CHAPITRE II

Rotation autour d'un axe libre.

§. 81. V^n appelle axe libre celui autour duquel le corps peut tourner avec une vitesse quelconque, sans que Taxe soit appuyé, qui par conséquent n'éprouve aucun effort. Si le corps est sollicité par des forces étrangères, dont la résultante ne passe pas par le centre de gravité, il tournera librement, du moins pendant quelque tems, autour d'un axe queîcenque, qui pourrait être nommé libre, mais seulement par rapport aux forces données: chaque corps aurait alors une infinité d'axes libres, et chaque axe serait tantôt libre, et dans d'autres cas il ne le serait pas. Ainsi, pour fixer les idées , il faut entendre sous un axe libre celui qui tféprouve aucum «ffort par la rotation, si le corps n'est pas sollicité par des forces étrangères. Dans un pareil cas, toutes les forces V, U, W, et les forces élémentaires qui leur sont opposées, disparaissent (§. 79. n. i. 2.), et il ne reste ^ue les forces centrifuges (§. 79. n. 3.) , savoir , en faisant pour abréger^

m: a , les forces

Km ou mur a/ (« ■— a;) y 3 M , A a ou \l "ZZ a. f {a — 3c) zdM. ^ Bn ou n:iz a/ xydM, B(3 ou v:iz afxzdMf les intégrales se rapportant au corps entier, où a est une quantité constante. Or ces pressions n'étant pas opposées l'une à l'autre, l'axe ne peut être libre, que dans le cas où chacune de ces pressions est nulle. La position des axes libres est donc déterminée par ces équationsî

fydM=:Oy /adM — o, fxydM=:Oy fxz3Mz=.o. ïl suit des deux premières , que chaque axe libre doit passer par le, centre d© graritéi le« deux dçrnLères nous apprennent -> qu'un axe peut passer par

L I V K E IV, CHAR II. iS'j

le centre de gravilé, sans être libre, et elles déterminent la position des diamètres, passant par le centre de gravité, qui sont des axes libres (§. 72.). Puis donc que chaque axe libre AB passe par le centre de gravité, nous prendrons ce centre pour Forigine des abscisses x, de sorte qu'on aura aussi JxdMzmo.

§. 82. Si AB (i'%. 18.) est un axe passant par îe centre de gravité A, et que la nature du corps soit donnée par une équation entre les coordonnées rectangles

AX = X, XY31Y, YZ=z:Z, on connaît les intégrales

/XX8M = A, /YY3M = B, /ZZaMnrC, fXYdU — D, fXZdM=E, /YZaM — F.

Soit AF un axe libre, et qu'on prenne les abscisses x sur AF , les ordonnées j, z, perpendiculaires à A F: cela posé, on aura (§. 8ï.)

J xy 3 M :=: o et J x s 5 M n: o.

Ayant mené par A F un plan perpendiculaire au plan des X, Y, qui le coupe en AE, les angles BAEnzii, EAFiz:^, détermineront la position de Taxe A F. En non^mant AX' — X', X'Y — Y% YZzziZ', les coordonnées rectangles de Télément Z, rapportées à l'axe des abscisses AE, et prolongeant YX' jusqu'à sa rencontre avec l'axe AB en P, on aura XYPzgo^— -APX'htj, XP zz Y tang Yj, YPiziYsecvj, partant

X' zz A P cos 7] zi: X cos 7] -f- Y sin v), Y' =: Y sec » — X' tg 71 ^ Y cos 7] — X sin ri, 7l =: Z. Si Zj et X'j sont parallèles à YX' et YZ, X'j sera dans le plan EAF, e* coupera A F dans un point 2; Zj- sera perpendiculaire au plan EAF. Ayant donc abaissé dans ce plan la perpendiculaire yx à A F, dont la prolongation rencontre AE en v, on aura les coordonnées Kx-ziXf xyzzy, yZzzzz, Mais A s X' rz a; s j HZ 90"* — ô, et xyzzzz $, partant

X zizAv . cos^ zz: X' cos ô -f- X'j- tang ôcos ù zz: X' cos $ -|- Z sin ^, yzizvy — ^j a; zz: Z sec ô — x tang ô rz Z cos $ — X' sin $,- et z :zz Y'j ou .T zz: X cos 7) cos 5 -4- Y sin t) cos ô 4- Z sin ô, j zz; Z CC5 ^ — X cos 73 sin 5 — Y sin 75 sin 5, 5 zz Y cos v) — X sin 11; ~ d'où l'on tirera

iB8 ASTRONOMIE PHYSIQUE

a^jx^r — î XX cos^ >] sin 2^ — ? YY sin^' >] sin aô-j-^ ZZ sin 2I ■— XY sin y] cos ri sin 2Ô -j- XZ cos y\ cos 2^ -}- YZ siii t) cos a^,

ac s ^i: — XX sin y] cos t) cos ô -|- Y Y sin y] cos t) cos 9

-[- X Y cos () (cos^ 7) — sin^ tq) — X Z sin t) sin 3 -4- Y Z cos v) sin ^.

En substituant cela dans les équations de condition, — - — — mo et zi:o

cos 2 Q cos $

on aura les équations suivantes:

o m — - tang 2 é (A cos^ Ti-j-Bsin^?)— C) — Dsinv) cos t] tg 2 5 -[- E cos >] -|- F sin vj ^

o zz: (B — A) sin >i cos v) -|- D (cos^ t] — sin^ t]) — E sin >] tg t) -}- F cos vj tg é.

£)fn faisant tangy] zizt^ la dernière équation donnera

tang 5 zi: -^ — j- — -— , donc

(F ^ E f ) sec /) 2(F — E 0 {0 ^^ + (A— B) f — D} secvj

On conclura de la première équation,

2(E-f-Ffl secTi tang 2ô rz

(il — C) /-^ ^ 2D f-f- A— C* En comparant ces deux valeurs de tang 2Ô, on aura une équation du cinqiè-

îaie degré, divisible par sec^ >i zz i -[- ^^^ ensorte que i sera donné par une

équation du troisième degré. Il y a donc dans chaque corps , une ou trois

valeurs réelles de ïzztang-Kî, et par conséquent de tjizzBAE, après quoi

on aura

. . , T. . -n (^ — B) sin 2 V] — a D cos 2 7]

tang é ZZ fang E A F ZZ ^ ■ -.

° ^ 2 (F cas 7] — E sin -/]) '

éiquation qui donne toujours une valeur réelle de $~; et les angles ri, Ô, détermineront la position de l'axe libre AB qui existe dans chaque corps.

§. 83, Il s'agit maintenant d'examiner, si les trois racines de l'équation précédente sont réelles dans tous les cas. Supposons pour cet efîetj que AB soit l'axe libre, trouvé par l'une des trois racines qui est toujours réelle, et que AF soit un autre axe libre, dont la position est cherchée au moyen des angles BAE = 7), E AF =:e. Si ces angles sont toujours possibles, il est prouvé que le corps a, outre l'axe AB, encore un autre axe libre AF5 d'où il suit, que l'équation cubique a deux, et par conséquent trois racines réelleso Soient, comme ci-dessus, les coordonnées de l'élément Zzz dMf par rapport à l'axe AB, X, Y, Z, celles relatives à l'axe A F, x^ y, «: