LIVRE I, C H A P. ÏIÎ

peut indiquer une force qui, suivant les principes de la mécanique, produirait les mouvenrens cuie les abservations indiquent, soit qre la force réelle soit telle que nous rimaginons , ou non. Dès qu'on aura trouvé que les orbites sont telles, que l'on peut dé^^rminer au dedans de ces orbites, un point fixe qui ferait décrire aux corps les mêmes orbites autour de lui, s'il était doué d'une force centrale; on sera autorisé, de regarder cette force centrale comme la véritable cause du mouvement, et ce point comme le ■centre des forces. De plus, comme l'astronomie ne considère que les mouvemens relcJ'Js des corps, la force centrale ne subâistera pas moins, si le centre des forces est aussi en mouvement, pourvu que l'orbite entière participe à ce mouvement; car alors le lieu des corps, relativement à ce centre, sera changé précisément, comm.e si la force centrale était dirigée vers un point iixe. Celte remarque sera d'un grand usage dans la suite.

§. 19. Lorsqu'un point matériel M {Fig. i.) décrit la courbe AM/??B, étant sollicite par des forces qui sont constamment dirigées vers ie point C, la nature de la courbe A M sera déterminée par les méthodes usitées dans la géométrie. Si Ton mène par G une droite arbitraire AB, de laquelle les angles AGMiz:(:p seront comptés, et que l'on nomme la distance variable CMzz?'; l'orbite A M sera déterminée par une équation entre (p et r, et le mouvement du point M sera donne par l'application des équations fondamentales (§. 17.) aux diiférentielies de cp et de r. Aj^ant abaissé sur AB la perpendiculaire MN, la force centrale, dirigée suivant M C, peut être décomposée en deux autres suivant MN et IsC; et ces trois forces seront dans le rapport des lignes MC, MN, NG, conformément aux principes de la statique. Les lois gé: érales du mouvement doivent être appliquées à chacune de ces forces. En nommant donc P, M, jN, les forces accélératrices suivant M G, MN, NG, on aura

P : M : N : : M C : M N : N C : : I t sin $ : cos $. Soit GN=:jr, NM=zj, et l'arc infiniment petit Mmz:^ds — V{dx^^dy^):\Q point M ayant donc décrit l'arc ds en vertu de la force P, il peut être envisagé, comme ayant parcouru les espaces — dx et dy, en vertu des forces N et M, Mais ces deux forces étant dirigées de manière à diminuer les lignes X, y, il tant les regarder comime négatives ïelalivement à x, y. L'applicaiion de féquation 4- (,§• 17-) donnera donc ces deux équations,

ddxzzi'-o.gfsdt-, aay:=:~3^Ma/% d'où l'on tire ""^ ^ ^ - v ^^ =Ny-M.r,

à.{xdy—yâx] 2g:^,a

ou. -~ -^ ; ^rzNj — Mo:; et^aa^r+jaayzz— 2^^-,iNx-HMj)9^^,En

substituant IVlzPsincJ), INzPcoscp, onaura-^^^ — ^^^^a — ^i:P(jcos(p-xsin(|)\

et :i;3 8x-4rj3ajzz — igF [xcos(p-\-js\n<P) dt'^. Mais on a aussi xzi:rcos<p^

jmrsincp, d'où il viendra

I. d (xdj — jdx)iz:o, IL 3 3x cos 0 -|- 9 5y sin Cp zz: — ^gVdi^.

Les difFérentiations successives de x, y, donneront

3a;zzarcos Cp — rôcp sin cp, ôj^ zz arsin (^ A^ r'è(^ cos Cp,

a3;r zi: 39 r cos cp — 2 3r3(p sin cp — ?'3 3cp sin (p — • racp^ cos cp,

33 j zii93r sin Cp -{- a3r3cp cosCp -)-r3 3cp cos (p — A'3cp" sin cp.

En substituant ces valeurs, ainsi que .xsin (p—j cos Cp Ho, et .xcos cp+jsin CpH^r,

les équations précédentes prendront la forme^

ni. 3 ,^r^3cp) — o; IV, 33^ ~ rS^)^ =z — a^P 8/^3

qui sont les deux équations tbnuaraentales pour toutes les forces centrales.

Pour intégrer ces équations, il faut se rappeler que, dans toutes ces

formules, l'élément 3/ est supposé constant, ou que le tems a été partagé en

portions égales (§. i3.); d'où il suit que la constante^ qu'il faut ajouter à la

diirérentielle trouvée par la première intégration^ sera multipliée par 3/. Cela

posé, réquation IIL donnera