LIVRE IV, C H A P. IV. i6t
et AD vers le pôle boréal de l'écliptique. En nommant donc la distance de l'élément 3 M au centre de gravité ZAzz.r, sa latitude ZAY iizp, «a longitude BAYzng, on aura ZY ■=zrs'm p, AYurrcosp, partani
(3) . . . . . X zr r cos p cos q , Y m r ces p sin q , Z 'zz r sin p. Si l'on suppose le corps perturbateur V en F, et qu'on nomme sa longitude vue de A, BAE:=:'i;, la tangente de sa latitude EAF:iia. sa didance de A, AE m ?', sa distance réduite à Técliptique ou accourcie, AEi::^;', on aura ?' :=: ^ -^C' 4"'^"-^» ®^ ^^^ équations
(4) ^rr^côso^, y^iz^smv, z-zz9\.
Concevons autour du centre A, une sphère qui est coupée par les axei AB, AD, et par AZ, en B, D, et Z {Fig. 24.), ensorle que D soit le pôle boréal de récliptique BL, et B le point o T d'ori se comptent les longitudes. Soit QNMR l'équateur de la planète A, P son po!e, N son noeud descendant ou son point vernal, dont la longitude est BNi=:£; soit l'angle formé par les deux plans, ou l'obliquité de l'écliptique sur Ja planète A, LNRouDP=:îâJ, PMle premier méridien, NMzz:to, la déclinaison de l'élément ZKznP, sa longitude géographique M K =: Q. Cela posé, l'ascension droite de l'élément, comptée du noeud descendant N sera NKzzQ-j-^^^^Q''» sa longitude V>Dhzzq, sa latitude ZLrzp, et sa longitude comptée du noeud N, NL=:^ — hzizq. On aura donc dans le triangle DPZ,
cosDZ=:cosPDcosPZ-|-sinPDsinPZcosDPZ, sinPDZ zz ''"^^'""^^^
iang PDZ =
sin D Z sin PZ sin DPZ sin PDZ
cosPZ.sinPD — sin PZ cos PD cos DPZ cos PDZ*
sin PZ . sin DPZ
et en substituant sin PDZ —
jinDZ '
sinDZcosPDZ=cosPZsinPD— sin PZcos PD cos DPZ. Si l'on substitue DZzzgo^ — /?, PDz=w, PZingo^—P, DPZ — go^+Q', PDZ 1:^:90° — q' , on" aura les équations suivanteiî,
r sinp = cosîÂïsinP — sinîScosPsin Q', cosyo cos/z-cosPcosQ', < cos p sin q' = sin ta s^in P -|- cos w cos P sin Q'. En introduisant ces valeurs et q-zzt-^^q', dans les équations (3), elles deviendront
zz cos g cos P cos Q' — sin e sin P sin te — sin s cos P sin Q'^cos X/S^
(6) , . . . . <J — zr cos £ sin P sin 10 -j- cos e cos P sin Q' cos ro -f- sin s cos P cos Q',
z:z sin P cos xs — cos P sin Q' sin W.
Ces équations nous apprennent, que X se change en Y, si l'on met — cos s à la place de sin s, et sin s au lieu de cos e, et que par conséquent X^ se changera en Y^, et ddXà'X en a3Yô"Y, si l'on met — sin e cos s au lieu de sin £ cos s, cos^s au lieu de sin^ £, et sin^ £ au lieu de cos^ e: partant ô d X $^ X deviendra 38XôX-[-9^Yô"Y, si l'on fait sin s cossu: sin £ cos e — cosEsin szzo, sin^ £ = sin^ £ + cos^ ^ = i> et cos^ £ n: cos^ £ -\- sin^ ezz i. On formera donc ê^XôX, en rejetant tous les termes multipliés par sin £ cos £, et faisant sin^ £ zn cos^ £ =: I , ce qui donnera c93Xô X -|- 3ôYô^Y,
D'ailleurs comme on peut supposer, que les planètes tournent sur un axe principal, les deux autres axes principaux sont situés dans le plan de réquateur. En prenant donc les coordonnées de l'élément, X', Y', dans ce plan, et les axes des X', Z', suivant les directions du méridien N et du pôle boréal P, on aura
Z':=:rsinP, Y' == r cos P sin Q', X' = r cos P cos Q'. Mai&, l'axe des Z' étant un axe principal, SX'Z'aM et SY'Z^aM sont nuîsj et par la nature du centre de gravité A, SX' 9 M, 2Y'dM, SZ'SM sont aussi nuls, d'où l'on conclura ces équations de condition:
(^) . „o=z2r''dM.sinPcosPcosQ', o = Sr^'aM.sinPcosPsinQ',
(8).. ...o^IraM.cosPcosQ'^, oz=2r3M.cosPsinQ', o=:2raM.sinP. ' Maintenant il faut diiférentîer X et Z, en regardant comme constans P et Q, parceque la rotation ne peut pas altérer la latitude et la longitude géographique de l'élément: les différentielles seront donc prises par rapport à co, f, tïSj et l'on aura BQ'zz Sw, parce que Q'=:Q-f-w. Ainsi les équations (6) donneront
/ — zz — 3 w cos P (sin Q' cos £ -{- cos Ç' sin £ cos lic)
> > a £ (cos P cos Q' sin s -j-- sin P cos s sin îiî -f- cos P sin Q' cos t cos vs)
^ ^ -j- ao3 sin £ (cos P sin Q' sin vs — sin P cos te) ,
f — iz — awcosPcosQ'sinw— ■aw(sinPsinto-]-cosPsinQ'cosîî3")|
