CHAPITRE II

Lois générales du mouvement.

§. 12. JLj'explication donnée plus haut (^. 3. 4-)» d'après laquelle chaque force est envisagée comme étant composée d'une infinité d'impulsions, réitérées suivant la loi de continuité, est très-propre à déduire les lois du Hiouvement d'une simple application de la loi d'inertie. L'intensité ou TefFet d'un choc ne peut être déterminé, ni par l'espace seul que le corps parcourra, après avoir été frappé, ni par le tems seul pendant lequel il continuera son mouvement, parce que l'un el l'autre croît à infini suivant la loi d'inertie. Mais dès que le tems est connu , dans lequel le mobile parcourt un certain espace, l'intensilé du choc est déterminée, en supposant que, pendant ce tems, le mobile n'a éprouvé aucune nouvelle impidsion. Il est donc clair, que les chocs et les forces ne peuvent être mesurés que par la combinaison du tems et de l'espace: c'est ainsi que s'est développée une nouvelle notion, la relation entre le tems et l'espace, ou la vitesse. L'espace parcouru dans un. certain tems, ou la vitesse engendrée, fournit donc la mesure d'une impulsion^ et on verra aisément, qu'il est indifférent,* si l'on prend le tems grand ou petit, pourvu qu'on soit certain que l'espace parcouru dans ce tems est l'effet de la seule impulsion, qui doit être déterminée. Si le mobile a 'éprouvé successivement plusieurs chocs, il faut que l'espace qui servira à déterminer le premier choc, n'appartienne pas à' un tems, plus grand que l'intervalle emre le premier et le second choc: d'où il suit que le tems qui, par sa comparaison avec fespace parcouru, servira à détenniner la vitesse engendrée, et par-là l'intensité du cho,c, doit élre d'autant plus petit, que les chocs se succèdent plus rapidement. La même précaution est nécessaire, si le choc qui

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eioit être déterminé, n'est pas le premier: dans un pareil cas, il faut séparer la vitesse après le dernier choc, de .celle que le mobile avait déjà acquise par les chocs précédensj le résidu, oa V accroissement de la vitesse, déterminera seul le dernier choc, au lieu que la vitesse totale que le mobile a après le dernier choc, dépend de la somme de tous les chocs qu'il a éprouvés. Nommant donc/?;, p% p"; etc. les différentes impulsions que le mobile éprouve, a, c , c'% etc. &^ vitesses après la première, la seconde, la troisième impulsion; on aura

pzzzXc, p -\- p' ziz \c, p -] p ■ j p'' 2z: X c", etc. X étant un coefficient constant qui sera déterminé par la mesure dont on se servira. Il en suit p'znXic' — c), p''zz:\{g" — c'), etc. ou en nommant c la vitesse donnéa par le premier choc, et ^c, a'c, etc. les nouveaux accroissemens, pzzzXc, p'zizXAc, p"-z:z\ù^'c, ei ^ p -^-p' ^ p" :=:i\(c ■\- ^c-\- àf c). §. i3. Si tous les chocs ne sont pas seulement d'une force égale, mais succèdent aussi l'un à l'autre à des intervalles égaux, le nombre des chocs, et la somme des vitesses engendrées, seront proportionnels au tems. Nommant r l'intervalle entre deux chocs successifs, au bout du tems iir le nombre des chocs sera zizn, et leur force combinée, p -^^ p' -\~ p" -\-. . . . . zn X (c -|- Ac -|- A'c-j- • • .)» f^ine et l'autre de ces deux séries renfermant n termes. Or par hypothèse on a pzz:p'zzLp", etc. et czi; Ac zr a'c^ etc. parce que les vitesses sont proportionnelles aux chocs (§. 12.), doncp+p'+p''+.. . zzLiip, c~\- ^c-\- ù^' c-\-...-zznc: d'où il suit que la somme de tous les chocs est îipzizXnc; ei la vitesse totale ne est proportionnelle au tems «r. Nommant donc t le tems entier qui s'est écoulé, pendant que les impulsions ont

été données, et v la vitesse finale; on aura tziz?ir, donc /i =z - , et vzn

n c zn -r- := .~ ' Uans cette expression X et t sont des quantités constantes qui dépendent de la mesure adoptée; p est l'intensité de chaque choc, qui par hj^pothèse est constante: donc la vitesse v est proportionnelle au tems t^ pendant lequel les chocs ont agi.

