LIVRE IV, C H A P. V

nous avons faite relaïivement à la rotation de la lune: en effet il est trèspeu probable, que primitivement les noeuds de l'orbite et de l'équateur de la lune aient exactement coïncidé, et que leurs mouvemens aient été parfaitement égaux. Supposons donc que ^(. et v aient d'abord été inégaux, et que l'angle ^ — e ait varié, jusqu'à ce que /x soit devenu égal à v. Cela posé, cos (^ — 0 peut avoir varié depuis -\- 1 jusqu'à — i. Au moment où

p. devient égal à v, l'équation (28) a lieu, d"où il vient

. o,oo53 62/l3 — a COS (^ ~ 6) ZZ -i- — f, .

On a donc cos(^— 0 — 0 si az:o, oo536248, et cos(^ — £)i:i si a~o,ooi33'j'j6^ d'où il suit que, si a est renfermé entre les limites 0,001 34 et o,oo536, la distance entre les noeuds de l'orbite et de l'équateur parviendra à une valeur ^ — e entre o et 90°, OÙ les mouvemens des deux noeuds deviendront spontanément égaux: cet angle sera d'autant plus petit, que la valeur de a est plus près de o,ooi34j il sera plus grand, à mesure que a approche de o,oo536. Or les observations indiquant la coïncidence des noeuds , ^ est égal à e, ou ^ — a .ir o : la valeur de a doit donc être fort peu différente de o,ooi3. Ainsi l'on voit, que la théorie explique parfaitement le second phénomène que présente la rotation de la lune , savoir la coïncidence des noeuds de l'orbite et de l'équateur de la lune, et l'égalité de leurs mouvemens, qui est exacte dans le lems présent. On a vu que, pour l'expliquer, il n'est pas nécessaire que cette égalité ait primitivement eu lieu, mais seulement que a ne soit pas beaucoup plus grand que o,ooi3.

§. 112. Opérons de la même manière sur l'équation II (§.107.). Si l'on y substitue EzXlcosro — 3w3ccsini«5 (§.108.), X2z— =v t;os^4'(Lsin29 -Ncos20)3z^ {^. icj. L), dionzjidi', l'équation II, divisée par ndi smx>5j deviendra IL oz:3w+ ~sin\|^ < (,?H-K) cos w + ÎLcos4'COs(w — 5)— ÏNcos4'sin(w — (?) > 3/.

1111. . sii

Substituons dans les deux derniers termes les valeurs de sinvl'COS\l' (w — s)

COS ^

(g. III.), et négligeons tous les termes qui ne renferment pas l'angle (T^ — i): cela posé la dernière équation deviendra

II. 3îcr=f/z 9; < /acosrosin (^^ — e)-\- ■ — • coscrcos(^— a) -f- -- sintsJV dont l'intégrale est i^§. m.)

,^0 'A s T R O N 0 M I E P H Y s î QU E

(N) ^=p - 4ûr-r7) r '=°' (<r - 0 - g -n (^ - =) ^+ -^g- «f,

V étant une constante arbitraire. En employant les désignalions précédent tes (§• iiï«)) et faisant costiî::::!, on aura

P = ^' + 4F^ ^ ^"^ (^' - ^') - I ''° «'-'') ^ doncTSr-to^4-7-^ — '—^ $ a[cos(^'-60-cos(^-6)]-[- - [sin(^-£)-sin(^'-£')] \ -j —— — ni, et par les équations (28) (§. m.),

Cette équation nous apprend, que l'inclinaison to n'éprouve point de cîian» gemens périodiques^ parce que ^\ e', sont des angles constans, et que le dernier terme — — — est tout-à-fait insensible, d'autant plus que N est apparemment nul. L'axe de la lune n'est donc pas assujetti à une véritable nutation, et l'accroissement progressif ou séculier de l'obliquité de l'écliptique dans la lune est |/aw/sin(^ — ■£'), ce qui est à peu près nul, à cause de ^ ziz £. Ainsi l'analyse explique aussi le troisième phénomène, savoir l'invariabilité de l'angle que l'équateur lunaire fait avec l'écliptique. Il eu suit en même tems, que la Vibration en latitude est purement optique ou apparente, et que sa plus grande valeur au nord et au sud est z-j-ioiziô^Sa'. Comme cet angle sélénocentrique répond à un angle géocentrique de l'^g' , la plus grande libration du nord au sud est de 3'i8", ce qui fait un dixième du diamètre de la lune.

