LIVRE ÎV, C H A P. VIL aaS

(i -f- ^0* ^^ X, 0087461 23 , ce qui donnera i -}- w zi: r,oo43635 , et w ziz

o,oo436J5iz: -. Suivant M. de Lapîace on a q-zz o,oo3ii^c)5'j ; ce qui

donne u zz 0,0043^492 rz —-^gv- Ainsi les deux axes de rellijssoïde terrestre m, riy sont, suivant la théorie, dans le rapport de 23o,2 à 229,2 ou de 23 1,7 à 23o,7 5 le premier rapport est celui de Newton.

L'équation (4)> "î'^^ répond à Téquilibre, donne plusieurs valeurs de X, dont nous avons trouvé la plus petite. Pour le prouver, faisons AngfangXzr a, ": , ,^-i- izc, et « — azii<^^ les racines de 1 équation (^ nr o donnant le cas

de 1 équilibre. La première racine est X ru o , qui donne a z= o , a zz o, et <P=ro, mais qui ne peut pas exister dans la nature. Si X est très-petit, a devient zz:X, donc o>^a, et (J) positif. Si a estz-:45°zz — zn 0,7854, X est égal à l'unité, et l'on trouvera a zz ^ . 1, 00076 zz: 0,75..., donc «<a, et la valeur de <p est négative. L'équation Cp zz o a donc une racine entre a zz o et azz:4'^^i fl^i est celle* que nous avons trouvée, et qui donne a zz 5*^ 20' i4"'- Si l'on fait azz9o'', X estzzoo, ce qui donne une valeur positive de (|): d'oii il suit que l'équaîion (p zz o a une autre racine entre a zz 45° et a zz 90°. On trouvera cpzzo, si l'on fait a zz 89^ 54' 56'', 9, ou Xzz68o,5. Pour voir, s'il y a encore d'autres racines, il faut se rappeler qu'il y a nécessairement un mw xbnuni entre deux racines. Or on trouvera le maximum de c|), en faisant

~ — T7=^o, ce qui donne o zz X^ — ( io)x"-4-o, dont les racines

Wa «l'A 5 / 3y \ \1 y I -" ^

sont X^ zz 5±: y[ ^ h '^)' ou X^=: o,oo52 et X^= 17^^9,344;

et comme nous ne considérons ici que les valeurs positives de X, Xzz 0,072111 et Xzz 4 1,585^7, ou a — 4'' 7' 28'', 3 et azz 88^37' 21'', Il suit de là, que (p n'a que deux maxima , et par conséquent trois racines seulement, X zz o, Xzzo, 09352, etXzz68o,5, qui donnent azzo, azz5®2o'34', et azz89°54'57'': les maxima, pour lesquels nous avons trouvé azz 4'*7'28''' et a zz 88° j)7'2i", tombent entre ces trois valeurs. Il n'y a donc que deux figures de l'ellipsoide, avec lesquelles l'équilibre puisse subsister, et qui sont déterminées par le rapport des axes,

min:: 23o : 229, et m : n :: 6Bo,5 : 1 j k première figure est à très-peu près celle qui existe dans la natursi

aa6 ASTRONOMIE PHYSIQUE

§. 137. La longueur du pendule à secondes a été employée (§. i35.) seulement, pour déterminer la pesanteur G et ^; mais cette longueur, ayant été mesurée avec la plus grande précision, peut aussi servir à déterminer immédiatement la loi, suivant laquelle la pesanteur, et par conséquent la figure

]y[' ji^f

de la terre, varie depuis l'équateur jusqu'au pelé. L'équation (§. 128.) — 77—=^

?asir,»3 , , M'— A' w sin» (3 ^ . , , j^

! L donne à peu près j — zz . Puisque la longueur du pen-

2 771,' A I -f- 2. CO

duie est proportionnelle à la pesanteur, on aura, en nommant L, X, X', les longueurs du pendule à secondes, sous l'équateur, et sous les latitudes (3, (3',

. ^ , , M'— A' X — L cosin'3 X'— L co sin' (3'

A' : M' : : L : X , donc — - :=: zz -j — r— = — *«

T / a . n > T X sin' b — X' sin' 3

d'où l'on tirera X — L:X — L :: sin^S : sin^S , et L = — — — r-^ ~ , donc