Si Ton suppose que les chocs succèdent l'on à l'autre avec une rapidité infinie, il en résulte ce qu'on appelle J^rce; elle sera constante, si toutes les impulsions p sont égales. L'iutervaîie r entre deux impulsions sera alors infiniment petit, mais tous les instans r seront égaux, par hypothèse:

r et p sont donc des quantités constantes, et la vitesse vzi:^ proportionnelle au tems t, comme ci-dessus. C'est la proposition découverte par Galilée, sur laquelle se fonde toute la théorie des forces constantes: elle est, comme nous venons de voir, une sirite nécessaire de ia loi de continui'é, ou de la définition des forces, d'après laquelle leiir action est non-in^arrompue. Deux chocs sont égaux, qui communiquent à un mobile la même vitesse, ou qui lui font parcourir des espaces égaux en tems égaux: éiant combinés, ils lui donneront une viîesse double, soit qu'ils aiiivent en même tems ou successivement; et en général, la somme des vitesses engendrées est proportionnelle au nombre des impulsions égales, simultanées ou successives. Si les impulsions succèdent immédiatement Tune à l'autre, leur nombre sera nécessairement proportionnel au tems: d'où il suit, que la vitesse imprimée par une force confiante at propoTtionndle au tems.

Dans la formule ■vin — , r est une quantité infiniment petite: en

Xt ''

conséquence, i et X étant des quantités finies, v serait infinie, si p n'était en même tems infiniment petitt cela veut dire^ que la vitesse {v), imprimée par un nombre infini de cliocs (—) t serait infinie, si chaque choc {p) n'était infiniment petit; ce qui est d'ailleurs évident. Jl suit encore de c =z - , que la vitesse, comm-aniquée par un seul choc ou dans un instant, est infiniment petite. Les quantités r et t^ dont l'une est constante, l'autre varia- MSj, dépendent de ia mesure arbitraire du tems; et l'intensité des impulsions p délennine la quantité accélératrice de la force, ou lui est proportionnelle. Nommant donc P ia force accélératrice, — est une quantité conscante, finie, et proportionnelle à P: supposant donc -=:/iP, fx etent un coëiïicient constant, on aura i? := ^ ?i, ou mettant X au lieu de —, vznXPt; où il faut

encore déterminer ia constante X,

§. 14. Si la force P est i-ariahîe, sans changer cependant brusquem.ent, mais par des nuances insensibles, suivant la loi de continuité; on peut supposer que, dans chaque instant, elle est d'une grandeur déterminée qui ne change pas pendant un tems infiniment petit, c'est-à-dire, on peut l'eiaisager comme une force constante pendant un intervalle infiniment petit: aiitreinent il serait absurde de vouloir comparer entre elles deux forces variables, ou de dire que ÎVne fût plus grande que l'autre; car cela suppose qu'on lui

