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te syslëme entier, ou si l'on veuf, la portion de l'espace absolu, qui est oc* Êupée par le système, aura le même mouvement;, cet espace sera transporté comme une assiette, sur laquelle plusieurs toupies circulent, sans être dérangées par le commun mouvement. Dans cette portion de l'espace le mouvement des divers corps se fait, comme si le centre de gravité était en reposj et leur mouvement relatif, qui est le seul objet de l'astronomie, n'est point dérangé par le mouvement du centre de gravité. Quand on fait des recheEehes sur le mouvement des planètes autour du soleil, on ne demande pas, si le soleil, et par conséquent tout le système solaire, a un mouvement de translation, qui peut être curviligne, s'il est dû à. des forces étrangères. On peut donc regarder le centre de gravité comme un point fixe, et comme le seul centre immobile du mouvement. Si deux corps s'attirent réciproquement, les orbites relatives qu'ils décrivent l'un autour de l'autre, aussi bien que celles qu'ils décrivent autour du commun centre de gravité, doiveni être semblables }. les dernières étant en même tems lea véritables orbites j. si le centre de gravité est en repos..

Puisque le centre de gravité Q. {Fig. 6,) est constamment sur la droite SP ou TO qui joint les deux corps, ils doivent nécessairement décrire autour de C des angles égaux SCT,. PGQ,, dans le môme tems: leurs vitessesangulaires et leurs révolutions sont donc égales. D'ailleurs, en nommant S, P, les deux masses,, les distances seront toujours dans le même rapportj CS:eP::CT:GQ:tP:S^ d'oij il suit, q^ue les orbites autour de C, ST, PO, sont des courbes semblables. Supposons que les deux corps aient parcouru les arcs ST, PQ, et tirons Stt, parallèle et égale à TQ: alors -n: aura la même position relativement à S, que Q par rapport à T3 tt est donc le lieu relatif, et Ptt: l'orbiJe relative de P autour du corps S, supposé immobile. Qr on a CTzn^CQ^ donc TQ— ^^CQzStt, et pareillement ^^m^^.^ d'où il suit S-a-zz— CQ, ou CP : CQ :: SP : Sir, et PSir zz: PCQ — SGT. Les. trois orbites, P Q, ST,. P-rr,, sont donc parfaitement semblables^ et décrLîes dans le même tems. Les axes et toutes les lignes analogues de ces trois, orbites sont entre elles, comme les distances., GP,, G S, SP,, et. par. coiiséqueni. €©mme les masses. S,. P, S 4- P,,

94 ASTRONOMIEPHYSIQUE

§. 54- Il faut maintenant chercher la relation qui existe entre les orbites relatives que nous venons de déterminer, et celle qui aurait lieu, si S était en repos, en attirant P, sans être attiré par la réaction de P;, ainsi que nous l'avons supposé jusqu'ici. On a vu que les planètes doivent décrire des sections coniques autour du soleil, si elles sont sollicitées par une seule force dirigée vers le soleil immobile, et réciproque au carré de la distance; mais il s'agit maintenant d'examiner, si les orbites relatives- autour du soleil mobile, et autour du centre de gravité, seront encore les mêmes sections coniques, malgré la réaction.

Les deux corps P, S, sont, dans chaque instant, sollicités suivant PS et SP,ou QT et TQ, et C est le seul point qui soit commun à toutes ces directions : le centre de gravité C est donc le centre des forces , et P

est poussé vers C par une force accélératrice qui est constamment propor-

tionnelle à ou - — r . En nommant x la distance entre les deux corps PS ou

QT, j la distance variable du corps P au centre de gravité, CP ou CQ,

et zz.m, on aura constamment x'CHmyj d'où il suit que P est solli-

cité par une force centrale, dirigée vers C, et proportionnelle à ~ :zr: — ^ — ^

S 0^ TU y

ou à — , et l'on trouvera de la même manière, que la force qui agit sur S, y* p

est proportionnelle à — ;r:^ • Ainsi tous les deux corps sont solliqités par

des forces centrales, dirigées vers le centre de gravité, supposé immobile, et réciproques au carré de leurs distances à ce centre. Ils devront donc se mouvoir, comme s'ils étaient attirés seulement par un corps central demeurant en repos dans le centre de gravité, suivant les mêmes lois, suivant lesquelles les corps mêmes s'attirent réciproquement: d'où il suit, que leurs véritables orbites autour du centre d& -gravité, ainsi que les orbites relatives de l'un autour de l'autre, seront également des sections coniques, décrites conformément aux lois de Kepler. Nous allons voir quelle différence il y a entre la section conique décrite autour du centre de gravité, et celle que le corps P décrirait autour du corps S, supposé inlmobiîe, s'il n'y avait point de réaction.

