivant les lois de Kepler, une section conique dont le foj^er est le centre du soleil; et dans toutes les recherches suivantes on n'a à considérer que les centres, et les masses réunies dans ces centres: la premièie question (§. 4o.) a donc été décidée. On pourrait demander, si la densité irréguliëre des corps célestes, et leur figure non-sphérique, ne dérangent pas le mouvement elliptique; mais cette question ne peut pas être décidée par la théorie, parce que nous ne connaissons pas la loi de leur densité. Il est possible que quelques irrégularités qu'on a observées dans le mouvement, et que la théorie de l'at-

(i) Neiii. mu. Niit. Frinc. Math. Lib. J. Sect. XII. et Lib, JII. Prop. XLVJI. XLFIU.

8a ASTRONOMIE PHYSIQUE

iraction n'explique pas entièrement, en sont l'effet^ mais ces perturbations doivent être très -petites, et celles qui dépendent de la densité, ne pourront être déterminées qu'empiriquement (^). Au reste, M. de Laplace a tenu compte des irrégularités lunaires, dues à la non-sphéricité, et il les a troa- Tées peu sensibles (^).

§. 4^. Oa peut être curieux de savoir, si la propriété remarquable des sphères, d'agir sur tous les corps, comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres, peut avoir lieu dans d'autres loix, où Tattraction est représentée par une fonction quelconque de la distance PMzzs {Fig* 4.)? 'ï"® nous désignerons par Cp (s). Oti a vu (§. 45-) que J'attraction suivant PM est a-TTÔÊ . CD , Bè , ($1 (s), d'où ii résulte l'attraction vers le centre

2 7rô'e .CD „ Bô.PB , ,

— (î) iz), donc

dY'-2'rr^-~adoc- ~~ (p (z).

Si Ton àiiîêïenVie z"zi:(r-—a)'^-\-2.î'x par rapport à o on trouvera ( — j ^^ "— -: en substituant cette valeur et dxziz ~ — (§. q^>), il viendra

Biais on a - {-— — ^ — — 5 — - (S« 45.), cîone

~— - = (?■■- =- a^ -h Z-) (p(zjci2,

d'oii l'on tirera, en intégrant et faisant /0 (s) 3 s :ir/( s ) ^ r2 V n ô'£ i il l'on fait /^as./(z.)==xp(s)^ il viendra

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(I) Voy. le mémoire de L; Euler, de perturb. jmtus Blanet, eic, dans les iSov, Comment, Am^-

Se. Imp. Pe-tfop. Tom. UT.

(Z^ Mécan. csl. Tom. HZ. L. Fil. Ch. lii