L IV R E IV, C H A P. IL

décrit dans le plan MZX du rayon XZzr, et les droites dx, dr. En nommant donc l'angle MXZzzcp, les trois côtés seront dx, dr, r3cp. Comme la densité du corps est supposée uniforme, on peut l'égaler à l'unité, ce qui donnera

5 M zn^rdrd xd(^.

Mais on a j = 7* cos cp, s zn r sin cp, d'où il vient (§. 82.)

Kz=ifx^rdrdxd(^, B— /r^ cos^Cp . 9r3a;acp, C~::fr^s\n^(^.drdxd(^, Dzi:fxr'^cos(p.drdxd(p, E:zzfxr^sm(p.drdxd(p, Frz/r^sinCpcos^) .drdxd^p^ fxdMz:zfxrdrdxd^^fjdMz=:fr'cos(p.drdxd(p,fzdMz=:fr''s'm(^.drdxd(p'^ les intégrales devant s'étendre à la masse entière du corps M.

Si l'on intègre d'abord les formules précédentes relativement à (p, depuis cp zz: 0 jusqu'à (p zi: 36o° 31 2 tt , on aura les intégrales pour la zone du rayon r, comprise entre les plans MX, mx. En intégrant ensuite par rapport à r, depuis rzzo jusqu'à r:^X.M.zr.u, on aura les intégrales pour le disque entier du corps, terminé par les plans MX, 7nx. Si l'on intègre pour la troisième fois par rapport k x ei u, depuis xzno Jusqu'à x :iz x , on aura les intégrales pour le corps entier depuis A jusqu'à XM.

De cette manière on trouvera par la première intégration, fxdMzZ^Tvfxrdxdr, /j3Mi:sin ^-n .fr'^drd x, fzdMzZ^i ~ cos I'k) f r^drd x,

ovi JydM — Q et fzdM — o; d'oiî il suit que l'axe AC passe par le centre de gravité. On a ensuite A'ZZ.i'Kfx^rdrdx, Bzi:î/dcp(i -}-cos2Cp)r3 3r8a;ri:(|(|)-j-|sin i(^)fr^drdxy

ou B zzz-rrfj-'^drdx, Cz::z.'Kfr'^drdx:zzB, D zizs'm ^Tvfr^xdrdx, E n: ( I — cos im^fr^xdrdy:, Fzi:î/8(|)sin2Cp.r3dr8a;ii:î(i' — cos 4 '7r)fr^ drdx^ donc Dizio, E zn o, F zz:Oo

Les équations Dzz:Ezz:F=ro nous apprennent, que l'axe AC d'un solide de révolution est un des axes principaux de rotation } et l'équation B iz: C indique, que tous les axes, perpendiculaires à AC, et passant par le centre de gravité, sont aussi des axes principaux (§. 85.). La seconde intégration donne fxdMzn'Kfu-xd'X, AzzL-Kfu^x^dx, BznC^jfu'^dx.

La troisième intégration ne peut s'effectuer, à moins que la nature de la courbe A MB ne soit donnée par une équation entre x et u. Pour cela

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il sera plus commode àe prendre les abscisses du centre de gravité Cj et comme I«s deux premières intégralions sont indépendantes de l'origine des abscisses, les équations précédentes auront également lieu, si l'on fait CXnzx. §. 87. Si le solide est un sphéroïde aplati aux pôles, et A MB une ellipse dont le grand et îe petit demi-axe sont BC^za, ACmb, G sera le centre de gravité, et l'on aura a^:=— (^^ — jc^), d'où l'oa conclura pour ie àemi ' spliéroï de ,

. -TTC* -j TTa' - 2 7-? /I T\ '

«t pour le sphéroïde entier

Le moment d'inertie est donc, par rapport au petit axe A G, B-j-G=: ~a*'^, et par rapport à chaque axe qui lui est perpendiculaire, ou à chaque diamètre^ de l'équateur , A 4- B zz ^ tt^ 3 (a^ -^- i>^). Puisque BM est ■=zrdrdxd(p (§, 86.), la triple intégration donnera la masse du demi-sphéroïde,

lM:rzi'Kfrdrdx — 7rfirdxizZ7ra^fx—'^\ donc M — | tt a=^ ^.

Les momens d'inertie seront donc, par rapport

.au petit axe zz: S M a^,

M aux diamètres de l'équateur =: — (a^ -[- b'^).

Le dernier est donc le plus petit, et le premier est le plus grand de tous

M les momens du sphéroïde, la plus grande différence étant — («^ — b^). En

permutant a et b, les formiUes précédentes donneront les momens d'un sphéroïde alongé aux pôles.

Dans la sphère on a a'mib, d'où il suit que le moment d''inertie, par rapport à tous les diamètres d'une sphère, est -— a^ n: ^M «^.

Si les méridiens et l'équaleur sont des ellipses, ce qui est probablement le cas de la lune, soit G le centre, CAzzyî: le demi-axe de rotation et î'axe des ordonnées z^ CBnzJ'le demi-grand axe de l'équateur et l'axe des x, et h le petit demi-axe de l'équateur et l'axe des y. Cela posé on aura pour l'élément Z iz: d M, C X = «, X Y zz .r, Y Z znj. En . faisant donc X M zz u,