LIVRE IV, C H A P. I. Î

antre point: il faut donc que l'axe soit appuyé au point C, ou dans deux points quelconques.

§. -71. Une masse quelconque, qui tourne sur un axe fixe, peut être partagée en un nombre infini de plans matériels d'une épaisseur évanouissante, qui sont perpendiculaires à l'axe 3 et ce qui vient d'être prouvé, doit être dit de chacun de ces plans. Chaque point de l'axe éprouve, par l'action du plan qui passe par ce point , une pression perpendiculaire, qui est égale au produit de la masse du plan par la distance de son centre de gravité à l'axe (§. 70.). Si l'axe passe par le centre de gravité d'un plan , la pression de ce plan est nulle 5 donc, si l'axe passe par les centres de gravité de tous les plans, il n'éprouvera aucun éiTort, et le corps peut tourner librement autour de cet axe. Mais ce cas ne petit avoir lieu que lorsque tous les centres de gravité sont sur une même ligne droite, par ex. si le corps est un solide ,^de révolution, dont la densité est uniforme ou une fonction de la distance à l'axe. Dans d'autres cas l'axe éprouvera une pression vers chaque centre de gravité, qui est situé hors de l'axe. Ces centres de gravité peuvent être situés de tous les côtés de l'axe, tellement que leurs pressions se détruisent réciproquement j mais comme elles passent par diffs-. rens points de l'axe, elles le tourneront autour d'un certain point, à moins que leurs momens statiques, relativement à ce point et à tout autre point de l'axe, ne se détruisent en même tems. Il est aisé de voir, que cela ne peut arriver, que lorsque l'axe passe par le centre de gravité du corps entier, mais qu'il est impossible que chaque axe passant par le centre de gravité soit un axe libre, à moins que le corps ne soit régulier, et sa densité uniforme. Les recherches sur cet objet ont enfin donné le résultat, que toute masse, quelle que soit sa figure et formation, a du moins trois axes libres, qui se coupent perpendiculairement au centre de gravité. Cette découverte importante est le fondement de la théorie de la rotation, qui fera l'objet des recherches suivantes.

%,* 1. Si un corps dont la masse est M, tourne autour de Taxe AB (Fig. II.) avec la vitesse angulaire », chaque élément Z dont la masse est ÔM, et la distance à l'axe ZXizir, exercera sur l'axe, suivant la direction

ISO A s T R 0 N 0 M ï E P H Y s I Q U E

perpendiculaire XZ, la pression — rdM (§. 69.), et la pression du corps

entier sur l'axe est — frdM. Il en résulte qu'en faisant abstraction des

-g forces étrangères, Taxe ne peut être hbre^ que dans le cas où /rdMzzro,

c'est-à-dire où le moment slatique du corps entier ou de son centre de gra» vile, relativement à l'axe AB, est nul: chaque axe libre doit nécessairement passer par le centre de gravité, mais il n'en suit pas que toutes les lignes passant par ce centre soient des axes libres. La force centrifuge frdM peut être nulle, si chaque pression rdM d'un élément Z est détruite par la pression contraire d'un autre élément P. Si les masses Z et P sont comme QP et XZ, qui sont supposées parallèles entre elles, la pression de Z sera

— XZ.Zzzp^ et celle de Piz: — QV.Vzizp, ensorte que l'une détruit ^ a ^ S .

l'autre; et de cette manière, la somme entière frdM peut devenir nulle.

Mais la pression p suivant XZ a le moment AX.p^ pour faire tourner l'axe AB autour d'un point A, tandis que le moment de la pression de P pour faire tourner l'axe dans le sens contraire QP, est AQ.p: l'axe tournera donc autour du point A suivant, XZ, en vertu du moment QX.p^ s'il n'est pas retenu. Pour qu'il soit un are libre, il ne suffit pas que frdM soit nul; mais tous les momens statiques des forces élémentaires r3M, relativement à un point quelconque A de l'axe, doivent se détruire réciproquement. Si l'on fait AXzi;^, le moment de chaque élément, pour faire tourner l'axe autour du point A, sera px-sn ~ xrdM: il faut donc satisfaire à ces deux conditions, frdM'uzo et fxrdMziz o, pour que AB soit un axe libre. La première condition est nécessaire, afin que l'axe ne re. coive pas un mouvement de translation, perpendiculaire à sa longueur; la seconde est nécessaire, afin que l'axe ne tourne pas autour d'un point A. L'équation fxrdM:zzo indique, que le moment de toutes les forces rdM, relativement au point A, est nul, ou que la pression moyenne frdM passe par A. Si donc frdM n'est pas nul, le corps éprouvera en A une pression frdM, perpendiculaire à AB; mais si frdM est aussi nul, la force résultante est nulle, et le corps n'éprouve aucun effort.

Soit ABGG le plan par AB et le centre de gravité G, ZY perpendiculaire à ce plan, YX et G H perpendiculaires à AB, et qu'on nomme