LIVRE IV, C H A P. I
ée la direction Yza l'axe AB, donc py. On trouvera de même le moment de la force gzzqx. Ainsi on aura la somme des momens des forces éléïiientaires, pour faire tourner le plan,
suivant y 5 == r . p r = V/. l^--^ , , / r r a M '
f OC OC ^ I\T
suivant XY n: s . ûT^m: V/ .
Chaque somme de ces forces parralîèles S.p et 2. 9'^ peut être réduite à «ne force moyenne, dont le momentj relativement à AB, doit être égal à la somme âes momens, S.pj eî S . a.r. Supposons- que Ee et F/" soient les directions moyennes de toutes les forces p et g, nommons E, F, les forces moyennes, et menons CE parallèle à X Y,, et partant perpendiculaire à ex et Ee: cela posé on aura E :zi: X .p^ F zi: 2 . 7^ et leurs momens CE.E=z2./?j, CF. F =: 1.9a:, d'oii il suit:
/rro>M ' /rr<9M ' /jydM-' JxdM'
§. -jô. Les trois forces V^^ziiV, EemE, Fyzz^F, sont en équilibre dans un plan, perpendiculaire à Taxe, ce qui est le cas du §. 74* On trouvera donc la pression que l'axe éprouve par Faction des forces étrangères V, lorsque la rotation a lieu, en concevant les trois forces précédentes appliquées à l'axe même: les pressions de l'axe seront donc C7=:V, C^=:E, CêzhF, Cô" étant la proloBgatioo de CD, Cs perpendiculaire à CD, et C7 parallèle à la directica moyenne Yv des forces étrangères V. Comme fxdM. et fydM. sont les momens statiques du plan entier ou de son centre de gravité,, par rapport aux axes CE et CD, on aura /j5M zz o et E zn o, si l'axe des abscisses CD passe par le centre de gravité G: alors l'axe n'éprouvera que les pressions C7:=:V et CezzFzz — \ \ .' ■■ • Si CE passe aus^ si par le centre de gravité, le point C sera ce centre, et l'on aura fx 3Mzro et F zz: 0|: d'oui il; suit que la seule pression^ qu'éprouve- un axe AB qui pas-se par le centre de gravité , est celle des forces étrangères V, comme si elles étaient appliquées à Taxe même. 1\ en suit encore, qu'un plan matériel, étant sollicité par une impulsion ou forcCj qui le fait tourner autour d'un axe passant par le centre de gravité, éprouvera la même impulsion au^ lÊEntre de gravité suivant une direct jon parallèle, d'où il résultera, outre la/
relation, un mouvement de translation du pkn entier. Si la direction Yv de la force V passe eire<;tiveTneîit par le centre de gravité C, on a jT — p^ et le moment, pour faire tourner le plan^ est nul: par conséquent le plan recevra un pur mouvement de tran,slalion sans aucune rotation.
Pour que Taxe de rotation soit un axe libre, qui n'éprouve aucua effort, il faut que les trois forces V, E, F, se détruisent réciproquement, ce qui suppose que l'axe ne passe pas par le centre de gravité. Si la force Cv}:izH est la résultante des forces E, F, l'axe n'éprouvera aucune pressioa dans ie seul cas, où Ci^ est la prolongation de 7G, et H ~: ¥. Si g esï îe centre de gravité du plan, on a
fxdm:=zCG.M, /j3M=zG^.M, et H = y (E^ + F*; = ^^^ . / (C G' + Gg') =z ^-/'^V.?^ - V, donfi
Jr^BM /r^aM
^ mTcg ' JràM'
©n a d'ailleurs tang^G7i~-, et Ô^CtiziiDC? zrgo^ — DCV, partant
îangDCVz=^=^^^ = ^=:tangDCg,
c'est-à-dire CV coïncide avec C^^, et CV passe psr le centre de gravité;
d'où il suit que, pour que la force V n'exerce aucun effort sur l'axe, elle
doit être perpendiculaire a la droite, menée du centre de gravité perpendi-
culairement à l'axe, et la distance de sa direction à l'axe doit être f—- ,
On voit donc, que la fonction frrdM est d'une grande importante dans cette
îhéorie: on appelle cette fonction le vioment d'Inertie du plan ou du corps par
rapport à l'axe A B; le moment d'inertie n'est donc autre chose que la somme
des produits de la masse de cîia qué élément par le carré d€ sa distance à rax;e.
Or C^.Mzz/r3M étant le moment statique du corps relativement au même
~axe, la distance de la direction de la force à l'axe libre doit être égale au
moment d'inertie, divise par le moment statique. Cette distance f-zz
"^ ^ -^ Jr9M
est identique avec ce qu'on appelle, sous un autre point de vue, la disianee du centre d*osciUation à l'axe ACB.
Si ces deux conditions sont remplies, ensorte que GY :zz fziz
^ ' ^ •^ JrdW
passe par le centre de gravité , l'axe passant par G perpendiculairement à €V n'éprouvera aucun effort, et l'on aura {$. 75.)
