LIVRE IV, C H A P, IL
XZ=:o et lîommanl r le rayon r, prolongé jusqu'à la surface; on aura dans le méridien elliptique A MB,
et dans îe parallèle passant par XZ, qui est semblable à l'équateur,
x^ et / étant les coordonnées qui répondent à r. En nommant (p l'angle YXZ, dont le rayon r est incliné au grand axe du parallèle, on a
a;' =r r cos (p , / — rsincp, r'^ — :r'^ -f-/^ donc / h V,
La sphéricité de tous les corps célestes étant très - petite , en faisant /n; A (i 4" «), on pourra négliger la seconde puissance de 5, ce qui donnera
(3) r ::= — — -———.__ z=iu{\— -ô' sin" Cp).
Si l'on intègre maintenant les fonctions A, B, etc. (§. 86.), d'abord par rapport à r, depuis rrzo jusqu'à r^zr, ensuite par rapport à Cf), depuis (p =: o jusqu'à Cp =: 2 7r, enfin par rapport à z, depuis zzzio jusqu'à z zz. k, ces intégrales, étant multipliées par 2, s'étendront au corps entier. En substituant donc dM.zzrdrd(pd z, xzzrcos (^^ y zzr sm cp, on aura
A-zzifr^dr.d^pco&^Oi.dz, B Z3 a/r^ar.acpsin^Cp. dz, .
Cznifrdr .d(p . z^dz, D = a/r^ ar.a$sinCpcos(p .3s:,
'E — -ifr^dr.d(pcos(p,zdz, F =: a/r^^r.acpsincp.^îâz. Après avoir intégré trois fois, on trouvera
A =1 y ^ a (p cos^ Cp . 9 s = y — a cp cos^ (p (i ~ 4 ô sin^ Cp) a 2 =:
/~a(p(i + cos2Cp-ô-hô-ccs4(p)33i:^(i-ô)^;/;A-4 2/^=^2 j^4)3^-. donc
A zz: i^ (I - ÔO /4 /..
On trouvera de la même manière
Bzzi/t^ (i 3ô)/n-, C=z^(i-ô)/^^3^ D=ro, E — 0, F = o,, On aura donc les mornens d'inertie, par rapport
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au grand axe de l'équateur, B-j-C:=^-|/^^(/^-f-^^ — 30/^ — 0' F)=zMa^
au petit axe de l'équateur, A-j-Cn:^ (i — ô^)/^^ (/^-f-F) = Mi%
à l'axe de rotation, A4-B= ^ (i — 2Ô)/4 /^ = Mc\
h L'aire de l'ellipse, passant par MX, est ~ ttm^, d'où l'on tire le volume do
ûis(iueMx:rz—TTu'^dzzzi~--~yP—z^)dz, partant le segment GM=z——[/i:*—-— ] 25
d'où il suit le demi - volume du corps m = Tvfhk, et le volume entier
3 / nr -f ^
Mmi^J'hk. En substituant dans les équations précédentes, —r-y^^ /^zz— Mj 3 -f __ h ^
et ô zz , on trouvera
§. 88. D'après ce qui piécède, la théorie du mouvement des corps se réduit aux propositions suivantes.
1. Le corps ne peut tourner librement autour d'un axe invariable qui n'a pas besoin d'être appuyé, que dans le cas où c'est un des axes principaux. En effet ^ si le corps n'est sollicité par aucune force étrangère, l'axe n'éprouvera que l'eiFort des forces centrifuges qui, par conséquent, doivent se détruire réciproquement: ce qui est le caractère distinctif des axes principaux (§. 81,). Si le corps est sollicité par des farces^ dont les momens statiques ne se dé^truisent pas,, elles accéléreront sa rotation, ou changeront sa vitesse; mais ii est impossible^ que les forces centrifuges, dépendant du carré de la vitesse (§. 79. n. 3.), fassent équilibre aux autres forces qui ne dépendent point de ce carré (§. 79. n. i.), quelle que soit la vitesse. Il faut donc, que chacune des trois forces centrihiges soit séparément égale à i^éro^ et c'est ee qui détermine les axes principaux..