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attribue, dans un instant donné, une grandeur déterminée qu'elle conserve invariablement pendant un tems , quelque petit qu'il soit, parce qu'aucun effet physique n'est possible sans une durée quelconque. Tout ce qui a été prouvé relativement aux forces constantes (§. î3,), sera donc applicable aus forces variables, si t est un tems infiniment petit. L'équation •vzz'kV t {^. iS'.), appliquée à 'ce cas, nous apprend donc la proposition suivante: la vitesse., communiquée par une force variable dans un tems iiîfiniment petit, est proportionnelle au produit de la quantité accélératrice que la force avait dans cet instant, par le tems infiniment petit; le premier facteur déterminant l'intensité, et le second le nombre des chocs. C'est une suite évidente de la loi de continuité, sur laquelle sont fondées les grandes découvertes de la géométrie moderne. Une courbe quelconque a, dans chaque point, une direction déterminée, suivant laquelle elle décrit un arc infiniment petit; im mobile quelconque a également, dans chaque point, une vitesse déterminéej avec laquelle il décrit uniformément une portion infiniment petite de sa route: une force variable quelconque aura donc aussi, dans chaque instant, une grandeur déterminée, avec laquelle elle agit, pendant cet instant, comme une force constante. C'est uniquement par cette manière de se représenter les choses , qu'il nous est possible de comparer les forces variables entre elles ou avec des forces constantes, ou de supposer l'une plus grande que l'autre: car uns force variable pouvant successivement devenir plus ou moins grande qu'une force quelconque , elle ne peut être comparée avec d'autres, à moins qu'on ne borne la comparaison à un certain instant, et que l'on suppose qu'elle a, dans cet instant, une valeur déterminée et invariable. Si l'on exprime la vitesse d'un mobile par la direction d'une ligne droite, qui sera altérée par chaque impulsion, ensorte que la nouvelle direction fait avec la précédente un angle plus grand en raison de la violence du choc; les chocs proprement dits formeront une ligne brisée, les forces constantes un cercle, et les forces variables une courbe quelconque, dont la courbure déterminera la loi, suivant laquelle la force change. De même que le géomètre regarde les arcs infiniment petits d'une courbe, comme des arcs circulaires d'un ra3^on déterminé, qu'on appelle le rayon de courbure; de même on

s8 ASTRONOMIE? H Y S I Ç U E =

est nécessité ici, à considérer les forces variables comme constantes pendant un iems infiniment petit..

Dans l'équation précédente, vznWt^ t est donc un tems infiniment peiit, et i; n'est plus la vitesse elle-même, qui est l'effet de tous les états précédens de la force P, mais l'aGcroissement de la vitesse, acquis dans le tems infiniment peiit, pendant lequel la force est considérée conîme constante (§. 12.): il font donc substituer 3^ et 81; au lieu de i et v, ce qui donnera

«"te

pour les forces variables P, cette équation,.

Il est évident' que X a ici la même valear, que relalivemenî aux forces constantes, parce que X est entré dans le calcul par la supposition, que les forces variables agissent comme les coiistantes. Pour s'en convaincre entière- Kient, on n'a qu^ intégrer la dernière équation, en supposant P constante-: alors elle doit donner la même équalion que celle que nous avons trouvée pour les torces constantes. Or cet intégral donne •vzzXVt, ce qui étant comparé à la dernière équation du §. iS, prouve q^ue X indique la mêni© quantité dans les deux cas.

§. i5. Tout ce que nous venons de dire .des forces variables, est aussi applicable à la vitesse. Un corps,, accéléré par des forces quelconques,, change de vitesse continuellement. Il faut cspendant que, dans chaque instant, il ait une vitesse dëlerminée, avec laquelle il décrira uniformémen.i une portion infiniment petite de sa rooiC; parce- qu'auiremeni il serait absurde d'attribuer à un mobile une vitesse plus grande qu'à un autre. Le mobile aura donc, après avoir parcouru une p-orlion- s de sa rouie,, une ceîlaine vitesse ".■, avec laquelle il décrira yniforméirient -le petit arc consécutif a 5^ pendant le tems dt. Le mouvement étant uniforme pendant di et ^5^ les vitesses v sont en raison directe des espaces parco,uru3 ds-, et en raison inverse du tems "9/^ ou comme — . Nommant donc S l'espace, parcouru dans le tems

rn 1 .. J^ ^ S ds CT ds ,

1 avec iû vitesse L, on aura Lw; -, — :.- — . ou -y zi: — - « — - . ooit L. • la

vitesse par laquelle toutes les vitesses seront mesurées, ensorte que Gzzrj il est naturel de prendre pour unité de vitesse, celle avec laquelle un esface zn i est parcouru dans, .le tems z^ ij. ou ce qui revient au. même', de

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prendre en même tems S pour unité de distance, et T pour unité de tems.

