CHAPITRE IV
Masse et densité des corps qui forment le système solaire.
§, 58. KJdns supposer l'attraction universelle, prouvée précédemment, il est certain, que tous les corps, autour desquels d'autres corps décrivent des courbes, sont doués d'une force attractricej et si ces courbes sont à&s sections coniques, le foyer est le siège d'une force centrale, réciproque au carré de la distance 5 et tout ce qui a été prouvé de ces forces, a également lieu à l'égard du corps qui occupe le foyer: ce qui servira à comparer l'intensité des forces de divers corps centraux. Or l'intensité étant propor* tionnelle à la masse (§. 42-)> on aura en même tems le rapport des masses, ce qui étant combiné avec la grosseur des corps , servira à comparer les densités. La grosseur est donnée par le diamètre apparent et la distance ou la parallaxe^ or le rapport des distances des planètes au soleil étant connu par les périodes de leurs révolutions, en vertu de la troisième loi de Kepler, il suffit de connaître une seule distance, par ex. celle de la terre au soleil, d'où il suit, que la parallaxe du soleil est le fondement de tout ce calcul. L'intensité de la force donne, pour chaque distance, la force accélératrice, et ce qui revient au même, la chute des corps s. sa surface, son diamètre étant connu» Pour cela il suffit , de connaître l'accélération à la surface d'un seul corps; si l'on prend pour base la choie des corps sur la terre, que nous pouvons mesurer immédiatement, la masse et la densité de la terre sera la mesure des autres. Mais il est aisé de voir, qu'on peut substituer à la chute des corps, le sinus verse de l'arc parcouru par un satellites d'où résultent deux méibodea.
Les révolutions de plusieurs satellites autour du même corps centrai, ne peuveat servir d'aucune manière à comparer entre elles leurs masseSs
io4 ASTRONOMIE PHYSIQUE
parce que l'accélération ne dépend pas de la masse du mobile, mais de celle du corps central. Connaissant donc la révolution de la terre, qui détermine la masse du soleil, on pourrait y comparer la masse de chaque autre planète", par ex. Jupiter, si Ton pouvait rapprocher la terre de Jupiter, ensorte qu'elle ferait autour de lui une révolution qui, étant comparée à la durée de Tannée, donnerait la masse de Jupiter. Mais comme cette révolution ne dépend pas de la masse de la terre, elle pourra être remplacée par un corps quelconque 5 d'où il est aisé de voir, que la comparaison des révolutions des sateilites de Jupiter avec celle de la terre ou d'une autre planète autour du soleil , servira à déterminer le rapport entre les masses d» Jupiter et du soleil. On voit qu'on ne peut trouver par ce moyen que les masses du soleil, de la terre, de Jupiter, Saturne, et Uranus,
§. 59. L'intensité de la force centrale est déterminée par l'accélératios qu'elle communique à une masse quelconque dans une distance donnée 5 et l'intensité de deux forces est proportionnelle aux accélérations à distance égale (§. II.). Or les accélérations étant réciproques au carré des distances, il est visible, que les intensités de deux forces seront comme les carrés ^des distances, auxquelles leurs accélérations sont égales. Si deux forces centrales P, p, exercent, dans les distances F, f, la même accélération qae la pesanteur sur la terre, c'est-à-dire, de ^11:1 5 à 16 pieds dans la première seconde ; l'accélération h que la force p communiquerait dans la distance F , est ^^ : et à la même distance, l'accélération de la force P est s, d'où il suit "P-.p-.ig: sljL. ::F^:/®. Cette proportion servira à comparer la masse d'un corps central à celle de la terre.
Soit M la masse d'un corps, dont la force accélératrice à la distance F est égale à la pesanteur sur la terre; et supposons qu'un autre corps décrive autour de lui, dans le tems T, une ellipse dont le demi -grand axe soit A, ou qu'il parcoure en une seconde l'arc n: cela posé on aura \^. 28.)
