LIVRE IV, G H A P. VIL aog

donnée, on connaît PK et PKMirra, ce qui donne dans le méridien elliptique le point M, et par la nature de l'ellipse, les coordonnée» P/n = c, Mmrrre. Que d'un point quelconque R de la courbe, on abaisse les perpendiculaires RS sur MN, et RT, ST, sur PQ, RS étant perpendiculaire au plan PAQ. En nommant MSn:^; SRzzm, on aura mT zzSszzit cos <t, M5=i:^sina, donc PT = c-f-?cosa, ST=:e^ — isina. Or le point R étant aussi dans le méridien elliptique PRQ, la figure du sphéroïde donnera, en faisant le diamètre de Féquateur znim, et l'axe -niin, l'équation suivante entre PT et TR:

TR* — — (an.PT — PT*), d'où l'on tirera ^^»-z: TR* — ST*, ou n'a* ZL'i.m^nc- in^c^ - /i*e* + 2 ^ /n^ (n - c) cos a + «*e sin a } - i* (m* cos^a + it^ sin* a). Mais on a, pour le point M dans l'ellipse PAQ, n^ e^znm^i^nc — c^)^ d'où il vient, en faisant, pour abréger,

m^ cos^ a -|- n" sin^ a zz: IVP, m* {n '— c) eos a -f- «^ e sin a :=: N, n*i.*z=2N^ — M^^^ Si l'on fait w = o, on a ^1=0 et ^zzMN, partant Mcz=?MN =:/=: — . En nommant donc cSz=.x, il viendra t-zif' — Xy donc u^ m — - {f^ — x^"). Cette équation nous apprend, que MRN est une elllpsey dont le centre est c, et les deux axes M'^ziz'i.f, Q.cazz: — M, qui sont entre eux comme n à M. L'ellipse se changera en cercle, si ce rz 90" , le plan générateur étant perpendiculaire à l'axe. Dans tout autre cas-; le diamètre MN qui est dans le plan de l'axe PQ, sera le petit ou le grand axe, selon que le sphéroïde est aplati ou alongé, parce que /i^ — M^ zz: (n^ — m*) cos^ a. Nous allons en tirer deux conclusions importantes.

1. Si le plan générateur ou MN est parallèle à l'axe PQ, on a

a = o. Min m, /:i= n ^clziCm, et u^zzz^ { (/z — c)^ — x^} .

L'ellipse MRN est dans ce cas semblable aux méridiens , le petit axe MNrz2(« — c) est parallèle à l'axe ou perpendiculaire à l'équateur, et le grand axe zz: — (« — c) est situé dans le plan de l'équateur,

a. Concevons que le plan générateur ou MN avance parallèlement, ensorte que a soit invariable, pendant que c et e changent: cela posé, M et le

ftio ASTRONOMIE PHYSIQUE

rapport des deux axes est constant, mais f ou ia grandeur absolue des axes change. Il s'en suit, que tous les plans parallèles qui couperont le sphéroïde, donneront des ellipses semblables: si donc deux sphéroïdes semblables et concentriques, dont les axes ont même situation, sont coupés par un plan,. les deux sections seront des ellipses semblables.

§. 123. Théorème^ Deux points matériaux qui, à la surface de deux corps semblables, ont des situations analogues , seront attirés par les corps avec des Jbrces qui sont entre elles comme les distances au centre, ou comme les diamètres de ces corps. Soient {Fig. 28.) M, m, les deux pointa, et M NO, mna^ les deux corps, auxquels on a donné une situation semblable autour d'un commun centre C: cela posé M, m, se trouveront sur le même rayon G M» Ayant mené deux cordes parallèles MN^ mn, on aura,, à cause de la ressem" blance des solides, MN : m/^ : : CM : Cwz. Concevons que M, m, soient les sommets de deux pyramides ou côn«s évanouissans et semblables NMO, nmo, dont les bases NO ou NL et ni seront entre eux comme les carrés de MN et mn: prenons dans la première pyramide un point quelconque X, et faisons M'Kzzzx, XorzzDa;, et la surface XYzzrX qui est parallèle à la base NL: cela posé, l'élément Xj-z:X-3rc exercera sur le point M l'attraction '— — — , d'où Ton conclura raltractidn de la pyramide M X iz: / — —,. Soit aizrAa la base des deux pyramides MN, tnn, a la distance MAzzii; alors la base à une autre distance x sera. Xzzao;^, d'où l'on tire l'attraciion de la pyramide MX-=zfadxz:zax, ceÀïe de îa pyramide MN:=a MN, si àe la pyran>ide mnzna . mn. l\ en suit en général, que les attractions qu^dxerceni des pyramides semblables sur des points dans leurs sommets,, sont

comme les hauteurs, ^ ou décilitres lignes homologues , de ces pyramides, c'est -à-

dire comjnia leurs racmes cubiques. Puisque a z~: — — îÏî'ns' ^^ peut aussi

X rit L exprimer Fatiraclion de la pyramide par — zr: r— »

Ainsi lès points M, m, sont attirés par ïes pyramides ou les élémens

semblablement situés de leurs corps, M NO,, mno, arec des forces qui sont

entre elles comme MN : mra : : CM : Cm; et ces forces étant décomposées

suivant une direction quelconque M G, wzC, seront comme MNcosCMN et

m. n cos G m n, donc comme M N : m t? : ; G M : G :«. Puisque tes pyramides . sont