On a donc Czi:ijSz^i^ T:izi^ d'où il suit

ds

âf Mais il ne faut pas oublier que le propre sens de cette équation est la

proportion, r : G : .• — - '. — -j car ^5 et dt sont des quantités hétérogènes. On se rappellera que nous avons toujours supposé, que le tems est partagé en portions égales (§, i3.), ou que dt est constant. Cela posé, la diÏÏerentiation de la dernière équation donnera 3^:=:-—-—, ce (jui étani comparé avec i'équaiioîîL

dviiz'k^dt (§. i4'.)j d^onnera

§. 16. Pour déterminer la constante X, on pourrait employer cLaque force connue, quand même elle serait variaMe. Mais dans ce dernier cas, il faudrait en même tems indiquer le tems , pendant lequel la force a opéré , et connaître la 161, suivant laquelle elle dépend du tems,. parce que sans cela sa grandeur ne serait pomt déterminée. Il est donc naturel, de choisir une force constante, et particulièrement c&lle que nous connaissons le mieux, parce que nous ressentons continuelfement ses etiets : c'est la pesanteur' à la surface de la terre. 11 est vrai, rigoureusement parlant, que cette force varie avec l'a distance, ainsi que toutes les forces centrales; n.a^s les observations qui servent a déterminer X, sont faites à la surface même, et la chute des corps, ou les oscillations du pendule, changent la distance au centre de la terre si insensiblement, que la pesanteur peut être regardée ici comme une force constante»

as Comine on a donc, en général pour toutes les forces, 1; =z — (§. i5.) et relativement aux forces constantes, vziiWt g. i3.), il en résulte dsznzWidt^ dont l'intégral est 5 :n — Vtt; (foù il suit que les espaces parcourus par les corps graves, et en géné]ral en vertu d'une force constante , sont en raison du carré du tems. La mesure du tems étant arbitraire, X peut recevoir dlirérentes valeurs. On est convenu de prendre pour untié la plus petite partie du tems, que nos pendules marquent distmclement, c'est la seconde. Faisant donc if m 1 , s sera fèspace paicouru en une seconde, ^^^ g i§- 8.), et l'équation szrz ~ P tt deviendra g zz. — P. Si l'on prend la pesanteur pour mesure des forées,^ P sera zzi, et Xzz.2g zzj, ài ...mètres. On a, do tic., relativement à. îa.

3o ASTRONOMIE PHYSIQUE

pesanteur, v:rz^.gt (§. i3.), szizgtt, donc t;^zi:4^5;, sziz-—. Cette hauteur S, dont un corps doit être tombé, pour acquérir la vitesse 'v , est appelée la liautertr due à la vitesse.

§. 17. Maintenant les équations différentielles, sur lesquelles se fondent toutes les recherclies de mécanique, sont réduites à des nombres connus^ et il sera bon de les rassembler ici. Prenant la pesanteur pour unité de force, la seconde pour unité de tems, et le mètre pour mesure des distances, la vitesse avec laquelle un mobile parcourt un mètre en une seconde sera Tuniié de vitesse, ^fzz 3,65622, et en nommant P une force accélératrice quelconque par rapport à la pesanteur, s et 1; le nombre de jnélres qu'elle fait parcourir aux corps en t secondes et en une seconde, au bout du tems t, v sera la vitesse engendrée dans le tems t, et nous aurons les équations suivantes (§. i5.):

I. t; zz - ; 2. dds:zzdvdt; 3. dvzZ^gVdi ^ 4* 555 ZH 2p-P5^''. ^ 9 t

La dernièie de ces équations est celle, dont on fait le plus fréquent usage dans Fastronomie physique : c'est à l'application et à l'intégration de cette équation, que nous devons les grandes découvertes, faites dans cette science. Je ferai , relativement à cette équation , une observation qu'il ne faut pas oublier. "