Une explication des librations de la lune, fondée sur les principes dont nous sommes partis ici, fut déjà donnée par Newton qui trouva, que l'attraction de la terre devait allonger de 186 pieds le diamètre de la lune, dirigé vers la terre, et par là forcer la lune de tourner constamment le, même , côté, vers la teirre, en faisant en même tems des oscillations irèspetites et lentes (^). La théorie de la libration de la lune a été traitée de différentes manières par les plus grands géomètres, principalement par Euler, Lagrange, et Laplace (^).

(Xl^hiL Nat.. ^rinc. Maih.^ Lib.III. Prop. 38.

(a)/Voy. The.or. motus corporum rigld. Cap. XVI Ri'cheiches sur la Uhr- de la lune, dan» le recueil dis pièces tjui ont rempvrté les pris, T^ IJL. Mécan. céleste, Lie. V% Ch. II.

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f. ii3. Nous ayons supposé ^(§. 8^.^, que la lune, est un sphéroïcle elliptique, et homogène, et quefSonréquateurie&t aussi une ellipse dont le^ -grand axe, 2/i passe, par le premier méridien qui est. dirigé (V6i}Si la terre y ensocte qjie tous les parallèles sont des ellipses semblablies à l'éq^aateur. Ciest du moins riiypolhèse la plus naturelle, et? la seule qui ise fonde sut i la, tliéoisie et - les observations. En désignant donç,rle;,pe{it axe<»de^ré(|uateuE ipar ah, l'axe de rotation par 2^^ on a par cequi. pr-éeède' (Si-KS-^.), .

d'oià l'on conclura. (§.10?.).

t = M (J« — «') = lîî^j=^'' M, N = o.,

On verra plus bas (§. i46.)) quey — ^^ est à peu près - — j . — , T, M, étant

4- ? "^ les masses de la terre et de la lune, et 2 1^ moyenne distance entre ces deux

corps. Or -- zr — , f zi:6of, et k ouyzz/' . 0,27293, y étant le demi-dia-

mètre de la terre j l'aplatissement de l'équateur lunaire sera donc"^^ m

fo '27203'^''

- ' ■ - 78 zm o, 00002753 zz: (3, de sorte que les deux diamètres de Téquateur sont entre eux comme i et 0,99997247. Si l'on faity=i 20000000 pieds, on aura yzz/'. 0,27293^1:5458600 pieds, ce qui étant multiplié par2p, donnera la différence entre les deux diamètres de l'équateur rz: 3oo pieds. Faisons k-zzf{i — 7), 71=: — — étant l'aplatissement de la lune, dû à sa rotation: cela posé on aura

h—f— ^Jc =/(i — (3 -i- |37) =i/(ï — p)> parce que ^ et 7 sont de très-p&tites fractions. Il en résulte

B "ih — a/ I — 3 p o 99991741 ^

et la période d'une oscillation mécanique (§. 110.)

2 1 zz S . y — — zz 1 10 mois sider. :r: 3oo5 lour».

o^oooooaôg '

On a d'ailleurs (g. m.)

H.^.R4.]L„(.fo-./)i/«-fe'l a7i,^.p)

On verra (§. i4^.) 5 que 7 est à peu près 0,0000367 ij d'où il vient a in o, 0000734Î!. La coïncidence des noeuds , qui est prouvée par les observations, nous a donné le résultat (§. m.), que a est plus grand que o, ooi3, ce qui est presque cent fois plus grand que la valeur que nous venons de trouver. Il faut en conclure, que l'hypothèse, sur laquelle est fondé le dernier calcul et la valeur azz 0,000078, n'est pas admissible pour la lune. Cette hypothèse suppose, 1) que la lune est un sphéroïde elliptique, 2) que sa densité est constante ou uniformément croissante vers le centre , 3) que la lune a été un corps fluide ou kiou , pour pouvoir prendre la figure que sa rotation et l'attraction de la terre tendaient à lui imprimer. Il en suit, que la lune a été, dès son origine, un corps dur et irrégulier, ce qui paraît être conforme aux observations de ses taches (II. §. 221.).