LIVRE IV, C H A P. VIT. va

La pesanteur en M est M = V (K=-1- L=~l =: A V -j + — ^- j =

Ay(n'x^+my), ou en faisant ,„•-„==/% M=^^ïi=l— "-^. £n no^.na'nl p

la hauteur du pôle ou l'angle AeM, on aura tang p zr — — ^-- , d ou

il suit :ï;"zr — - — — -— , donc ni^ — Px^zn — ; -, , » ■ 20 ' ^^ '■^^ —

Puisque / est une quantité très-petite par rapport à m, l'extraciion de la lacine donnera

M ^ A ( I -f -~^ -f —--^ , et -— m -— ,- r + — — ^~],

:2 m= ' 8m*/" A £ m^ V 4 wi^ /

. ou à peu près :=: -^ :=: — —, — i ; d ou il resuite que 2) la pc

sauteur croît sur le sphéroïde elliptique, de ïéquateur au pôle, à peu près en raison du carré du sinus de la latitude , ou en raison du sinus verse de deux Jois la latitude.

L'équation lang (3 m -^ donne aussi tang MEK n: -^ isng MCK. Or puisque tous les points m sur le rayon CM ne ^ont attirés que par le sphéroïde semblable \imO (§. i24-)j ^^ ^^ P^^ conséquent— et MCK ont la même valeur pour tous les points m, l'angle MEK qui détermine la direction de la pesanteur, sera aussi constant; d'où W suit que 3) dans tous les points sur le même rajon les directions de la pesanteur sont parallèles entre elles, et la pesanteur vers le centre, ou perpendiculairement à la surface, est en M et m, comme CM à Qni, ou comme la distance au centre (§. 11^.).

§. 159 Si l'on nomme maintenant CM = r, Cmzz:z, la pesanteur en M et en m, suivant ME, M et Z, vers le centre, M' et Z', et qu'on abaisse

sur MC la perpendiculaire EG, on aura Zrr- M, Z'ziz- M' (§. 128. n. 3.),

et M' zz — - M, d'où il resuite la pesanteur de l'élément du canal Cm vers

fll c jM

C=i:Z'35Zz — — r — zd z, M, r, ME, MG, ayant une valeur constante dans

toute la longueur du canal. Ainsi la pesanteur du canal Cm vers C est

— ' ,' — • , et celle du canal entier C M zz ^— ?\ Or les triangles sem-

blables CKM, CGE, donnent CGzz - CE, M G zz ^^^ îir , K E iz:

—^x (§. 128.), partant UG .r— x^ -^ y^ —x- -^ ^ x- zi: y- -h — x^ =z ?r. On a de plus UE-V (y'+'~A = -Vi^^'-K^ ,t M= M."L*:=!!f!2

ai8 ASTRONOMIE PHYSIQUE

(g. 128.), donc ---— izz —'—■. Cela donne la pression du canal CM vers le

lu H. ?i

centre CzziÏA./t?^ ce qui est une quantité indépendante de la latitude de M, et égale aux poids des canaux CA, CP ($. i25.). Ainsi tous les canaux CM depuis un point quelconque de la surface jusqu'au centre exercent en G le ihênie effort; ce qui est la seconde condition de Téquilibre (§. 120. n. i.).

On a donc vu que toutes les conditions que l'équilibre suppose, son' remplies par le sphéroïde elliptique (§. 128.); d'où il suit, que VelUpse est la Jîgure des méridiens, qui comncnt à l'équilihj'e, ce qui était le premier objet" du Chapitre présent (§. 121.). Il nous reste encore à déterminer le rapport qui doit exister entre les deux axes du méridien elliptique, conformément à la rotation connue de la terre. Or ce rapport étant le rapport inverse de la pesanteur dans l'équateur et au pôle (§. i25.), il s'agit de déterminer ce dernier rapport.,

§. i3o. Si l'on conçoit le sphéroïde partagé parallèlement à l'équateur en disques d'une épaisseur infiniment petite, le pôle de rotation sera en même tems le poïe de tous ces disques, et l'attraction qu'un disque quelconque exerce sur le pôle, sera la différentielle de la pesanteur au pôle. Soit {Hg. ^^^^ AB un de ces cylindres évanouissans, CAi^ia le rayon de sa base ou du parallèle, CVzur la hauteur du pôle au-dessus de la base, donc l'épaisseur du cylindre =:3r: ayant décrit du centre de la base deux cercles infiniment peu éloignés l'un de l'autre MN, mn, et nommant CM:=z.x, M-nfzz:dx-, la surface M/wwN sera zz: 2 n^xdx, et l'anneau cylindrique MmnN zz ^nrxdxdr, ce qui est en même tems sa masse M, si l'on suppose la densité

zz I. Chaque élément 3 M de l'anneau attire P suivant PM avec la force

— -— , et suivant PC avec la force- : l'attraction totale de l'anneau sui-

^ ]\ï Z TT '^ X d r 3 X \

Tant p C sera donc - — ~ = — . En intégrant par rapport à x,

on aura l'attraction du cylindre MCN suivant C =; const. ,1 % ,~^\ — ■

%'Kdr 1 1 — r , la constante étant déterminée ensorte que i integra-

le soit nulle, si x çsi nul. En faisant xina, on aura ràttractibn du disque entier AB=:27rdr (1 ~ — rr") i:z27rôr(i — cosAPC)=:4'^âr (sinJAPC>''^