L I V R E IV, C H Â P. VI

développe les produits des angles variables a, [3, cp, par leurs sommes ou dif-

férences, on trouvera

sin ô' cos ô" sin f zz — (cos / -f ^'^^ ^ ^) { sin (2 a — cp — Q) -4- sin (cp — Q) } -f- — (cos / — cos 2 /) { sin (2 a -j- (P — Q) — sin (Cp -f- Q)}

-]- |sin /{ 2 cos /sin cp -|- (1 — cos/) sin (2 a -|- cp) -}- (i -f- cos /) sin (2 a — Cp) }• ,

sinô cosôcos'Uzz — (cos /-4- cos 2/) { cos (2 a — cp — Q,) — cos(cp-=-Q) }

— - (cos / — cos 2 /j { cos (2 a -f- cp — Q) — cos (cp -{- Q) } • — -sin/i 2 cos /cos cp -4- ( I — cos/jcos(2a -j-(p) — (1 -|-cos/)cQs(2a — cp) } . En faisant pour abréger,

2a-}-(p=:/^, 2a— Cpiz:/?:', 2a + Cp — Q— ^, 2a — (p — Ç^--^', cp-f Q=^, <^—Q—i\ les équations VII, Vllî (§. 1 14-)> deviendront

VII. — Z - e/y +3 Ifn^ { (cos /+ cos 2/)(sin $" + sin /) -f- (cos /- cos 2/)(sin ^ -sin ô) }

4- 1/«^ sin / { 2 cos / sin (p -1- (i — cos /) sin X: -f ( ' -f- cos /) sin k' } ,

VIII. j/Z-e/p-ViftP- {(cos/+cos2/j(cos^'~cose')-(cos/-cos2/)(cos^-cosOî') -}-| A^sin /{ 2 cos /cos Cp -{- (r — cos/) cos /^ — (i -|- cos /) cos ^' > .

§. 116. Il est aisé de voir, que les intégrales des équations précéden* tes auront cette forme:

(P) p-=.h sin eft

--|'/«^(<^os/-|-cos2/) ^^ +-^J -f (cos /—cos 2/) ^--^ +-|j-J^

r.^,: ,Ci-f-cosZ , 1. — cosZ ,, 2cosZ )

■^ ^//r- Sin L l — — — cos k -| — cos k -\ — ■ cos cp > ^

(9) (j :=. — h cos eft

■^4^/'^^ (cos /-f cos 2/) [—^ ~j — (cos /— cos 2/) f--^ 4- ~^]^

•^ n f • ,CiH-cosI . ,, 1 — cosZ , , acosZ . ^5 — 4/« sm /^ — — — sin A- — sin k — sincp?-.

Puisqu'on peut prendre ici , sans erreur sensible , les valeurs moyennes des différentielles, on aura

j^^—n, -ff—^ (XII), ^jzz — )in ($. m.}, ce qui donne (§. ii5.)

f 98 ASTRONOMIE PHYSIQUE .

Si loB subsiitue maintenant les valeurs (8) (9) et leurs différentielles dans les équalions VU, VIII, et qu'on égale séparément les coefficiens de chaque angle , l'argument ^' donnera 4 ifii^ (cos / -|- cos 2 /) ■^— — ■ — ^^^ sin ^' zz I //«^ (cos /-|- cos 2/) 1 — - -j- I j sin ^^ En opérant de la même manière sur les autres angles, on trouvera

D=ivn — (i -t-/)e, E=i2n-(i-[-/)e, F = 2/z-f (i-h/)e, G=:(i-f/)e. Tous les fermes de p et q , qui sont multipliés par n^ , résultent de l'action du corps V, parce que n^ est entré dans les formules précédentes par la sub- «titution de /i* n: — ^ (§. 102.): on aura donc (8) (9). p ^z h sln ej't et (jfzz: — h cos eft, si la rotation n'est troublée par aucune force étrangère. Or p et q sont nuls, si la terre tourne autour d'un axe principal, parce qu'alors G et G coïncident, d'où il suit 7iz;o, «zzpzziQo'", donc p-znqzno et Amo, Ainsi, la terre tournant du moins à très-peu près sur un axe principal, h est une très-petite quantité, qu'on pourra négliger, quand il s'agit de déterminer les perturbations de la rotation, dues à des forces étrangères. Cela posé, si l'on substitue les valeurs (8) (9) dans les équations X, XI, XII (§. ii4-)> on aura

X. a/=: 1 ifn* ^t\co^l(^ '—^-\' t'os 2 / C^ 4- ^) ? sin (2 a — Q)

-h| ^>^ dt\cos ^(^ - 5) 4- cos 2/(^ 4- 5y ^ sin Çl

, <i-j-cGsI î — COS 7, 7 , ■\-\fn^sxnldtl y — \ smia,

— 3iy«^d^^cot/(- 4- KH-~r(;^ —^ i^°^^

3 ^ 2 -^ <i Pi + cosI i — cosZn , 2 cos 7^

-Ifn' ^^^ |— E" + — F — J ^°« ^« + -^G- S^

X IL 3 c^ zz e 3 ^ — 3 X cos /.

L'intégration de ces équations donnera