LIVRE IV, C H A P. V. i

qui a engagé M. Bouvard à entreprendre cette suite d'observations , en. conclut , que la libration mécanique est au dessous de 6000 secondes décimales , ou de 32' 24' (*). Cet angle sélénocentrique répond à un angle géocentrique de 9'' au centre de la lune. Eu faisant donc dans la dernière équation cp zir 61' 24" , on aura in^ zzi o, 00 1 865 1 5 . y—f^^ =^ o, 001 386 , ce qui ne diffère guère du résultat précédent: car il est aisé de voir que l'angle (p ne peut influer considérablement sur la valeur de 772*, s'il est beaucoup

CL f JG (mP" \

plus grand que œ ou 11', parce que rn^zn- — -fi — x~l-xi — ..•). Il y a donc peu d'apparence, qu'on parviendra à déterminer m par observation; il paraît cependant par ce qui précède, que 772' ou — ^— est plus petit que 0,002, §. iio. Si la lune ne tourne pas autour d'un axe principal, il faut s'en tenir aux équations I, II, III (§. 107,), dont la première donne à trèspeu près,

L'intégrale doit avoir la forme, ^ rr: G sin A/2^ -f- G (i — cos A72^) -|- Ba;^ l'époque étant déterminée comme précédemment (§. 109.). On en tirera -——^=—î^^n^^-{-A.'^n'^C-\-{A^n'^ — a^jBœ. Si l'on compare celaavec l'équation I, et qu'on se rappelle que ddvzzidd œnz — a?œdl^ (§. 109), on trouvera A~y ^,Bzz:^,^3^^,-,G--, dou il vient

3L, N/ t/3L\, a^M gg

(L) ù=:GsmntV ^4-— (i — cos72iy— ) 4- -

Pour trouver le maximum de la partie mécanique de la libration, on fera

— -zz:o, ce qui donne tangw^K — m G, et la plus grande libra-

tion ^ HZ : les deux oscillations à l'orient et à 1 occident

sont donc inégales, si N n'est pas nul, leurs limites étant "^^ et

^—^ ; . Si l'on nomme T le tems écoulé d'une limite à l'autre,

ou la demi-durée d'une oscillation, on aura- tan g 72 (;?-{- TjV — :zztang72^V— -^

d'oiî l'on tiie 72T K — - m: i^o'^zz-tt, et la durée d'une oscillation entière

(l; L'auteur de cet ouvrage ne connaît les observalions de M. Bouvard que par les nouveilss que M. de Laplace a bien voulu lui en donner par une lettre.

i86 ASTRONOMIEPHYSIQUE

La période d'une oscillalion devient donc impossible, si l/ rj eat imaginaire, c'est-à-dire, la libration, au lieu d'être périodique, augmente iijidéfiniment, si - est une quantité négative. Comme cette augmentation indéfinie est contraire aux observations, il est certain que — est une quantité positive j d'où il suit que b est plus grand que a (§. 102.), c'est-à-dire que le moment d'inertie par rapport au diamètre de l'équateur, qui passe par l^es bords du disque de la lune, Mb^, est plus grand qne le moment relatif au diamètre tourné vers la terre, Ma^, et que par conséquent ce dernier diaipèlre est plus grand que tous les autres : effet naturel de l'attraction que la jterre exerce sur la portion de la lune la plus proche.

La rotation de la lune est donnée par l'angle wmzv— £ — â (§. 108.)^ ou plutôt, parce que l'angle w est compté du noeud qui est aussi en moij' Tement, par l'angle w -f- a m i? — Ô r= i8o°-|- C-\-œ — d:=:i8o°-f-£ — cp ^, (§. 109.). Comme $ ei œ deviennent nuls en même tems (g. 107.), si l'on fait abstraction de la libration mécanique; la rotation mojeme es.t, exactement égale au moyen mouvement de la lune autour de la terre, w-|-£:^i8o?-f- Ç,| mais il n'en suit pas^ que cette rotation ait été primitivement, imprimée à la îune, ce qui serait très -peu probable. La lune a reçu sa prgîe rotation, et non la moyenne, ei raction de la terre peut avoir altéré la rotation pri-

mitive. La véritable vitesse de rotation de la lune est — — — :=^« ~ — iiz::

^" -.'^ -,/- 3m*naa ^, ,^ ' **/ . . ^^

n (î -^ ijmV û .cosinnlV 6 — ■ ^ ^ ^ - , 00s et t) (Ç. loq.): ainsi, en ne con-

lidérant que la libration mécanique, la plus grande vitesse est zz «(i-j-G/n^S),

la plus petite zzin{^i — Gm'V'à), et l'on trourera, en faisant t,zz.q^ la vitessje

primitive zn n i i ^-^ G?nV à —- r— s > d ou il resuite, 1) que la vi-

^. r ' • î \ ■ o*— 3m*/iV ^ ... ,» / -1 ,. ,

lesse primitive n'a pas été nulle, c'est-à-dire que la rotation de la lune n'est, pas due uniquement à l'aitraction de la terre, comme ai une aiguille de fer était promenée autour d'un aimant^ mais qu'une rotation rëellq a é^é imprijmée à la lune, 2) que cette rotation pTJmitive ne différait pas -beaucoup de aon moyen mouvement n, sans cependant lui être exactement égale. La différence primitive entre ces deux mouvemens, qui dépend du terme GmnVS, ne peut pas être déterminée, parce que G est une quantité inconnue; cepen» dant le maximum de g étant G (§. ïog.)^ et la libration ^ ne devant pa&

L I V R E ÏV, C H A p. V. ' 187,

être supposée plus grande que 3" (§. 109.), G est moindre que o,o5236, et m^ <^ 0,002 (^§. lO^.y, d'où il suit que GmV^ est plus petit que o,go4; ce qui donne pour la rotation primitive les limites n et n, 0,996.