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Gela posé le centre de gravité g, dans lequel on peut concevoir réunie la masse
rrr V C g . B (^ „
entière M, sera accélère par la force — m r— -. En nommant donc v
' ^ M 2- g dt
la viîesse du centre de gravité, et w sa vitesse angulaire, on aura .§. 17. n. 3.)
§. 77. Il est visible , que les raisonnemens précédens peuvent être appliqués à une masse quelconque. Toutes les forces, dotit les directions sont dans un même plan, peuvent être réduites à unç seule, dont il est aisé de déterminer le moment par les principes de la statique, ainsi qu'on vient de le voir: la somme de tous ces momens donne le moment total V/J qui fait tourner le corps sur son axe, en lui communiquant dans le tems3^ la vitesse angulaire d«zz;9(J) (§. 76.). Soit CABKY un plan quelconque passant par l'axe AB {Fig. 16.), Z un élément zzdM, soient AD, ZY, perpendiculaires à ce plan, YX et Zz perpendiculaires à AB et à XZ, et nommons
AXznx, XY=v, YZ^z, XZzur, —%-=cc, •^ ' zg dt
et le moment d'inertie du corps entier /r^d M zi: J. Gela posé, la force élémentaire suivant la direction Z s, opposée k la rota-
tion, sera (§. 75.) Pz:zar3M, azz — , donc F m . En décompo-
sant chaque force F en deux autres p et ç, suivant Zx et xz, parallèlement k y et z, on aura
/? =1 P cos a;Z2 = P sin ^ZX zz F sin YXZ = - P = XZ^i^^
o = Psina;Z2:=iPcosYXZ=^ p^ V/>aM
Les momens de la force p, par rapport aux plans CAD et BAC, sont pn et pz; ceux de q par rapport aux plans CAD et BAD sont çx et fj. Oa a donc la somme de tous les momens des forces p^
relativement au plan des y, z, 1 .pxzn —^ fx-zdM,
et relativement au plan des x, y, X ,pz:iz — - /zzèM-, la somme des momens des forces g,
i3o A S T R 0 N 0 M I E PHYSIQUE
par rapport au plan des j, z, ^ . ç x z:z — =- fxjdWi-
et au plan: des Xy Zy'Z- -qy^^ -y- /j/5M,- Toutes les forces parallèles p peuvent être composées en uns seule P^3iz:P, parallèle à YX et CA, et égale à S-/?.' les momens- de celte- résul* tante, par rapport aux. plans CAD et BAC ,. doivent être- égaux à 2.p:r et à S.p^. Il en est de même de la forée moyenne ^IqzzÇ^y qui; estéquivalente aux forces q. Supposons^ que les directions> d^s forces- ^]}, Qq» rencontrent les plans BAD et BAC en P et en Q,. et que FE, QF, soientperpendiculaires à Vz^e AB:- cela posé on* aura, par ce qui précède, V-^.p, AE,P:zI.;>^. EPa^-S.p^,-Q::S.^, Ar.Q = r.^^,,FQ,.Q.-S-.^y.
L'axe de rotation éprouvera» donc, outre les pressions de toutes- les forces ; étrangères V, encore celles de P suivant Vp, et de Q suivant Q 9-; et toutesces forces agiront da^is des- plans difïérens, mais perpendiculaires a l'axe A BV Quel que soit le nombre des forces» V, leur totalité est en équilibre avec le& deux forces- P, Q: donc, sî l'on- décompose ebaque force V en- deuxautre*, u),, v,. suivant A G,, et Ce ou DA 5- cHacune des- forces u fera équili^ bre à une portion^ de la force P, et claque force -u à une poriion> de Q, Chacune de* ces combinaisons présentera le cas,, où deux forces parallèles- entre elles, et agissant danar deux plans diflerens qui sont perpendiculaires à l'axe, font éq^iilibre Vxxue à- l'autre: voyons ce qui en résulte. Si Vp, Qq, (F/g.- 17.) représentent deux forces parallèles P, Q, dont les momens par rapport à l'axe AB sont égaux, et que AP, BQ, soient perpendiculaires aux direetion& ?p, Q q, on a APvPzzBQ. Q. Soit AC— :BQ, et concevons ^ue quatre forces, parallèles et égales à la force Q, agissent en A, B, C, Q, suivant Aa^.BZ';, Ce, Qk: cela posé, les résultantes des forces A a, Qk, et de Bb, Cc^ passeront par le centre du rectangle AQ suivant des directions contraires} par conséquent ces quatre forces seront en équilibre, et leurs «Fessions sur Taxe se détruiront réciproquement ^ d'où il suit que les trois
