LIVRE rV, G H A F. E ra

ntni le corps en repos, mais qui doivent être de nature, à n'exercer aucune pression sur l'axe , parce qu'au-trement il résulterait une nouvelle pression: inconnue, outre celle qu'on cherche. Gela posé on a le cas précédent, et la pression qu'éprouve l'axe, ne diffère pa* de celle qui a lieu dans le cas de la rotation. On trouvera donc cette pression, comme ci-dessus, en concevant que toutes les forces, c'est-à-dire, les forces étrangères qui font tourner le corps, aussi bien que les forces fictives qui détruisent la rotation, sont ap» pliquées à l'axe même dans son intersection avec le plan des forces, chacune suivant sa directionv

§~. 75. Supposons que chaque élémenî Y d'un plan matériel D CE {Fîg. i5.)„ auquel l'axe AB est perpendiculaire en G, soit sollicité par une force P, suivant la direction YZ, perpendiculaire à G Y dans le plan DGE, et que la force P soit telle qu'elle imprime à l'élément Y une vitesse angulaire autour de l'axe AB, égale mais opposée à celle que les forces étrangères V suivant Y'v impriment au corps entier: cela posé l'équiliBre sera rétabli, et le plan restera en repos. Les forces fictives P, qui ont été nommées forces élémentaîres, n'exerceront aucune pression' sur Taxe, parce qa'sUss ne font pas tourner le plan par une impulsion qui est répandue sur le plan, en vertu de la cohésion , mais' en agissant immédiatement sur chaque élément,, et en ks accélérant tous également, ensorte que les uns n'empêchent point le mouvement des autres, et que la cohésion du corps n'y a aucune influence. En cherchant donc (§. 74O 1* pression que l'axe éprouve par Faction de toutes les forces étrangères V, et de toutes les forces élémentaires P, ou de leurs intégrales^ on aura la pression que l'axe éprouve par l'action des forces V seules, dians le cas où le corps a un mouvement de rotation*.

Toutes les forces étrangères qui agissent dans un plan perpendiculaire à l'axe AB, peuvent- être réduites à une force moyenne zz ¥. Si sa direction est V V, et qu'on ait abaissé la perpendiculaire GVzz/sur Yv^ le moment des forces V, pour faire tourner le plan autour de AB, sera zizYf. Sup= posons que la rotation du plan soit accélérée par cette force, ensorte que sa vitesse angulaire cp augmente dans le tems dt de d^: cela posé il faut cjjie chaque force élémentaire imprime à son élément la même accélération

is6 ASTRONOMIE PHYSIQUE

d<P', tî'ailleurs, afin que la totalité des forces élémentaires fasse équilibre à la force V, et qu'ainsi la rotation soit détruite, il est nécessaire que la somme de leurs momens statiques, par rapport à l'axe AB, soit égal au moment de la force V =: VJl Soit donc CY ziz r la. distance d'un élément quelconque Yzr:3M à l'axe, soit YXzizy perpendiculaire à la droite CD qui passe par le centre de gravité G du plan, et CX.zz:x: cela posé, l'élément dM recevra dans le tems dt, par la force élémentaire P, l'accélération

2 ff P 2 p; P

-^-' dt (%. in. n. 3,), d'où il vient l'accélération angulaire —-— 3 ^ zn 3 d) : l'expression générale de chaque force élémentaire sera donc

2gdt

Puisque — — a la même valeur dans toute l'étendue du plan , il s'en suit,

^ Zg àt '-

que chaque force élémentaire est proportionnelle au produit de la masse de l'élément nar sa distance à l'axe. Le moment de la force P, pour faire tourner

le plan autour de AB, est P . r rz: — r^SM, proportionnel au produit de

la masse par le carré de la distance. La somme de toutes les forces élé-

mentaires est donc ziz' — ^V- frdM, et la somme de tous les momens -zr

— -t- fr^dyi. ce qui doit être égal à Yf. On a donc agdt -^ 5-1 o

■ — — ;=: -— , et la somme des forces élémentaires = — -^^ .

Mais comme ces forces ont des directions différentes, il faut décomposer

chaque force P en deux autres p, q, suivant les directions Y^ et sZ qui

sont parallèles à XC et XY. Or ZY^— 90^ — C Yz^G YX, et YZzzzYCXt

on a donc les forces

suivant Y 5 ou XG = P sin YCXzn ^ =: — f- vaM zr p,

r 2 gàt '

suivant zZ ou XY = — :=: —^ xd M zz q; d'où l'on conclura la somme de ces forces élémentaires, suivant XG, 2 . p == Z^Z__ ,

suivant XY, 2 . ^ __ —^j^.

Mais chaque force p a un autre moment, pour faire tourner le plan autour de l'axe suivant Y zi ce moment est le produit de p par la distance XY