L'élément dds, ou l'espace que le mobile décrit dans le second instant di qui succède au tems t^, n'est pas i'efïet de l'inertie, mais de l'action continuée de la force P; ce qui est évident par l'équation 4- o^ ddszzio, si P zi: o. En effet, si le mobile n'est sollicité par aucune force, son mouvement, dû à l'inertie seule, sera uniforme: nommant donc ds;, ds', d'i", etc. les espaces parcourus dans le premier, second, troisième, instant dt^ on aura d sznds' izzd s" , donc ds' — ds zn-dd szzlo. Supposons maintenant qu'une force agisse sur le mobile suivant la direction de son mouvement; alors il est clair que ds''^d^ 3 5'^ > 5/^ etc. et ces accroissemens des premières différentielles, ou les secondes différentielles ds-—ds:rzdds sont égales à igVdt^. Mais quoique dds soit l'effet de l'action seule de la force P, il n'en suit pas, que la force P ait poussé immédiatement le mobile par l'espace entier dds, ou que dds soit l'espace que la force "P eût fait parcourir à un corps en repos, dans le premier instant dt-. cela n'e«t

- . ; L î V R S ï,- G H A P. II. \ 3i

vrai que dans le cas, où ht est le premier instant, ou jJzzo. Supposons que le mobile ait acquis, en vertu de son mouvement pendant le tems t, la vitesse -w: il parcourrait dans le premier instant suivant 5^^ l'espace 'u'èt, en vertu de l'inerlie seule 3 étant donc sollicité par la force P, il parcourra un espace ds plus grand que vdî; supposons d s zii 'v'è t -\- 'è w ^ 3oj étant J'cspace parcouru en vertu de la force P. Mais ce n'est pas le seul eilet de la force P: elle a encore augmenté la vitesse o;^ duiant l'instant 'et, ensoiie qu'au bout du teins t~\-hft le mobile aura la vilesse 'u ~|~' ^', avec laquelle il décrirait dans le second instant 'èi' , en vertu de l'inertie seule, un espace "h s' plus grand que '35 :zi; ■i;3/ -{- 3oa • sa\oir 3^' zn 85 -|- ^'d^ Outre cela, ia force lui fera parcourir, dans finslant ht , le même espace dw, que dans rinstant ht: on aura àc)Xic'àszi:'ès-^dhi-\-%'èt, eî ds'—'ds ou dd^zzôu-j- ^'3^; d'où il suit, que 835 est plus grand que l'espace 3ca que la force eût fait parcourir au corps dans le tems 6ty s'il eût été en repos; et il est aisé de voir que 3 85 m 2 3 a:. Prenons pour unité de tems une portion infiniment petite T, au lieu d'une seconde, et nommons g la chute des corps à îa surface de la terre, . pendant le piemier moment r, ensorte que g est l'espace que la pesanteur seule fait parcourir. Toute autre force P pouvant être considérée comme constante pendant le moment t, le même espace, relativement à cette force, que nous avons appelé 3co, sera zzr^P, et durant le icms ht on aura h b^ z^ gVè i'^ , parce que les espaces sont comme les carrés du tems,- la force étant constante (§." \Çi^. On peut s'en .convaincre aussi par le raisonnement suivant. Soit dtziznr'. alors le mobile, pendant le iems dt, éprouvera n fois plus d'impulsions, et la durée de son mouvement sera n fois plus longue: l'espace sera, donc n fois plus grand en vertu de la forc£ , et n fois en vertu de l'inertie; par conséquent l'espace sera n^ fois plus grand que dans le tems r, donc dbiZZZgVdi'^, Or, dds étant zizigVdl'^ en vertu de l'équation 4? on a 3â5nr:23oj; ce qui veut dire, qu'un mobiîej étant sollicité par des forces, parcourra dans chaque instant un espace, plus grand- c}ue celui parcouru dans l'instant précédent de même duiée du double de l'espace que les forces auraient fait parcourir au module, dans le même jBstanl, s il avait été en repos au commencement de l'action des forces.