LIVRE IV, C H A P. L liti

AX=^, XYrrj, YZ=:^.

ï^ar la nature du centre ^e ^gravité (§. 5i,), la somme de tous ies momens, relativement au plan ABGC est nulle, et le moaient du centre de gravitéj, relativemeJit à l'axe AB, et à la droite A G qui lui est perpendiculaire, est égal à la samme des momens de tous les élémens Z, par rapport aux mêmes lignes: on a donc

fxdU^zAU.m-, /jaM=:HG.M, /3aM = o, La pression élémentaire suivant XZ, — r3M, pourra être décomposée en. deux autres, — v^^ et — :;dM, suivant XY et YZ: en faisant donc,

pour atrëger, - — zi:'V, la pression totale sera équivalente aux forces, yfjdM

parallèle à AG, et yfe^M. perpendiculaire au plan ABGC. Chaque force

élémentaire 7j3M a un moment pour faire tourner Taxe autour du point

À suivant XY, qui est égal au produit de la force par sa distance AXm

yxjdM: il y aura donc dans la ligne AB un certain point E, auquel la

somme de toutes les forces élémentaires yfjdM étant appliquée, aura le

même moment par rapport à ÀC, que toutes ces forces ensemble (yfxjdM)i

ce qui donne l'équation

AE.fydM'—rxvdM, ÀE — ■^^^^^, et la force EF— 7/raM,

/ jc 2; ^ M Il en est de même des forces YZ ou XV: si l'on fait AIzi: «

la force IKzi: yf zdM , appliquée en I, aura le même moment pour faire tourner l'axe autour de A suivant IK, que toutes les forces YZ ensemble. Or fzdM étant nul, si le plan des x.^ y, passe par le centre de gravité, la force IK sera nulle, et la distance AI infinie, à moins que Jxz'èW ne soit nul en même iemsj si le plan des .2; et j ne passe pas par le centre de gravité, la force IK ou /s 8 M n'est pas nulle.

Il suit de ce qui précède que l'axe des abscisses x éprouva les mêmes pressions, qu'elle éprouverait, si une force 7/j8M z^ 7 . HG . M, parallèle aux j^ était appliquée dans îe point E, éloigné de l'origine des abscisses

de AEzz— —-— et une force évanouissante à une distance infinie, ou si

Jy dM' ' '

le plan des x, y, ne passe pas par le centra de gravité, une force 7/2 9 M à la dislance AI ^ -7 — x-rj-: les momens des forces EF et IK, pour faire

iô

tourner l'axe autour de A, sontyfxjdM et yfx zdM, Vouy que l'axe ne reçoive point de mouvement de rotation, et qu'il n'éprouve aucune pression, de manière que le corps peut tourner librement autour de cet axe, sans qu'il soit retenu, il faut que non-seulement les deux forces précédentes, mais aussi fleurs momens soient nuls: d'où l'on tire

fjdM — o, fzdM = o, fxjdM=:o, fxzdM^o. Les deux premières équations indiquent, que l'axe libre doit passer par le centre de gravité; les deux autres déterminent celut des diamètres passant par ce centre, qui est un axe libre. Si les deux dernières , équations ont lieu sans les premières, l'axe ne passe point par le centre de gravité, mais la moyenne direction de toute,s les forces centrifuges passe par A : car on auia Aii, — fy-,^1 —o? et Alz:::-y— — - :^ o. Dans ce cas, le point A senl a besoin d'être relsnii j dans tonJ; autre cas, il faut retenir deux points de l'axe,

§. 73. Chaque iiiouvement de rotation, imprimé à un corps, durera sans cesse en vertu de îa loi d'inertie, si l'axe de rotation est libre ou suffisamment appuyé. La rotation que le corps a reçue par un choc on une force étrangère, peut se faire de deux manières. Le corps peut être affermi en deux points ^ ou il est abandonné à lui-même: dans le premier cas il ne peut tourner qu'autour de la droite qui joint ces deux points, dans le second cas l'axe de rotation sera déterminé par les forces mêmes.

. L'axe étant donné, toutes les forces qui agissent sur le corps, peuvent être décomposées suivant deux directions. Fane étant paraUèle à l'axe, l'autre dans un plan perpendiculaire à l'axe. Soit {F^ig- 32,) AB Faxe.j PQ la direction d'une force V, inclinée relativement à AB d'une manière quelconque. Ayant mené par un point quelconque P, PR parallèle à AB, et par un point arbitraire R dans cette ligne, un plan perpendiculaire àPR, qui coupe PQ en Q; la force PQ est décomposée en PR elEQj doiit l'une est parallèle à l'axe, et l'autre dans un plan qui lui est perpendiculaire, La première force ne peut pas faire tourner le corps autour de i'ase ABj son seul effet consiste à pousser l'axe suivant sa longueur , ou à faire tourner le corps et l'axe même autour d'un point dans cet axe^ mais la dernière fera tourner îe corps autour de l'axe AB; la pression de la première se trouvera facilement.

L I V R E IV, C H A p. I. 12,^

Supposons que la force PQzzV {Fig. i3.) soit dans le même plan ^ue l'axe AB, sans lui être parallèle, de sorte (]ue sa direction rencontre l'axe dans un point C: alors l'axe éprouvera le même effort, que si la force était appliquée en C suivant CD qui est la prolongation de PQC. En nommant l'angle que la direction de la force fait avec l'axe, DGEzzti, et décomposant la force CDzr V suivant CE et ED ou CF, on aura deux forces CEzrVcosTi et CFznVsinTi. Pour trouver la pression que l'axe éprouvera en deux points donnés A, B, on n'a qu'à chercher les forces qui, étant appliquées en A et B, seront en équilibre avec les forces CE et CF. La première n'agit sur l'axe que suivant sa longueur AB, au lieu que la seconde CF ferait tourner Taxe suivant AP, s'il était retenu en B, et suivant BR, s'il était appuyé en A. Etant donc retenu en ces deux points, Fax» éprouvera en A la pression P suivant A P, et en B la pression Q suivant BR. Concevons que l'axe soit retenu en O avec la force C F m V sin -^ , et que. les forces AS, BQ, égales et opposées aux pressions P, Q, soient appliquées en A, B: cela posé, il suit de la théorie du levier, que l'équilibre aura lieu^ si les momens des forces P et Q, par rapport au point G, sont égaux, et qu'en même tems la somme des forces CF, AS, est égale à la force BQ. Or les forces P et AS, Q et BQ, étant aussi en équilibre, la pression de Taxe sera la même, que si la force CF agissait seule. En nommant donc A'^zna, on aura

CA.PzzCB.Q, et Q=Vsin>] + P|

d'où l'on tire P -{- V sin >] zz — P, ou

p CB . VslnTj BQcosT) C A . V sin >] A P cos -y^

CA — CB — a ' ^*^--CA— CB— l ^'

Si P Q est parallèle à A B, l'angle r^ est nul, etAPz=BQz=3 sera la distance de la direction de la force V à l'axe, qui éprouvera alors ces trois forces ou pressions: