LIVRE IV, C H A P. II. ï

cela posé, les valeurs des produits xy, xz, seront les mêmes que dans le §. 82. Or AB étant un axe libre, on a (§. 8j.) /XYaM = D = o et /XZ8MiiiE:zr o: AF sera donc aussi un axe libre, si les équations (§.82.) /xj3M=zo et fxzdMzn ù, après y avoir substitué D rz o et Ezno, donnent des valeurs réelles de y\ et ô. Or ces équations se transformeront en

(A) o =: F sin vi — | tang 2 Q (A cos^ v) -j- B sin^ y\ — C),

(B) o zz: F cos "n tg 0 — (A — B) sin y\ cos t) :

ce sont les deux équations de condition, pour le cas où AB et A F sont des axes libres. On satisfait à la dernière équation, en supposant cosvizro ou y) zz go® et sinyjzzi. En substituant cette valeur dans la première équation, on trouvera

ce qui donne deux valeurs, ôzzEAF et ô' zz: E AF -j- 90°, qui déterminent les deux autres axes. Puisque BAEzzt] est un angle droit, et que les plans BAE, EAF, sont perpendiculaires Tun à l'autre, BAF est aussi un angle droit, d'où il suit que AB est perpendiculaire aux deux autres axes. Mais la ditrérence entre les angles & et é' est aussi un angle droit: d'où il résulte ce théorème important, que chaque corps a an moins ^rois axes libres, gui se coupent l'un l'autre perpendiculairement dans son centre de gravité (§. "ji). En. concevant donc une surface sphériqué autour du centre de gravité ilig. i9-), qui est coupée par les trois axes libres en B, C, D, les arcs BC, BD, CD, seront des quadrans*

§. 84. Soient {Fig. 18.) AB, AC, AD, les trois axes libres, A le centre de gravité, d'où Ton compte, comme ci-dessus, les coordonnées de l'élément ZzzaM, AXizrX, XYzzX, YZz=Z. Cela posé, les distances de l'élément Z aux axes AB, A G, AD, seront

ZXz=Rzi:y(Y^^-Z-j, ZH^r^zV (X^ + Z^j, YA=z?=:l/ (X^ -f Y^). Les momens diaerlie du corps (§. y6.) seront donc, relativement r à l'axe ABzz:/R28M = B-f GzzMaa, (D).... -< à l'axe A C =/ r^ aM = A-f C iz: Mé^, • ( à l'axe ADzz:/e^aMz-A-|-BzzM ce. Outre ces trois équations entre A; B, C, on aura D zz 0, E zr o, F zz o.

Soient relativement à un autre axe quelconque AF, Axznx, Tjznjy tZn-i^; alors le moment d'inertie par rapport à cet axp sera (§. 82.)

(E) / (f + Z-) d M — A (sin^ 71 4- cos=^ r, siu^ $)

4- B (cos= ri 4- sin= 10 sin^ ô) "f C cos^ 0 zz M L.k. Or on a pour chaque axe, situé dans le plan BAC, ôzzo: le moment d'inertie relativement à un pareil axe sera donc

A sin^ 11 -4- B CGs^ vj -j- C zz Mm/n; d'où il suit

■yiaa — M/w m =z (B — A) sin^ r^, Mhh — M m m m ( A ^ B) cos^ n^ Mec — lÂmm ^z. A cos" -vi -|- B sin^ y\ — C , Mkk — Mmmdz (A cos^ >] -j- B sin" v) — G) sin^ Ô. Quelle que soit donc la valeur de v] , ou la position du plan EAF, la diiïérence entre les momens d'inertie par rapport à l'axe AE et à un autre axe quelconque A F dans le plan EAF, savoir M/r^- — ^Imm, sera un maxlinuni^ lorsque ô zz 90°, ou que A F coïncide avec l'axe libre ADj c'est-à-dire, la différence entre les memens d'inertie par rapport à AD et à AE, est plus grande que celle entre les momens par rapport à AD et à un autre axe quelconque AF, quelle que soit la position du plan EAF ou EAD: donc let moment par rapport à AD est plus ou moins grand que le moment par rapport àAF, selon qu'il est plus ou moins grand que relativement àAE; d'où iî suit que le moment d'inertie par rapport à l'axe AD est un maximum ou imnimum. Puisqu'on doit dire autant des deux autres axes AB, AC, on en> conclura en général, que dans chaque corps, le moment d'inerùe relativement à chacun des trois axes libres est un maximum ou minimum. Or le moment d'inertie ne pouvant devenir ni négatif ni infini , il en suit par la nature des fonctions, que ces trois momens seront alternativement des maxima et des minima , de sorte que le plus^ grand de tous les momens d'inertie dans le corps appartiendra à l'un des trois axes libres, et le plus petit de tous les momens appartiendra à un autre axe libre. Cela mérite encore quelque développement. Dans le cas où y] est nul, AE coïncide avec AB. Alors, le moment par rapport à AF étant plus ou moins grand que celui par rapport à AB, le moment relatif à AD lésera à plus forte raison, ainsi qu'on- vienï

r. I V R E ÏV, C H A P. ir. i.f»