2. La rotation xxs peut être uniforme que dans le cas, où il n'y a point de forces étrangères, ou qu'elles se détruisent mutuellement, ou que leur moment, pour faire tourner le corps, est nul: c'est une suite nécessaire de la loi d'inertie, et l'on peut en tirer la conséquence, que la rotation uniforme d*un corps doit avoir existé dès son origine, ou lui avoir été imprimée par mue impulsioa instantanéfii
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, 3. Des forces , dont la direction passe par le centre de gravité , ne peuvent pas faire tourner le corps (§. 67.): car, conformément à la nature du centre de gravité , elles font le même effet , que si tous les élcmensf étaient sollicités parallèlement, par des forces, proportionnelles à leurs masses; et il est visrble que, dans un pareil cas, tous les élémens avanceraient suivant des directions parallèles avec la même vitesse: il n'y aura donc point de rotation. Ainsi ces forces ne dérangeront point funiformité de la rotation, et il faut en dire autant des forces, dont la moyenne direction passe par le centre de gravité. .
4. Dans un cas contraire les forces feront tourner le corps: car la résultante qui ne passe pas par le centre de gravité, imprimera aux élémens du corps des vitesses différentes, d'où il naît nécessairement une rotation (§.66,).
5. Puisque chaque force agit sur Taxe, comme si elle lui était imprimée immédiatement (§. 77.% l'axe et le corps entier recevront un mouvement, à moins que toutes les forces ne se détruisent mutuellement: ce mouvement fera tourner l'axe autour d'un de ses points , ou sera une pure translation. Le dernier mouvement mérite une attention particulière.
§. 89. Quelles que soient les forces qui sollicitent le corps, le mouçement de translation du corps ou de son centre de gravité sera le même, que si chaque force était imprimée au centre de gravité, parallèlement à sa véritable direction. Soient {Fig. 21.) AB, AC, AD, trois axes arbitraires qui se coupent perpendiculairement, et sur lesquelles on a pris les coordonnées A'Kznx, XY zz: j, YZz=:z, et AEz=e, EF— /, FGzizh, d'un élément Z=z9M, et du centre de gravité G, pour un instarjt quelconque t. Cela posé on aura, par la nature du centre de gravité,
^-^■.xdU ^ 2 , y a M - 2 . 2 5 M
la caractéristique 2 se rapportant aux divers élémens du corps , et s'étendant à sa masse entière, de sorte que x, y, z^ et 3 M, sont variables pour le même instant, en passant d'un élément à l'autre. Désignons par / l'intégrale qui se rapporte au mouvement d'un même élément, ensorte que t soit variable, ^\/dt, dM, constans; et décomposons le mouvement de chaque élément Z, ainsi que celui du centre de gravité, suivant AB, A G, AD. On aura donc
ip ASTRONOMIE PHYSIQUE
En décomposant suivant les mêmes directions, les forces qui sollicitent chaque élément Z, en p, q, r, on aura (§. 17. n. 4-)? ^'àxziz. — — 3^^;, ou
-77- = ^ô-/'. -7^ = ^ê'^. -y^- = '^Er-,
ce qui étant substitué dans les dernières équations, donnera
dde 5Î.2g|> ig.^p dd f zg .t.q ddh 2g. 2r
Jlp, Iç, Er, é;ant les sommes de toutes les forces qui sollicitent clia<îue élément, décomposées suivant AB, AC, AD. Or le mouvement du centre de gravité serait déterminé par les mêmes équations (§. 17. n. 4-)) si toutes les forces étaient imprimées à ce centre, et que la masse entière M y fût réunie. Le mouvement de translation sera donc le même, que dans cette supposition: ce qu'il fallait prouver. Au reste, il est aisé de voir, que cette translation n'altère point la rotation du corps.