§. III. Si Ton nomme i la tangente de Tinclinaison de l'orbe lunaire (S^g'), €t ^ la longitude de son noeud ascendant, la tangente de la latitude de la lune sera î sin (c' — 0» t^t^nc la tangente de la latitude sélénocentrique de la terre, Xzrz — i sin (C^ — 0 ^^ — ^ sin (v =— 180®-=^) z:^-\- i sm (y — ^). Désignon$ par jun^ et vnt la rétrogradation des noeuds de î'équateur de la lune, et de ceux de son orbite, pendant le tewiS t, de sorte que BizzZ'^^iindi, d^zn — ^ndl: cela posé on aura 80):=: 3 (f — ô) — 3e (§. i®8.), et à peu près 3 (f — ô) rz ndt (§. 109.), donc 3w zz/î (i -f- F-) ^6 et 3 (^ — f) -—(>,«, -^ v) n 3 ^. On a d» plus (§. 108. (27)), en faisant i -i-X'zzr, cosvf/zzi, et jjj-^ Qz^u,

sin Y cos 4» sia (oj -^^ ê) :zi sin u (.sin î«J sia a -j" -^ ^^^ ^) > d'où ''1 vient

sin\|/cosvpsin(w^0)r=:|sinïc(r™-cos2îi)-|- — cosro { cosC^ — e) —cos (2V — ^ — t)y^ ain4'cos^|/cos(a):t:0^^ îsin tsjsin iu A — cosTO {sin (2 v —i — s) — sin(^ — ê) }. . Ainsi, en faisant pour abréger, zz ce, Téquaiion îlï (§. 107.)^ deviendra

-s d â XM

[i-k-}j.)nàt sin vi

' — —. r ^ I — C0S2U -A : Ccos (^ — e) — ■ cos (a v, — ^ — e)] >

— 77-7 ] sm 2 M -J [sm (2V — ^' — ê) — sm (i — e)J > •

4H (i -f- p.) c ' sin w ^ ^ ^ ^ ^^'^ ^^ y

Dans l'intégration de cette équation, vS peut être regardé comme constant, parce que dw est insensible par rapport à 3w et 3 e (§. 107,. n. 4*)' Si l'on, fait abstraction des inégalités du mouvement lunaire, on a, par ce qui précède,

3M = (i+p.)n3^, d{iv-^-£)-d(2u-(^-i))z{^ + }J^+v)ndl, 3(^-£)r(M'-v)n3^ Ainsi dans l'intégrale, les angles ^u, av — ^ — e, ^ — e, auront les diviseurs 2 (i -|- /x) 72, (2 -|- /x -|~ v) n, (fA — v) 72 ; d'où l'on voit , que les seul» termes qui renferment l'angle { — e, deviennent considérables à cause du petit diviseur (p, — v) ?? (§. 107. n. 2.). En faisant donc 3î0zzo, N = o, ï-f-M-=:i, coswzzi, l'équa^tioij précédente deviendra

i88 ASTRONOMIE PHYSIQUE

1 ^ / I z cf)s C<f — e)\ , , ,,. , f 1 dezz: — ^a;zdMiH ^ ~], dont i uitesrale est

(M) £ — e — la 5«i -4- , ^——Z-C

e étant une constante arbitraire. Suivant les observations /x est égal à v (§. 107. n. 2.); la différence ja — v est donc inconnue, et le dernier terme est indéterminé. Mais si l'on nomme e', ^\ îo', les valeurs primitives que les angles l% ^, v5, avaient à l'origine du tems t, l'équation (M) donnera

s' m e — — ^^- '-, , partant ezz: b' -\- — f- '- .

En substituant cette valeur de e dans l'équation (M), elle deviendra

,,^ 3 ., ^,^. 1 ?[sin(^-£)-sin(^--£^)]^

4 c ( /^ — ■ V j sin îij )

Or ^zi:^' — ^nt, zzm' — \}.nt, d'où l'on tire

(sin (^ — e) z= sin (^' — e') -f (p. -~ v) « ^ cos (^' — e'), ^"^ -^ ' ° " * (cos (^— 0 — CCS (^'— £') — (f^ — v)«^sin (^' — £'), ce qui donne

/ -? C , i cos (<•' — e') 7

4 ( ' sin ro )

La rétrogradation des noeuds de Téquateur lunaire, ou la précession des

/ i cos {^^ £'1\

équinoxes est donc ~aui(i-\ -i^ ~-Lj. Or / m tg ô^'g' m o, 0901^^73,

sin tP z:: sin i°43' :^ o, 029957 : donc -: z=:3,oo8555 et la précession

Ô£zz:| a«M ï -t 3,oo8555 cos(^'— £')}.

Suivant les observations les plus exactes la précession est égalé à la rétrogradation des noeuds de l'orbe lunaire vni (§. 107. n. 2.), ce qui donne l'équation a { i -|- 3,oo8555 cos (^' — e')} m 1 v. Or les moyens mouvemens des noeuds et de la longitude de la lune, v/z et jï^ sont entre eux comme le mois et la durée d'une révolution des noeuds, donc (ÎI. §. 188. 2o5.)

l'où il résulte

OjOo53624-7^

V — - — m o, 00402 186: d'où il résulte

^ ^' i-f- 3,ooÔ555cos(^'--£')

S' 11 T l't 1 1 .,11^ O 005362476 1 Ion substitue la valeur actuelle de <^ — £ zz: o, on aura a zn -^- ^ . ; rz

0,001337758. C'est la valeur que a doit avoir, pour que les és-juations

v^Zfi et ^'z:^ £ soient exactes; mais il faut faire ici la même réflexion que