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supposées être semblables, elles seront dans le rapport de GM^ et Cm^, ou dans celui des solides entiers: d'où il suit que les deux solides renferment le mênie nombre de pyramides semblables. L'attraction des solides entiers sera donc aussi dans le rapport de CM: Cm. Puisque le point G est arbitraire, MC peut représenter la direction moyenne de toutes les attractioiiâ élémentaires^ et alors on aura le théorème qu'il fallait prouver.

§. 124. Théorèm'e. Les attractions que deux points matériaux qui se tfoui^ent sur le même diamètre du sphéroïde elliptique, éprouvent par l'action dic sphéroïde entier, sont comme les distances de ces points au centre. Soit {Fig. 29.) AFED une section du sphéroïde, P un point matériel dans le plan de cette section, et concevons un sphéroïde semblable, mené par P dans la même situation que AFE, dont la section soit VQed: cela posé, AFED, FQed, seront des ellipses semblables (Ç. 122. u. 2.). Ayant mené par P deux droites infiniment proches l'une de l'autre, DP F, EPG, elles formeront les pyramides semblables PGF, PDE, Vde, si le plan AFE tourne autour de P, en décrivant un angle infiniment petit 5 et les attractions U, V, v, que. les pyramides PGF, PDE, F de, exerceront sur P, seront comme les distances PF, PD, Vd (§. 128.). Si G est le centre des deux ellipses dans cette situation, et y' le milieu des cordes FD, P^, on aura PF=iDc?, d'où il suit V — 'u :U: :D</:PF: : I : ij l'attraction du segment DEed est donc égale à celle de la pyramide PFG. Or ces attractions étant opposées l'une à l'autre, le point P sera attiré seulement par la pyramide Vde^ Il en est de même de toute autre ligne dans le plan AFE, d'où il suit, que le point P est attiré par Télément sphéroïdal AFE G qui est renfermé entre deux plans passant par P , précisément comme s'il était attiré seulement par l'élément du sphéroïde intéiieur PQeC. Concevons maintenant, que le plan AFEP, en tournant autour de P, traverse le sphéroïde entier: alors ce qui précède, aura lieu dans chaque position de ce plan, ou pour chaque élément du sphéroïde, et par conséquent dans toute l'étendue du sphéroïde: le point P éprouvera par l'action du sphéroïde entier la même attraction, que par l'action seule du sphéroïde semblable PQeG, à la surface duquel P se trouve.

2ia ASTRONOMIE PHYSIQUE

Soit maintenant C le centre du sphéroïde, et p un autre point sur le rayon C P, lequel éprouvera, par ce qui précède, l'attraction seule du sphéroïde semblable passant par p; les attractions des deux points P, p, seront donc comme CP, Cp (§. laS.), ou comme leurs distances au centre C.

Le rapport précédent a encore lieu , si le sphéroïde tourne autour d'un axe RCr; car la diminution de la pesanteur des points P, p, due aux forces centrifuges, suivant SP, sp, est dans le rapport de SV : sp ::CV : Cp (§. 69.). Or la pesanteur étant, par ce qui précède, dans le même rapport, et les forces centrifuges ayant la même situation par rapport à la pesanteur^ parce que les deux points sont sur le même rayon; la pesanteur, diminuée par la rotation, suivra aussi le même rapport.

§. laS. Th Éo RÈME. L'équilibre ne peut avoir lieu dans le sphéroïde elliptique , que lorsque tous les points à la surface sont attirés vei's le centre, en raison Inverse des distances au centre ou des rayons du sphéroïde. Soit {Flg. 3o.) AMP le méridien elliptique, P le pôle, A un point dans l'équateur, M un point quelconque, CAzrw^ CPzinw, CMzzr^ et désignons par A, P, M, la pesanteur vers le centre , qui aurait lieu sous l'équateur , au pôle, et dans le parallèle M, si la terre ne tournait pas sur un axe. Concevons de petits cylindres de même épaisseur, qui s'étendent de ces points jusqu'au centre; alors chaque point dans les sections perpendiculaires de ces

canaux, ab, pq, mn , éprouvera 1 attraction — A, —^1, M, vers C

(§. ii^.). En faisant donc Cazzix, Cp-Hy, Cmzzzz, on aura la pesanteur

OC ^ X "V ^ V 2 d ^

des élémens cylindriques ba-zz A, ^-tt m P, np.zz: M , d'où

il résulte, si l'on fait après l'intégration xinnif ymn , zzzir, la pesanteur des canaux entiers, CAzzîwA, CPinî/iP, CMzzî/^M. Comme tous ces canaux doivent se faire équilibre en C (§. 120. n. 1.), on a w AzunP JurM,. ©u A:P::«:/n et A:M::r:m. L'équilibre a donc lieu dans la sphère, si elle n'a point de rotation, parce que m zz: » = r et A iz: P ziz M.

