LIVRE IV, C H A P. IV

(io)..,.<

= — â 8 w cos P (sîn Q' cos s -j- cos Q' sin e cos ro)

— ddi (cos P cos Q' sine -[" sinPcosÊsintB -f- cos P sin Q' cos e cos w)

-|- dd 03 sin 6 (cos P sin Q' sin xfs — sin P cos vs)

-|- doj*cos P (sin Q'sin e coscï — cos Q'cos e)

-|- 5 e^ ^^sin P sin e sin C5 -f- cos P sin Q^ sin e cos xs — cos P cos Q 'ces e)

-\- dw^ sin e (cos P sin Q' cos Xf5 -j- sin P sin za)

-\- 2 3 w 8 e cos P (sin Q' sin e — cos Q' cos e cos us)

-j- zdwdxiS cos Pcos Q'sin e sinro-f-adedwcos e (cosPsinQ'sin xjs — sinPcosîiï),

zz: — ddw cos P cos Q'sin w — d 3 w (sin P sin vs -\- cos P sin Q'cos xj$)

-\- doy^ cos P sin Q' sin xiS-\- dm^ (cos P sin Q' sin wf — sin P cos vs) 2 d oj 3 îsJ cos P cos Q' cos ro.

Si l'on multiplie les fonctions (lo) et (9), en mettant dans les dernières la caractéristique S à la place de d, qu'on rejette tous les termes multipliés par sinPcosP "°Q' (ij) ou par sine cos e, et qu'on fasse sin*£iz:cos^ez= i, on trouvera

ddX. SX-hddY . SY

r53w (i — cos^ Q' sin* ro) -f-^^E cos ïjj — dd'us sïn Q'cos Q'sin xni cosxs' ô-w cos* P < -f- (a w^ -f- d £^j sin Q' cos Q' sin^ xfS — dw"" sin Q' cos Q' cojr cï ( — 2 d w 3 ro cos^ Q' sin ro cos tiï — 2 3 e 8 cï sin* Q' sin w

/ a 3 oj cos^ P cos w -(- a a e [cos* P -|- (sin= P — cos* P sin* Q') sin* te] ' ] — ddTÀ5 cos* P sin Q' cos Q' sin w — d ro* cos* P sin Q^ cos Q' cos ro J — 2acja£ cos* P sin Q' cos Q' sin^xo — 2awa w cos*P cos* Q'sin ro f -{- 2 a 6 a CJ (sin* P — cos* P sin* Q') sin w cos c3

— a a w cos* p sin Q' cos Q' sin tjS cos tïJ — a a £ cos* P sin Q' cos Q'sin V3 -\- ddv5 (cos* Psin** Q'sin* tS -|^ sin* Pcos* w) -\- aw*cos* Psin* Q'sin us cos ^ -4- (a 6* -|- a te*) (^cos* p sin* Q' — sin* P) sin vs cos tïJ -j- aa^a e cos* P sin* Q' sin xtS -\- 2.doidus cos* P sin Q' cos Q'sin* te

a dz . sz

-rj- ÔtC

6"w cos*P sin w

a a w cos* Q' sin 133 -f- aa tiJ sin Q' cos Q' cos t3

— (3 w* 4- a TO*) sin Q' cos Q'sin ta -f- 2ato3KJcos*Q''cosw!

î64 A s T a Q N O i\n E PHYSIQUE

Cddw cos* Psin Q'cos Q'sin 23 cos iii?-f- ^3^3 (sin^Psin^cc -f" cos^Psin^Q'cos^îo^ "} -j- ô'ros — 3w"cos^P8iii^Q'sinî«îcosîw-t-dî3^(siii^P — cos^Psia'Q'')amri5cosîit > " C -j- 2 5w3îS cos^ P sin Q' cos Q' cos^ t« • y

d'où l'on tirera, en ajoutant ensemble ces denx fonctions, (g. 99.)

— =: Ôcocos^P { a9cu+aaecos'SJ+ïsin2Q'(a£'='sin^î5— 9tÂj2)— 869ts (i— C0S2Q') sinîS >

3acdCos^Pcûsw4-aa£[cos^P + (sin^P — îcos^P(i— cos2Q0)sin2ro:

—cos^ PsinaQ' sinw — cos" P sina Q' (—^ cos ic + 800^5 sin-^îc |

' ^ — dcodîC cos-^P (i -|- cos 2Q j sin rcf

-f 2dèB xs [sin^ P — I cos" P [i — ^ cos 2QO] sin w cos ^

cos^ P sin 2 Q' sin ro -f a a ® [sin^ P + î cos^ P (i — cos 2 Q')]

-|- $'t5 ^ + a £^ [| cos^ p (i — cos 2 Q'; — siii^ PJ sin vs cos îâj

^ ^ c aaoj -|- aas cos ^ — asat^sin tiij=racaco + ô^cosw)zz:i2,

c a (au cos to 4" 90 ^=^ E , aa to-]-acda£ sinio zz: n^

CSr^aMcos^PiizH, 2r= aM sin^ P =1 K,

C 2r^aMcos=^Pcos2Q'=zL', 2 r^ a M cos^ P sin 2 Q' =1 N';

et substituons cela dans îa valeur précédente de — : il viendra

suaMzz^w 5HuQ-f^\a£^sin=^î3 — aro^j + L'aaato?

, ^ jHE^-^K— |H-f jLOaa£sin^to— ÎN'C33^smw-faro^CGST0-f-2awa£sin=tu> ^— L a w a ro sin TO -f- (2 K — B.-\-V)dedvs sin vs cos vs S

, , cHn — î N'aaa sin î54-(K — ïH — iL')aaw >

C-4-i|H — K— I L') ae^ sin te cos rs — L^ac^a^ sin to -f- N'' awano) On peut simplifier cette formule par les considérations suivantes. Si l'on suppose la planèle A sphérique, sa densité égale à l'unité , et qu'on regarde l'élément a M comme un parallélépipède, dont la base est terminée par les arcs infiniment petits de deux méridiens et de deux parallèles , et dont la hauteur est la différentielle de la distance r, on aura aMzraP.raQcosP .an: :r^aAa(;).aPcosP, d'où l'on tireH-Ir^ar.aQ.aPcos^P, KrSr^ar.aQ.aPcosPsin^j