STT* A' A' 71* ■
la masse et le rayon de la terre étant pris pour unité. Si a est le demiaxe exprimé par la moyenne distance de la terje au soleil , on a (§. 5'^.) A ~ - et 2S—--^~— =z> , 53 étant la parallaxe du soleil; d'où il vient
L I V H E lîT, C H A P, IV. loS
mi Xcî^ et- -ont unç valeur constajife pour toutes les planètes, -gs étant
8'^, 6 et — rzz ai9b4» 2-^' Si l'on veut se servir de l'orbite terrestre, ponr
XJS
déterminer la masse du soleil, on a éjzti, 72^1:050000001992584^:^ (§• 57«)* et Ta niasse du soleil par rapport à celle de la terre
Les rayons r des orbites des satellites sont donnés par rapport au éemi-<liaraètre E. de la planète principale (II. §. 3n.), riHfxR; et le diamètre apparent de la planète à la distance moyenne du soleil, 2?, est connu (TI. §. i53.). Le dernier est le vrai diamètre aR, divisé par le rayon de Torbite terrestres ayant donc converti § en parties du rayon, on aura ?=i:R en parties de k distance moyenne du soleil , partant r par rapport à cette distance, ou azup.^, et la masse de la planète, par rapp.ort à celle de la terre.
/n^ la' f=^
§. §0. On peut aussi trouver les masses des planètes par rapport à celle du soleil, sans connaître la chute des corps g^ par le moyen des proportions du §. 5"^ :
M et m étant la somme deis masses du corps central et de son satellite, N et n les moyens mouvemens , T et t les révolutions, A et a les demigrands axes. Si l'on prend pour base l'orbite de la terre, on aura, en désignant par O, S > C» les masses du soleil, de la terre, et de la lune,
Aizi, M = 04-$, T — 3i558i5i^5 l'année sidérale. Maintenant, si Ton veut déterminer la masse de la terre, on a
m:^ $ -f-C=::v$, t :zz ^36o5gi'',5 le mois sidéral En nommant la parallaxe moyenne de la lune Uzzzbf i'\ celle du soleil
vs^S''j6-f et faisant la masse lunaire =1: — , on aura
~==— j 7-^ï3,368j472; donc
Cette formule donne — zi:358i63. On a vu (§. 3g.), que ce calcul a besoin de plusieurs corrections , pour être exact. M. de Laplace trouve par la première méthode, après y avoir appliqué toutes ces corrections, en supposant la parallaxe du soleil zz 8", 748 ( ^) ,— zi: 33^086. Si l'on suppose la
parallaxe =8''', 6; il en résulte — zz: 354790 j et cette valeur sera employée
dans le cours • de cet ouvrage.
Quand on veut déterminer la masse d'une planète, entourée dé satellites, par la comparaison du mouvement des satellites avec celui de la terre, on a (§. SgO-zzM-e, donc Q -j- j :m: : -^~ : —^ ou --zz f y ) p.^ ç3. Si l'on veut comparer l'orbite d'un satellite avec, celle de la planète principale, T, ^^ seront les durées des révolutions de la planète eî du .saieilite, et — est le rayon de l'orbite du satellite, divisé par la distance de la planète au soleil, c'est-à-dire ia distance du satellite à la planète, vue du soleil. En la nommant ô, oiiRura
" 'Xi r l Af^tnr^ -- ~ i
— / donc —
Suivant M. de Laplace (^) en a, rglativem?nî à Jupifer- st son ÏV satellite, ô~ z: 8' i5'', 84 =^ o, O024o3goo2; ï rz: 43o2, 6022 jours, t-zz 16^689 j. d'où l'on tire
— zz 0, oooq3'7î î5/8. zz — — ~-,
Relativement à Saturne et son ÎV (VI) satellite, on a ^î =r %' ^^" zz ©,00086781651 T iz:: 10758, 96984 jours, ^zz î5,, g453 j, d'où 11 résulte
— zz 0, 0C02976383 zz — ,
Relativement à Uranus et son IV sateliite, ou a ô'zz:44'''s23=^o>^û02î4433i^ T s:: 30688,7127 jours. ^ zz i3j4559 jo'drs, d'où il suit
■ ~ zzo, ooooS 12806 zz — ^ — .
Mais les distances de Saturne et d'Uranus à leurs planètes reêpeclives n'étant
(l) E^pos. du Sjrsi. du Monde, 3. édit. L. If. Ch. lll. pag. S07. (a) Mécan, CéL Tom. UI. pag. 6a,
L I V R & IIÏ, G II A P. IV. 107
pas aussi certaines que celles du IV satellite <de Jupiter, les deux dernières masses auront besoin d'être vérifiées par les observations. La niasse de Saturne peut être corrigée par la grande inégalité de Jupiter, due à raction de Saturne: c'est par ce moyen qu'on a trouvé la Inasse de Saturne, qui sera adoptée dans la suite, ^ zn rrrr" T'
♦ §. 6i. Si l'on nomme M la masse d'une planète, celle de la terre étant prise pour unité, G son volume, A sa densité, R son vrai demi-diamètre, exprimé en raj^ons terrestres, ^ le demi-diamètre apparent à la distaace moyenne du soleil, îo la parallaxe du soleil, on aura
A:=r— , Rzz — , Gzz-^ par rapport à la grandeur de la terre.
En substituant M zr ^ ^ l (§. Sg.), il viendra
, la densité par rapport à celle de la terre^ A :^ — - — , expression qui est indépendante de la parallaxe du soleil, ou de la grsndeiîc du système solaire; ce qui ne serait pas le cas,, si la loi d'attraction était différente de celle de la nature (§. 3i.).
La masse M donne immédiatement l'accélération h à une distance,, égale au rayon terrestre , h zz. M^. Puisque l'accélération est réciproque au carré de la dislance , celle G que la masse M communique à une distance quelconque R, exprimée en rayons terrestres , se trouvera par la proportion. R^ : I ::/i: G. Si l'on désigne par R le vrai demi-diamètre du corps M, exprimé en rayons terrestres, on aura R i:r — , d'où il vient Gzz -—ziz -— «
donc l'accélération ou la chute des corps à la surface de la planète M
, ^Im"^ ■ A f
en une seconde zz: — r— szz. — ^ ^,
§. 61. Résumons les formules précédentes. Si Ton nomme M la mas* se d'une planète, A sa densité, C son volume, par rapport à îa terre, J l'année sidérale, i le mois sidéral, t la durée d'une révolution d'un satellite autour de la planète principale, T celle de cette planète autour du soleil, ÏI la {parallaxe de la lune, ^ celle du soleil, ? le sinus du demi -diamètre apparent de la planète à la distance moyenne du soleil,' ô' le sinus de l'angle sous lequel le rayon de lorbite du satellite est vu -du centre du soleil à la moyenne distance de la planète, {K le même rayon divisé par le demî-
Vf/ .
diamètre de la planète, G- la chute des corps à la surface de ia planète en
une second.^, et i 4- — zz — zn v. on aura par. ce qui precsue,
(3).....e=5, (4)....A = ^\ Ees valeurs numériques des masses de la terre, de Jupiter, Saturne, et Ura? 31US3 ont été calculées sur les formules (i) et (2) (§, 60.) ,. d'oii il est aisé de conclure les valeurs de C, A, G, à l'aide des formules, (3) (4) (5): on les trouvera dans la table (§. 65.). Il faut substituer à g (5) l'espace que les corps parcourraient sur la terre en une seconde, si la pesanteur n'était pas diminuée par la. force centrifuge 3. due à la rotation > et cet espace e&t: 5^11:2174.95 lignes ou i5, i pieds de France (^).
§. 63, Les formules précédentes ne sont pas applicables à la lunej mais les perturbations que 'ia terre éprouve pan l'action de &on satellite, sont b\ considérables, à cause de sa proximité^ qu'elles peuvent servir à déterminer la force ou la masse de la lune dont elles, dépendent. Ces perturbations sont de deux espèces: les unes sont proprement du ressort de l'astronomie, ainsi que la nutation , la précession , etc. les. autres sont des effets physiques, dont le plus important, le plus frappant, et le mieux connu est le flux et reflux de la mer. On sait que la force attractrice de ia lune élève et abaisse les eaux de l'océan deux fois par jour, et il est aisé de voir que le soleil doit prO'? duire un effet semblable, quoique moins sensibb, à cause de sa grande dis^ tance. On a observé' qu© les plus grandes et les plus petites marées arrivent ■an. jour et demi après les syzygies et lès quadratures, parce que dans 1© premier caî, les forces de la lime et du soleil agissent dans le même sens, tandis que dans le second cas elles sont opposées l'une à fàutre. En nommant donc X, y^ ces deux forces, le rapport des marées dans \qs syzygies et dans, les quadratures donnera celui ùq x-\-y à x — j> d'^où il est aisé de conclu^ re la force et la masse de la lune, celle du soleil étant connue. Mais lea^
(â) Voy. BQuguir,JiguY9 deJa turre, Secf. ^JI. §, a§.
