LIVRE ÏV, C H A P. IV

mitîveraent tourné autour d'un axe principal , ce qui est probablement le cas de tous les corps célestes.

§. io3. Supposons que l'axe des Z, AD (Fig. 18.) s'écarte trës-peu de l'axe de rotation AF, et que par conséquent le plan des X', Y', coïncide à peu près avec Féquateur, X', Y', Z", étant les coordonnées de l'élé» ment Z, relatives à léquateur et à Taxe de rotation, ensorte que Aa:rr:Z', xy :rz — X', yZznW Ce!a posé, X', Y', Z' , seront les lignes qui ont été désignées (§. 82,) par — j^ x, z: on aura donc (§. 82.)

^X'zn X cos 7] sin ô -|- Y sin ?j sin Ô — Z cos ô, Y'zi Ycosv) — Xsinn, C Z' zn X cos Y] cos ^ -|- Y sin y\ cos i? -f- Z sin ô, la position de l'axe de rotation, qui est supposé invariable pendant le tems dt, étant déterminée par son inclinaison sur le plan des X, Y, EAFzz:^, et par l'angle BAEzzt) que f:;lt la commune section AE avec l'axe des X, de sorte qu'il faut regarder ies angles t], ô, comme constans pendant la rotation instantanée. Soit maintenant l'axe de rotation représenté par AD, les coordonnées de l'élément j- étant AUzziX', UX'zzY', X'jzziZ': cela posé, les distances de l'élément à Taxe et à l'équateur, A X** et Z', ne seront point altérées par la rotation. En supposant donc, que la rotation se fait suivant BG avec la vitesse angulaire y, l'élément y tournera parallèlement à la direction X'Y ou PX' qui est perpendiculaire à AX', en parcourant en une seconde la ligne «. AX'zi:e; on aura donc

X i:* AX' AX'

d'où l'on conclura ces trois équations,

dlL' — — ^.Tdt, dY'^^^.X dt, dZ'=:o, et en substituant les valeurs (17),

5X cos 7) sin ^ -|- 5 Y sin v) sin ô — 3Z ros i5 iz: — a .Y' dt^ d Y cos f\ — 5 X sin 73 =1 y . X' 3 /, 5 X cos tj cos i3 -|- r) Y sin >] cos ô-}-3Zsinôzzo. Si l'on ôte la première de ces équations, multipliée par cos f, de la troisième multipliée par sin ^, il viendra

(18) ^ =: « . Y' cos ^

Si l'on multiplie la troisième par cos v], et la seconde par ■— siniicosô, et

qu'on les ajoute ensemble, on aura 8Xcosô-|-3Zcos>)sin ézz — «.X^/sinvicos^,.

et si Ton substitue au lieu de 3Z sa valeui' (i8), il viendra

d X (19) -— =1: — a (X' sin t) 4- Y' cos vj sin $).

La somme de la px-emière et de la troisième, multipliées respectivement par sin ô et par cos ô , donnera 3X cos >] -j- 3Y sin >i m — «.Y'3^sin^, et en

substituant (19), on aura

(20) -r— zn « (X' cos y\ — Y' sin >) sin é).

La position de l'axe de rotation, que nous avons déterminée par les angles rt, $, peut aussi être donnée par les angles que cet axe fait avec les trois axes principaux, savoir BAFzrza, CAFr::::[3, DAFzz7. En effet on a cos a ;:=: cos Y] cos d, cos [3 n: sin 7) cos 0, cos 7 m sin d, d'où il suit cos^ a -|eos^ (3 -f- cos^ 7 zn I , et sin^ 7 rz cos" a -|- cos^ (3. îsi l'on substitue dans les équations (18) (19) (20) les valeurs (17), et qu'on fasse pour abréger,

(21) . . . . . w cos a zz:^, « cos (3 =z ç', « cos 7 := r^ on trouvera

(G) ^ = Z7-Y,., iï=X.-Zp, i|=Yp-X7.

Nommons a, h', c' , les forces accélératrices qui sollicitent l'élément 3 M suivant les directions des X, Y, Z, et désignons par P', Q', R', les momens de ces forces, pour faire tourner l'élément autour des axes AB, AC, AD, suivant CD, DB, BG: cela posé, il est aisé de voir que la force d aura suivant les mêmes directions les momens, o, a'Z3M, — «'YSM, que b' aura les momens, — 3'ZaM,o, Z-'XaM, et e' les momens c'YaM, — c'XaM, o. On a donc

(22) F=:(c Y — 3'Z)aM, Q'=(a'Z — c'X)aM, R'z=(Z>' X— a'Y)aM.