§. 55. Si le corps P seul est attiré par S, il sera sollicité par une force, proportionnelle à la masse S; et il en est de même de S. Si les deux

LIVRÉ ÏII, C H A P. III. 95

corps s'attirent réciproquement, chacun sers sollicité par la même force que dans le premier cas^ mais S se moiwant en même tems suivant la direction opposée, le mouvement relatif sera plus rapide, et la durée d'une révolution plus courte: par conséquent, si la vitesse de projection est changée ensorte que les deux révolutions soient de même durée, le grand axe de l'orbite relative doit être plus grand. Lorsque P estarrivé en Q, PSQ est le vrai mouvement autour du corps S, supposé immobile; tandis que PS-ttI^zPCQ est le

mouvement relatif autour du corps S, allant de S à T, etPGQ est plus grand

S quePSÇ. Le corps P est soliicilé suivant PS ou PC, par une foice -— . Si

l'on veut y substituer en G une masse .centrale C, sa force accélératrice sera-

2 , u oii Ton tirera ■:7-;3; ziz -^r-.;:^ , donc

s p* vs -f p/ Puisque la section conique est déterminée par la vitesse de projection dans un point quelconque (§. 33.), on peut demander, quel rapport aura lieu entre les orbites , si les vitesses sont égales dans deux points analogues, ou bien, quel doit être le rapport entre les vitesses, pour que les orbites soient les mêmes. Soit (F/g, 6.) P?r l'orbite relative autour du corps S qui est aussi en mouvement, P Ç) la véritable orbite autour du centre de gravité C, Qipç [i^^'g- 7O l'orbite que P décrirait autour du corps S, si celui-ci était immobile en s; et nommons V la force centrale de S, par la° quelle P est accéléré dans l'un et l'autre cas, T, 0, les durées des révolutions dans les orbites VQ et pg^ r, ô, deux tems infiniment petits, et t : ô : :■ T : 0. Maintenant, si les orbites Ptt, pç, doivent être égales et semblables,. PQ et pq seront aussi semblables, parce que PQ et Ptt le sont (§. 53.). Supposons que P, p^ soient deux points analogues, par ex. les périhélies^, PR, pr^ les tangentes, PQ, pc/^ les arcs parcourus dans les tems r, $y u^ v^. les vitesses en P et p. Cela posé , les angles PCQ, psq,. sont égaux, et les figures PCQ, PCR, QVR, et psç, psr, qpr, sont semblables, à cause de T : ô :: T : 0j et toutes les lignes analogues dans les deux orbites seront entre elles comme CP est à sp, ou CP à SP, parceque 5p=:SP. Pendant: qjifî; le corps P est allé à Q, il aurait parcouru PR. sur la tangente,, en vertui

g6 ASTRONOMIE P H Y S ï Q tJ E

de l'inertie, si la force centrale V ne l'avait forcé de décrire RQ: on a done

PR = MT, RQ— ^Vt^ (§. 17.), pr=:v$, rq—gY^; d'où l'on tire

u-" v' yKQ yrq

Or PR'.pr::RQ:rf/::CP'.SP, donc u'.v.'.VCP rVSP'.tyS : V.S -f P). Ainsi le corps P , étant lancé de p avec la vitesse 1; zz: e^ . V^ , décri-

rait autour du corps S immobile, précisément la même section conique qu'il décrit aiitour du corps mobile avec la vitesse u. On a d'ailleurs

(0 ez^TV

~hP

Si les forces accélératrices sont récipro^^ues .au carré de la distance;^ ce <^ui est le cas dans notre système solaire, les deux orbites Ptî, pç, auront le même grand axe A, parce qu'elles sont supposées égales et semblables^ mais les révolutions T, ©, qui répondent au même axe A, seront différentes. Supposons que P décrive autour du corps fixe 5^ une autre ellipse, dont l'axe soit O;, et la révolution t au lieu de 0: cela posé on aura, suivant la troisième loi de Kepler ^ i^ zi: © K -— 1= T F — — - — ■' En supposant don« iizzT, il viendra ^

« '■ = ^^sh^

d'oii il suit, que les grands axes des ellipses, décrites dans le même tema autour d'un corps S, supposé en repos et en mouvement, c'est-à-dire en fai» sant abstraction et en tenant compte de la réaction, seront entre eux comme les racines cubiques de la masse S, et de la somme des masses S, Pj au lieu que les durées des révolutions, 0, T, seront entre elles comme les raci^ nés carrées de la somme S -|" P et de la ma^se S , si les distances ou .les grands axes sont les mêmes.

§. 56. Il est aisé d'appliquer les théorèmes pr^cédens au mouvement des planètes. Malgré les mouvemens compliqués et la grande variété des actions de toutes les planètes, comètes, et satellites du système solaire, le centre de gravité du soleil et de tous ces corps peut être regardé comme immobile,