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forces Aût; Bb, Ce, font équilibre à la force Q/t: elles seront donc équipollentes à la force Qq qui est égale et opposée à Qk, et l'on peut lui subslil»er ces trois forces. 'L'effet sera d^nc le même, que si les .quatre forces Aa, i&b, Ce, Vp, agissaient. Les deux derriières sont dans un plafi, (perpendiculaire à AB, et en équilibre, parce que AC .Ce zz.BQ.Qzz AP. P: ellei exeiîceront donc la même pression , que .si elles étaient appliquées à l'axê même en A (§. j^.). .Alors les forces Aa, Ce, se .détruiront,, et al ne restera qu'une force en A, et une autre «en -B , la première étant égale et paraflèle k P, l'autre à, Q: d'où il suit que deux forces , agissant -dans différens plans, perpendiculaires à, Taxe, , exerceront la même prBasî0n,j que si cîiacajie.* était .imprimée jâti .-p'aïnt .même, .où son plan coupe -l'axe»
ï Ce qui vient d'être éprouve de { haque combinaison , de deux forces, sera donc aussi vrai de toutes tes ïbrees ^V, P, Q. L'axe éprouvera le même effort, que si chaque force étrangère V était appliquée à l'axe même, dan»
son intersection avec le plan, perpendiculaire à l'axe et passant par la di-
. V f Vf
rection de V , et qu'en outre les forces P =z -—- fzdM , et Q -^ -7- fj^^^
fussent appliquées en E et F , parallèlement à — ^ e.t à z, aux distances
AE^-^ —et AF:zi-^-~—~, leurs directions Ee, F/, étant opposées
à la rotalion du corps. En multipliant chaque .force 'V par la distance de sa direction à l'axe, on aura son momentj et la somme de tous ces momens donnera le moment yf, pour faire tourner le corps autour de l'axe AB.
,Le plan :des jr, j, BAQ étant arbitraire, on peut le faire passer-pat le centre de gravité du corps: alors, on aura /s3Mzi: o, P m o, et il n'y aura que les forces V et Q. ; Si l'axe de rotation AB passe aussi par le centre de gravité, on a /j' 3 M zi: o et -Q zr: 0 : l'axe n'éprouvera donc que la pression des forces étrangères V*
§. 78. Chaque force, quelle que soit sa direction,, peut être décompo^ sée ien deux autres , dont l'une est parallèle, et l'autre perpendiculaire à l'axe (§. '73.), La première se décompose en trois forces, dont l'une/âollicite l'axe suivant sa longueur, les deux autres étant perpendiculaires à l'axe, et opposées l'une à l'autre ("§. 73.). Or toutes les autres; forces étant pareillement perpendiculaires à l'axe, elles ne peuvent pas détruire celles qui
i32 ASTRONOMÏEPHYSIQUE
agissent suivant la longueur de Taxe: il est donc impossible, que l'axe n'éprouve aucun eflfort, h moins que toutes les forces n'agissent dans des plan» perpendiculaires ù l'axe, ou que toutes celles qui sollicitent Taxe suivant sa longueur, ne se détruisent réciproquemeni; dans le cas contraire, l'axe doit être appuyé suivant sa longueur, par une force égale à la somme ou à la dift'érence des forces parallèles à l'axe. Toutes les autres forces agissent dans des plans perpendiculaires à l'axe, et quand on ne considère que la pression de l'axe, on peut les concevoir appliquées suivant leurs directions, au point de Taxe où il est coupé par ces plans (§. 77.}- ^ f^"^ enfin concevoir, que les forces élémentaires, ou leurs deux intégrales EeiziP et F/zz:Q (5. 77.), sont imprimées à l'axe: la totalité de ces forces déterminera la pression de l'axe.
Pour simplifier ces recherches, nous réduirons toutes les forces à deux points A, B, de l'axe {fig. i6.], en cherchant l'effort que l'axe éprouvera dans ces deux points. Soit Vj la direction d'une des forces V perpendiculaires à l'axe, U la commune section de l'axe avec le plan VyU qui lui est perpendiculaire, et Ut:; parallèle à Vj: cela posé, VU et U u seront perpeiidiculaires à l'axe AB qui éprouvera la pression U-uinV. Il en résultera en A et B des pressions parallèles à Ut; ou Vj qui, en faisant AB zzia, seront
AMzn — V et BNzz— V.
I>a force élémentaire Eez=:P donnera de même en A et B les pressions
Aa:=i — PiziA, Bb- — P-B, a ft
۔ la force Ffzn O donnera les pressions
Aazz— Orra, B (3 = — Q rz (3^
el en substituant les valeurs de P, Q, AE, A F (§. 77.),
A—~^J(a~x)zdM, B — ^fxz^M, az=^/(a~a;)jaM, ^^^fxydU.
Toutes les forces AM, A a, A a, peuvent être réduites à une seule; et il en est de même des forces qui agissent en B.
§. 79. Dès que la rotation a effectivement lieu, il en résultera des forces centrifuges qu'il faut ajouter aux précédente-s. Si l'on nomme, w la