Si le solide tourne autour d'un axe, la proposition précédente a également lieu. Dans ce cas chaque point m sera sollicité suivant CA par la

force centrifuge V zz: Z (§. 69.) , u étant la distance du point m à l'axe,

h l'accélération de la pesanteur en m,, et Z le poids du point matériel iii. Or

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les masses des êlémens m étant supposées égales , leurs poids seront proportionnels à h: en faisant donc Z tu 2 p. A , il viendra V nz /x 7^ u , et ur^sînPCM, donc Vrjx'V'^sinPCM, 2 étant— Cm. Il en résulte une pression suivant mM=:VsinPCM=r/x7»2sin''PCMzi:V'. Mais Z=z- M (§. 124.); la pesanteur de l'élément tjjx suivant mC, diminuée par la force centrifuge, sera donc (Z — V) 9s = ^55 f- — /J.'V^sin^ PGMj, dont l'intégrale donnera

la pesanteur diminuée du canal entier CMzz:I(Mr - H.7^r^sin^PCM)z:= V". Si l'on met dans l'expression de V, r à la place de z, on aura la force centrifuge du point M suivant CM =: fx7^ r sin^ PCM 1= M', et sa pesanteur diminuée = M''=iM — M':=M — fx7Vsin^PCM, partant V"i=:^M'V. Si Ton nomme A", P'', la pesanteur des points A, P, modifiée par la force centrifuge, on trouvera de la même manière la pesanteur modifiée du canal CAiziôA'/n, et du canal CPznîP'n. Or tous ces canaux devant exercer la même pression dans le cas de l'équilibre, il s'en suit M'O- zz: A" /n zz: P'" /i; ce qui nous apprend, que la pesanteur, diminuée par la rotation, vers le centre, est aussi réciproque aux dislances du centre. Mais il sera bon d'observer, que cette pression vers le centre n'est équivalente à la pesanteur des corps grayes, perpendiculaire à la surface, que dans l'axe et dans l'équateur.

§. 126. P ROBLÈM E. Etant donné dans l'ellipse APB {Fig> 3i.) un point Z, d'où l'on a mené ZT parallèlement à l'un des deux axes AB, et deux cordes ZM, TLm, qui font avec ZT des angles égaux TZMzzTZmzzzcf); ayant de plus abaissé des trois points Z, M, m^ les perpendiculaires ZD, LMH, mlhf sur AB: trouver la somme des deux lignes Zh, Z/.

Solution. Soit C le centre de l'ellipse, et nommons CAzzCBzza, CP=zC/)Z=i, Kh-ziLt, limznu: le point Z étant donné par les coordonnées ADizic^ DZzze^ la nature de l'ellipse donnera pour les points Z et m les équations:

o^ e^ znb^ c{'i.a — c) et u^ u^ znh^ t (2 a — t). En faisant donc Zlzizx, Imzizy, on aura j:z:z^— c^ jzz« — e, d'otJ l'on tire «^ — e^zzj(j-|-2e). Or les deux équations précédentes donnent n^(u^ — e^)zz b'^ [t — c){ia — c — /), d'où l'on tirera d^' y {j -\- 1 e) ziz b"^ x {^ a — 2c — x).

01 ion y subsitue y zz a; fans; (î) , on aura Llzzzxzm ^ ,,

et en mettant LZM zz: — Cp au lieu de IZm zz -j-(p,

»i4 ASTRONOMIE PHYSIQUE

Z L = x' =: "°^°~'lf "ir"^ > d'où il résulte :. + :.'=: 4^!i^nl\

Si lang (p est plus grand que — ^ -^ x devient négatif. En effet,

la droile qui touche la courbe dan^ un point quelconque, fait avec une ligne,

parallèle aux abscisses tj comme ZT, un angle \p dont la tangente e.'&t

dn h^(a — f) - , , . „ . b^'ia — c) ^ ., -— : = — — • on a donc dans le point Z, te \l» rz: — — . Or il est

visible que, si l'on fait cp > vp , Zm ou Zv rencontrera l'ellipse de Fautre

coté dans un point n, ce qui donnera Zo nz — xziz -

et x' — xziz -- — ~— — — , comme précédemment. La somme algébrique des

a»fg2(p-Hi2' l Ab*ia-c] deux abscisses ZL, Z/, est donc constamment -~ — ^^ ,

Soit maintenant D le sommet, C le centre d'une ellipse DFEG, semblable à AZBP, et faisons ED Qz^EDq—:(p; cela posé, les cordes DQ et ZM, Dq et Zm, seront parallèles entre elles, et la nature de l'ellipse donnera l'équation RQ^ — Rq^ — I)R^lg'(p—~lj)R{^CD^-DK), et CDzna—c, d'où il suit

DR— g&'(a— c) fM-^ — a=* 1^2 cp -f- 6» — 2 •

Comme AB pourra être, dans les formules précédentes, le grand ou le petit axe, on en conclura ce théorème général: Ayant mené d'un point quelconque Z d'une ellipse, deux cordes, inclinées sur l'un des axes de l'ellipse AB sous des angles égaux, ZM, Zm^ ou ZN, Zn; ayant ensuite abaissé sur le même axe AB les perpendiculaires ZD, LMH, m Ih, et décrit par le point D, sur Taxe AB, une ellipse semblable à la grande; ayant enfin tiré de D deux cordes, parallèles aux cordes ZM, Zm, ou ZN, Zv; on aura ZL -f- Z/ ou ZO — Zo = aDR.