E I V R E * III, G H A P. ÏV: 1^9
eîVconstàîices locales peuvent considérablement augmenter ou diminuer la grandeur des marées» Mv de Lapîace trouve par la conaparaisoa d'un grand
nombre d'observations^ que la masse de la lune est-— de celle de la terre.
D'un autre côté ou a conclu de la nutation,. où l'action de. la lune est aussi
combinée SLvec celle du soleil, que la masse lunaire n'est que-—. Dans la
table qu'on trouvera (§. 65.), on a pri;? le milieu — ^ Si l'on nomme D le
7S demi*diamëtre apparent, et II la parallaxe de la lune, son volume par rap-
port à la terre sera G =1: — z- (o, 27293)3 (IL §. 214.) =: 0, 02o33o8. Sa.
densité sera -- = ■ — - zz o, 63o6:^ A , et la pesanteur à la surface de^
lia lune, Gzzz— A^zn o, 27293 xo, 63o6x i5, 1=10,172109.^^1:2^59,89 pieds» §. 64. A l'égard des autres planeles il faut avoir recours à l'analogie. Pour peu qu'on ait étudié la nature, on doit être frappé par les analogieset proportions qui se. présentent partout,, là même où l'on s'y attend le moins. Il est donc à présumer, que la nature a suivi certaines lois et proportions dans, la distribution des masses qui forment les- corps célestes^ et en cherchant ces lois , on considéra d'abord la densité des planètes,, qui ne paraît' dépendre que du rapport des distaYices (§. 61.), Les densités de Jupiter et de Saturne sont à celle de la terre, comme i à 4 et i à io\. ce qui est à peu près le rapport inverse des distances au soleil, i à 5^ et i^a 9,64. En prenant pour base cette loi, adoptée par Lagrange (^), on trouvera la densité de Mercure =: 2^ 58332 zz A. Connaissant le demi-diamètre apparent: à la distance moyenne du soleil, ^ m 'd'\ 3 -, on aura le volume G zz -^ =: o, 0565^ la masse M ziz G A =1 o, 14^958, et la • esanteur G=:-^Agz= o»99'^74'é'=^ '4. 96^2 pieds. Mais ces valeurs sont très-incertaines , parce qu'on ne voit aucune raison physique de la règle, sur laquelle elles, sont fondées, et de laquellt; Uranus^ dont la densité surpasse celle de SaturnCg, s'éçîirte sensiblement,
Vénus et Mars approchent assés de la terre, pour qu'il a èié possi*ble de déterminer kurs masses par les perturba liens de l'orbite terrestre, eh pilncipalement par la diminution de l'obliquité de l'écliptique, qui résulte
{ij Mém, di Berlin^ l'jSs... pizg. iQQ.
EIO
de leur action. Leurs masses par rapport au soleil, sont suivant M. de La-
place, ^ =1: ■ ^ /^^ — , ~ zz :;Yr^— , suivant M. Burckhardt , — zn
orbite de Mercure éprouve par l'action de Vénus, — = ^ , \ , , . Nous ayons pris le milieu
§. 65. La table suivaitte renferme les résultats des règles précédentes. Par rapport à la Terre
iViasse
2oa58io
Volume
Densité
Ciiule des graves en v'
28,4î33 33429, 04 pieds
1,6073 ru i5,2i —
o, 1721 iii: 2,60 —
o,o355 iz:
Par rapport au Soleil
1, 02044 3,73i58 3,93281 4,3oi52 10,1597 2,48
