IV. 1 Z3 J m^n° S
5 fi*l o.c^ a° è^l
V, ozzricosro — diûd^sinZfS -r-z r-;;^ — sintc('sinîÂJsin2î/4-2XcosîJî^cosi<;')di^
' — 3 m^ /r (2 é cos V3 -\- - sin^ tâJ sin 2m -j- X siîi ^ cos to cosz/) dt^ ^
VI. ozz aato -^ a co as sin te -|- 3 m^ n"^ {sinîJi3(i — cos2u) -|- 2 Xcosto sin u} d t*.
§. 109. Si l'on désigne par e l'époque de la longitude, par ce une équation quelconque de la lune, sa vraie longitude sera C zi: e -|- « / -]- âr, donc la longitude sélénocentrique de la terre, v ziz 180° + (C':zz 180'^+ e+nt~+- ce, d'où il suit ddvzi:dndi-\-dd œ-, nous négligerons ici le terme dndi qui dépend de l'équation séculaire de la lune, ensorte que 3avzzâ3^^ ce qui
L I V R E IV, C H A p. V. . iS3
étant subsiitué dans l'équalion IV. àonxiPi —r -\- "à m^ ir^ ^ zzi ■——■ ^ dont l'intégrale doit avoir la forme, ^ zmQ %\\\ knt -\-^œ, G étant l'une des constantes arbitraires, et l'autre ou l'époque étant déterminée ensorte que œ et ê sont nuls à l'origine du tems i, comme cela doit être (§. i07.\ Or toute équation de longitude ayant la forme, œ zzz a sin cet, on aura zz: — a^ce,
et et différentiant la valeur supposée de ù, — j-=: — G A^/i^sin An^-j — -y- zr:
*, , 1 T./ A*n*\ ddce ^, ^f ^ , ,,, ,. 'tir
■—A^n^d^Bli ^j -jT"- ^^ comparant cela avec l'equation Iv, on
/ «'^ trouvera Anr^TîK 3, B zz — -— , d'où il vient
x-,,v ^, . -. / .^ . 1 3 m^ n^ ae
(K) 0 zz: G sm m ntV 5 -{- œ -\- -
— 3 m^ «.^ * « étant la vitesse avec laquelle l'argument de l'inégalité œ augmente, et
— le rapport des variations moyennes de cet argument et de la longitude de la lune. L'angle ô est proprement la libration le long de l'équateur lunaire (§. icj.^; mais comme l'inclinaison de féquateur sur l'écliptique n'est que de 1* ^3\ on peut regarder ô camme \a libration en longitude, laquelle sera donc donnée par l'équation (K), dans laquelle œ est la libration optique (§. io6.). Le dernier terme est de nature mixte, tant optique que mécanique, vu qu'il dépend de l'équation œ et de la figure de la lune, m. Le premier terme, étant indépendant des inégalités de la lune œ, renferme la libration purement mécanique; et l'on voit qu'étant exprimé par un sinus, cette libration sera périodique, si G ei m sont des quantités réelles. En nommant donc
3 m* n'as . „ . .-1/3 y
a^ — ù vi^ Tir $ — ■œiiz(p-{-^ sera la libration réelle, et (p aura la même période que l'inégalité ce, de sorte que la libration entière est périodique; mais en même tems elle participe de l'équation séculaire, en vertu du terme dndt que nous avons négligé^ eî c'est précisément ce terme qui entretient constamment l'égalité entre les mouvemens de translation et de rotation de la lune, malgré la variation séculaire du premier.
La libration purement mécanique ^ a pour période le tems T , pen-
dant lequel l'angle mniV 3 augmente de 860* ou stt, donc T zz: -,.
Or n étant le moyen mouvement en une seconde, — est la durée d'un mois-
î84' ASTRONOMIE PHYSIQUE
.s sidéral m S, d'où il vient Tzz -, m étant une quantité inconnue, déoeTi-
dant de la figure de la lune. Si les observations suffisaient pour déterminer }a libration (p qui dépend de cliaque inégalité de la lune œ, on aurait
m^ izz z. — TT- :r-r. Cette formule servira du moins à renfermer m entre des
limites, en donnant a œ et (p leurs plus grandes valeurs. Celle de (p dépend de la précision , avec laquelle on peut observer la libration des îaclies de la lune. Quoiqu'il en soit, il est certain, que les observations auraient fait reconnaître la libration , si elle montait à 3 degrés, ce qui fait à peu près la moitié des inégalités de la lune. En effet, un angle sélénocentrique de 3* répond à un angle géocentriquo de 49^ ^^ centre du disque lunaire , et à 3^', 3 au bord. En faisant donc (p n: 3° , et prenant pour œ la plus grande inégalité de la lune, qui est l'équation du centre, on aura (IL §.204.) œ zz zz6g2^^ , sa période étant le mois anomalistique , et son argument l'anomalie de la lune , d'où il suit que a est à /j comme le mois sidéral est au mois anomalistique, donc (IL §. 188. 194.) ~ z= ~7^j-^^^^ =0, 99164815
-^ zz: o, 9831672 , et jn^ HZ o, 3 2'jji^^Y . — ;— ^ m o, io568,. Mais ce résultat
est peu sûr, parce que le rapport des deux mois est presqu'égal à l'unité.
L'équation annuelle de la lune donne une limite beaucoup plus exacte. Sa
période est l'année, sa plus grande valeur ce-mSj 2^' , et a est le mouvement
anomalistique du soleil (IL §. 2o4-); partant — zz -^^7- — 7- rz: o, 0748026,
~ iz o, oo55q54.4, et m^ :zz o, ooiS65i5. r- zz o, 001-7^0 ; d'où il résulte,
que la libration devrait surpasser 3 degrés , si m'^ était plus grand que 0, 001756..
Celte limite peut encore être resserrée par des observations plus exactes. M. Bouvard a entrepris pour cet effet une longue suite d'observations de la tache lunaire Manîlius qui, à cause de sa petitesse et de sa situation près du centre de la lune, est singulièrement propre à faire reconnaître la moindre libration, par des mesures micrométriques de ses distances aux bords de la lune. C'est la même tache dont s'est servi Ma^er, pour déterminer la position de l'équateur lunaire; et les observations de M. Bouvard donnent l'inclinaison de l'équateur de 5", 84 seulement plus petite que celles de Majer; ce qui prouve la grande précision de ces observations. M. de Laplac©