§. 1117. Soit Z un point à la surface du sphéroïde elliptique, G le centre, P^ l'axe, A B un diamètre de féquateur: cela posé il suit de ce qui précède, que l'attraction moyenne sur Z doit passer par l'axe, parce que le plan ZAPB partage le sphéroïde en deux portions égales et semblables (§ 120.): l'attraction qu'éprouve Z, pourra donc être décomposée suivant deii.^i directions, dont l'une est perpendiculaire, et l'autre parallèle à l'axe. Supposons que la ligne ZY, qui est parallèle à l'axe, rencontre le plan de i'équateur en D, qu'il soit décrit par D un sphéroïde semblable sur les mê-

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mes axes, et que le plan AZBP tourne autour de ZY: cela posé, quelle que soit la position de ce plan, ses intersections avec les deux sphéroïdes formeront deux ellipses semblables AB, DE, dont les axes sont AB, P/?> et DE, F G, D étant le sommet commun à toutes les ellipses intérieures', et le plan générateur par ZY étant constamment parallèle à l'axe (§, 122.). L'attraction de l'espace sphéroïdal, renfermé par deux ellipses qui se coupent sur ZY sous un angle infiniment petit dans une position quelconque du plan AZB, est la différentielle de l'attraetion que le sphéroïde entier exerce sur Z. Soit donc ZL parallèle au grand axe des deux ellipses ou à i'équateur (§. 122, n. i.), et tout le reste de la figure tracé comme dans ie §. précédent: supposons que les cordes ZM, Zm, DQ, Di^^ s'éloignent des deux côtés- de ZL et DE, avec la même vitesse angulaire, easorte que les angles LZM, LZw, EDQ, ED^^ soient constamment égaux entre eux 3 et concevons que, dans chaque position instantanée. M, m, Q, q, soient les bases infiniment petites de pyramides semblables, dont les sommets sont en Z et D. Cela posé, leS attractions que les points Z, D, éprouveront par les actions des pyramides, seront comme les cordes ZM, 7im, DQ, D^ (§, i23.), d'où résulteront les attractions, parallèles à l'équateur, suivant ZL et DE, qui seront comme les abscisses ZL, Z/, DR, DR. Ainsi la somme des deux attractions ZL, Zl, est à la somme des deux pressions DR, comme ZL-]^Z/ est à 2 DR: elles sont donc égales (§. 126.). Pendant que les angles LZM, LZm, EDQ, ED^, ont augmenté de zéro à 90°, le rayon vecteur ZM a traversé la surface elliptique TBPYZT, Zw a décrit les segmens TmZT et ZAYZ^ les deux rayons ZM, Zw, ont donc parcouru l'ellipse entière AB, pendant que DQ, ^q , ont décrit l'ellipse entière DE 5 et dans chaque position l'égalité précédente a eu lieu. Ainsi l'attraction totale que l'élément sphéroïdal AZBP A exerce sur Z suivant ZT, est égale à celle que l'ellipse DFEGD exerce sur D suivant DE, quelle que soit la position du plan ZYB. Pendant que ce plan^ en tournant sur ZY, traverse le sphéroïde entier, le point Z éprouvera constamment une at* traction, parallèle à l'équateur, suivant ZT, qui est égale à l'attraction de 0 par l'action de DFEGt d'où il suit que la résultante^ ou l'attraction moyenn;e'

de Z, parallèle à Téquateur, est aussi égale et parnllèle à l'attraction moyenne que D éprouve par l'action du sphéroïde intérieur DE. Or celte dernière passant nécessairement par le centre du sphéroïde DE ou par l'axe, et les points Z, D, étant situés dans le plan d'un méridien, l'attraction moyenne de Z, parallèle à l'équateur, coupera l'axe perpendiculairement (ce qui a déjà été prouvé plus haut), et sera égale à l'attraction que le sphéroïde entier DE exerce sur D.

Puisque les mêmes raisonnemens sont applicables au cas, oii AB est l'axe et Vp l'équateur (§. 126.), il en suit de même, que l'attraction totale de Z, parallèle à l'axe, est égale à l'attraction de D par le sphéroïde DE; mais dans ce cas le sommet D du sphéroïde est situé dans l'axe.

§. 128. Soit {Fig. 32.) M un point du méridien PA, P le pôle, CAzzw^ CV zz: n, la pesanteur sous Téquateur zzlA, au pôle rzP, MK parallèle, et ML perpendiculaire à l'axe, et concevons deux sphéroïdes KN, LO, semblables au sphéroïde terrestre, décrits par K et L sur les mêmes axes: cela posé, toutes les forces qui sollicitent M, pourront être décomposées suivant MK et ML. En nommant donc K, L, les attractions des points K, L, par l'action des sphéroïdes KN, LO, l'attraction que M éprouve suivant MK, sera =: L, et l'attraction suivant ML ou KG — K (§. 127.). Or on a,