En substituant les valeurs de a, b' , d, (§. 99. (2)}, la somme des momens dans le corps entier sera

■VD^ 5:(Y3aZ ZaâY) ^n' — ^iZ33X-X3^Z]3M

^^- ^Ïâ7= ^^' ^^-^ Vf,i^

La différenliation des équations (G) donnera

L I V R E IV, C H A p. IV. 1^3

-— zizZdq — Ydr^{Xpq — ^cf' — Xr^ -\-Zpr)dt,

(23) ^-^1 —Xdr — Zdp 4- {Zgr — Y r'^ — Y p- -f- Xpç) dl,

— — =zYdp-~Xdq-]-iXpr-- Zp^ — Zg^ -^Y q r) dt.

Maintenant, les axes des X, Y, Z, étant des axes principaux, il faut se rappeler que, dans les intégrales 2 P', SQ'', 2R', tous les termes disparaissent, qui ne sont pas multipliés par X^ ou Y^ ou Z^, et qu'on a nommé

^X'^dM — A, SY-aM— B, 2Z^3M — C; d'où l'on conclura ces équations, 2^.SP'zz(B-|-G)^-f(B-G)vo 2^i:Q' = (A4-C)^^-f(C-A)po a^SR'zz (A 4- B) ^J" -|^ (A — Bj ;? q; et en substituant A -f- B iz: Ma%

A -f G iiz M/^% B 4- G z3Ma%

CH) oz3^f^SP'->a;. + ^l%ra.,

Si l'on met dans les équations (22) , au lieu de a^ h' ^ c' , leurs valeurs (§• 99- (0). on aura A — -^7- (Ys " Zj), Q — -^^ (Z^ — Xs), R — -^j- (Xy ~ Y^;^

.if^ y-, z, étant les coordonnées du corps V. Mais — = -7 — j y- (X cos v 4-

Ysinv-j-ZX) (§. loi.); et le termme -7^ disparaît dans les intégi'ales SP', SQ', SR', parce qu'il ne renferme que les premières puissances de X, Y, Z. On aura donc

SP'zi: — ^ (B z sin v — CjX), 2Q'= ^/ (Ca;X = A ^ cos v),

3 V P S R' =; -y-- (A j cos -u — B a; sin v).

Or Air: , B iz: , G:=: , :c zz ^ cos t;, yzr^sin v,

.z=,oX (§. 100. (4)), i^ = -^__ (§. 100.), et -^^ =^ ^^ (i&). d'où il viendra

-M - - r^- (^ - ^^) S^« ^' -^- = —y^n («^ " -') COS V,

iji ASTRONOMIE PHYSIQUE

—y^ — — — -^ (3 ~ a^) sm u cos v.

Au mojeii de ces valeurs- les équations (H) deviendront

VIL 0 = ^4- ^-1=.^-! (nr - l!il^"J^^

TV- ^ i &* — a^ / Sn^sinvcosv

§. 104. Si la planète M n'est sollicitée par aucune action étrangère, les forces a, b' , d , sont nulles, et leurs momens P', Q', R^ le sont aussi: \ts équations (H) prendront donc, si le solide est libre, la forme suivante:

^^^ J7-~~^'*' J7--T^~P^' Tt--T^—P9'

Pour que la rotation soit uniforme autour d'un axe invariable, les quantités p, q, r, (§. io3. (21)) doivent être constantes, ou dp, dq, dr, nuls, d'oii l'on conclura ces trois équations de condition,

(d).....[c^ — b-)qr:=zo, (a^ — d)prz=z o, {P — a^)pqzilo. Ces conditions sont satisfaites d'abord, si az^b^zic, c'est-à-dire si tous les momens d'inertie sont égaux, et que par conséquent tous les diamètres de la planète sont des axes principaux (§. 85,): le cas le plus simple est celui d'une sphère homogène. Elles sont encore satisfaites, si deux des quantités p, q, 7-, sont nulles, ce qui arrive dans le cas où le corps tourne sur «n axe principal. En effet, si c'est l'axe AD, on a (§. io3.) a = (3 = 90*, et 7ZZO, d'où il suit (21) pzno, ^ =: o, et r zz: ». La rotation est donc uniforme et invariable, si le solide tourne autour d'un axe principal^ et l'inverse de cette proposition est également vraie: la rotation uniforme ne peut avoir lieu qu'autour d'un axe principal. En effet il ne peut exister qu'un des trois cas suivans: i) tous les trois momens d'inertie, a, b, c, sont inégaux; 2) deux momens, a, b, sont égaux, mais différens du troisième c; 3) tous les trois momens égaux, a^—bj—c. Dans le premier cas, pq, pr, qr, et par conséquent deux des quantités p, q, r, doivent être nulles, ou ce qui revient au même, deux des angles a, p, 7, doivent être des angles droits, et le troisième nul, afin que la rotation soit uniforme j d'où il suit que l'axe de ro-