ëe le voir. Si donc les momens relatifs à AB et AD sont égaux, le même' moment appartiendra à tous les axes dans le plan BAD: il en est de même des axes AB, AC^ et AD, AC. Dans tous les cas on peut regarder un des trois axes libres, par ex. AB, comme celui auquel appartient îe plus grand moment, et un autre, AD, comme celui qui a le plus petit moment j de sorte que Maa'^M.l-'j, et Mbb'^Mcc. Supposons donc <r^=:c"-^a^ è= = c^-f-(3^ c^=ze=^ — a% è^-^^ — 7^^ les différences a, ou (3, ou y, seront nulles , si deux , ou tous les trois momens sont égaux. Maintenant les équations (D) donnent

ce qui étant substitué dans la valeur (E) du moment relatif à un axe queîcfonque A F, donnera

MkkzziMaa cos^ >i cos^ ù -}-Mbb sia^ v) cos^ d -{-Mec sin^ S , eTen substituant a==^—c^-fa^, è^z=c='+^^ et ensuite 3^— a^ — 7^ c^^ — a^— a%.

M /("/?; =1 M c^ 4- M a^ cos^ t] cos^* 0 -f M [3^ sin^ n cos^ ^ ,, et

M /(' /f m M a=^— M 7^' sin^ y\ cos^ $ — M a^ sin^ d ; d'^oii il suit que tous les momens Mkfc sont moindres que ïe plus grand, et plus- grands, que le plus petit des momens qui appaiiiennent aux trois axes libres: l'un de ces derniers momens sers donc un maximum absolu, et un autre sera un mmimum absolu. Si les t'tûis momens principaux, M a^, M b"^, M c^, sont égaux, a, [3, 7, sont nuîs^ et Mâ^:zz Ma^— : Mc^rz M/6^: donc tous les momens dans le corps entier sont égaux. Si deux momens sont égaux, par ex. M«^z=:MZ>^ qui se rapportent aux axes AB, AG, 7 est nul, et l'on a M/^-^rzMa^ — Ma^sin^ar^Ma^cos^'tJ-J-Mc^sin^*^, et en faisant ^ =: o , MPznMa^zizMb^-y d'où il suit, que les momens, relatifs à tous les axes dans îe plan BAC sont égaux: ce qui est d'ailleurs évident, parce que si MP était plus ou moins grand que Ma^^ la difïérence entre Ma^ et MZ*^ serait encore plus grande. C'est à cause de ces propriétés remarquables , que ces axes ont été nommés axes principaux de rotation j on a vu que chaque corps a au moins trois axes principaux, perpendiculaires l'un à l'autre, et passant par le centre de gravité. Pour fixer les idées , nous supposerons conslam- Bient j que le m,oment Mà^ qui se rapporte à l'axe AB, est le plus grand

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de fous les momens , et que le moment Mc^, relatif à Taxe AD, est le

plus petit.

§. 85. On a yu que, pour un moment quelconque MA*^ on & k <C a 6Î k'^C;, d'où il suit b <^a et b'^c. Les cas particuliers, qui paraisssent être une exception de cette règle , seront d'une grande importance dans la suite. Si par ex. la nature du corps est telle aue B=:C, les momens M/>*^;A-j-C et Mc*z=:A-{-B (§- 84.) (D), relatifs aux axes AC, AD, sont égaux. En feisanl donc >3:ii:o, on aura, à cause de Dz=:EnrFiz:o, tang 2O zz: ^ (§. 83.)(C;f l'angle ô est donc indéterminé , d'où il suit , que tous les axes qui passent par A dans le plan CAD, satisfont aux conditions des axes libres, et sont par conséquent des axes principaux; le moment par rapport à chacun de ces axes étant M 3=*=: Me*.

Si A = B z= C, tous les trois momens principaux sont égaux, Ma^zi: M^^rzMc^ (§. 84.-(D)). Alors l'équation (B) (§. 83.) donnera sin7]=^: ainsi les deux angles >] et ô sont indéterminés, d'où il suit que tous les diamètres, passant par le centre de gravité, sont des axes principaux, ayant le même moment d'inertie, A-f-Bzi: A-j-CnnB-j- C. Il est donc prouvé que, dans le cas où les momens par rapport à deux ou trois axes principaux sont égaux, le corps a une infinité d'axes libres.

§. 06. Soit {fig. 20.) A G l'axe d'un solide, formé par la révolution de la courbe A MB ajitenr-tle A G, ensorte que toute section du corps, perpendiculaire à A G, est un cercle. Si l'on mène un plan par l'axe AG et un point quelconque M du corps, la commune section de ce plan et de la surface du corps sera la courbe génératrice A MB: ayant donc abaissé sur l'axe la perpendiculaire MX, la nature de la courbe A MB sera donnée par une équation entre les coordonnées AX.zi:x^ XMzz:?^. Imaginons deux plans, perpendiculaires à AC, et passant par deux points M, m, très -peu distans entre eux: alors on aura un disque Mmx'K d'une épaisseur é\iÎRouissante, dont les bases sont deux cercles parallèles des rayons XM et :rm. Soit dM la masse d'un élément Z de ce disque: ayant mené ZY :zz z et YXizrj, perpendiculairement au plan AMG et à l'axe A G, on pourra regirder l'élément Z comme un parallélépipède, dont les trois côtés sont l'arc circulaire,