L I V R E V, G H A P. IL

et supposons la" réfraction à cette hauteur nnf-ziLf -f-s.- on aura pareillement

« zz m iS — s) z= — ^^ zz -, d'où l'on tire

(.) /=:/' + îx=: *-i^::^ïil±^^ (par l'équation (.)).

Il en résulte cette règle:

La demi -somme des distances apparentes au zènit^ est ôtèe de la demu somme des hauteurs du pôle: le reste sera la réfraction à la distance au zénit, gui est égale à la demi'somme' des hauteurs du pôle.

Comme ces observations donnent la réfraction double 2jrn:5-|-p— (s'-j-cr'), l'erreur sera deux fois moindre.

§. 238. Une autre méthode, qui suppose une situation particulière du lieu de l'observation, donne la réfraction triple, ce qui réduit les erreurs à un tiers. Soit {Fig. 44.) PMAQ le méridien d'un lieu M, ses intersections avec l'équateur pt les tropiques, A, B, C, les pôles P, Q, l'obliquité de l'écliptique ABiiiAC=i:s, la hauteur du pôle AM=i:(3, et supposons que les points P, B, C, soient rapprochés du zénit M par les réfractions, de Vpz=if, Bbz^ifr, et Qczizf", ensorte ^v^^ f, f , f" , soient les réfractions qui conviennent a la hauteur du pôle p zz:: 90** ; — MP, et aux hauteurs apparentes 90® — Mi» et 90*^ — Me. Supposons la situation du lieu M telle, qu'il soit à peu près MC = MP, donc (5 -f- s z= 90" — p ou p =r — zn Sj" \Ç>' : alors y et y' appartiennent à des hauteurs presque égales, 90" — MP zz pzzSJ'^iô'; conséquemment, quoiqu'*il ne soit pas permis de tirer des tables les réfractions elles-mêmes, on peut sans aucune erreur y prendre leur différence. D'ailleurs, MB étant de ,9 à 10 degrés, la réfraction y ne sera pas au delà de lo"^ on peut donc tirer y' des tables de réfractions, sans erreur sensible: cela posé, on connaît y zza ety^'' — ,/:=«.

A}'ant observé la latitude apparente ^^^1:90"* — M/?, et par le moyen des hauteurs méridiennes du soleil aux solstices d'été et d'hiver, les distances apparentes au zénit, yihz:z.h, Mczzc^ on connaît

P' — p -f- / , §. 236.), M/? =1 90° — p', M c =: c, M B == Z- -f a, donc B/;=i3-}-a-[-9o«— p', et MyD-[- Mc + B/p=:t8o°— 2p'-{-c-|-Z' -^a = S. Mais on a aussi Mp z= M P — /, Me =: M C —f", et en faisant Ç^q-=z.Vp ■=:/, Bp — C(/^CQ—f; d'où, à cause de MP -f-MC-j- CQ = 180% on tirera

Mp -j- Me -fBp =:.i8o'' — 2/—/'' = S. En égalant ces deux valeurs de S, on trouvera 2 p' — c — b — a:ziif-\-f^'-^:i ^f~\~ ^> donc ia réfraction à la hauteur apparente p',

Le Cap de' Bonne-Espérance, dont ta latitude est —33® 55', ayant la situatioît que cette méthode suppose, Lacaille profita de son séjour au Cap, pour employer cette méthode avec un grand succès.

§. 239. Si la hauteur du pôle, et par conséquent aussi celle de l'équateur, est renfermée entre 3o° et 60", les observations des équinoxes donnent un moyen de trouver avec une grande précision, les réfractions qui conviennent aux hauteurs du pôle et de l'équateur. Le soleil ayant été observé au méridien les jours des équinoxes du printems et de Tautomne en: S et 5 [Fig. 23.), à des hauteui-s presque égales, on trouvera, par la méthode ©xposée plus haut (§. gS. suhr^), la différence TY entre les ascensions droites vraies, qui n'est pas altérée par la réfraction: on a donc AT =1:90'° ^

et les changemens diurnes de l'ascension droite et de la hauteur au méridien donneront le teins où AT était nul ou T^ziiiSo®, ainsi que la hauteur méridienne qui répond à cet instant, c'est-à-dire la hauteur apparente de l'é- ' c|iiateur U^ ou ce qui revient au même, la hauteur vraie b avec sa réfraction g, savoir h'-zizb -\- g, La hauteur du pôle, observée par le moyen des étoiles circonpolaires, est la hauteur apparente (3^ n: (3 -^f. On connaît donc par les observations è'-}-p'=B, et Ton a B =1 ^ -[- P +/+ ^- C^^ ^ + P étant égal à 9,0 degrés, il viendra

Comme V et (3' sont plus grandes que 3o°, on a (g. 235.) ^r^ :r cot (3^:cot ^^^ç

f tang h

T T ft T\ ^ ri

l%b':i%^', Q^-r-rz^^Tzrr—ZTT,' En substituant donc/-|-ê^ = B — 90°, on aura

(B — 9o^]tg6' (B — 9()°lsinJ''cosp'' (B — 90°) sin h'coi ^'

^ '-"' "tgô^-Mg'p^ ~" sm [h'-h^] ~~ cos (B — 90^) ^

Puisque B '—90^ n'est que de quelques minutes, &n peut faire cos (B' — 90®') '■;^^^ ce qiii donne fzz (^B >— 90'*} sin b' cos (3'»

L I V R E V, C H A p. IL aSg

§. 240. On peut enfin quadmpîer l'éifêt des réfractions, par un procédé semblable à celui du §. 287, et par là rendre quatre fois moindres les erreurs inévitables. Supposons deux observateurs en M et en N {Fig. 45.)» soient AM=:(3, AN = ô, les latitudes vraies, Vp:=^f, ^qzz.f', les réfractions qui ont lieu aux hauteurs du pôle observées, p', V\ oa aura (3i=(3'— ^.^ biizb'—'f^ donc l'arc compris entre les parallèles vrais MN =: p +• ^ = i3^ 4- 6' — (/-f/Ô.

Ayant donc observé en M et en N la hauteur méridienne d'une étoile S, qui a à peu près même distance aux parallèles M et N, ensorte que sa décli-

naison AS soit à peu près, ô' = ■ -^ supposons que ses lieux apparens,

par rapport aux lieux M, N, soient s, cr, et les réfractions Sszzig, S 5- = ^', qui ont lieu aux hauteurs apparentes 90** — MiS et 90° — No". Cela posé on a

. MN z= M5 4- No- -f ^ -I- /, M5Z=:5 et No- 1=0- étant donnés par les observations au méridien. En comparant les deux valeurs de MN, on trouvera

la somme de quatre réfractions qui, à la vérité n'ont pas lieu à la même hauteur. Mais les quatre hauteurs étant supposées assés considérables , on partagera la somme S en quatre portions, à raison des hauteurs [3', b\ 90°— 5, go° — 0- (§. 235.J : ce qui donnera les réfractions à quatre ditïerentes hauteurs. On verra bientôt, comment ce partage peut être effectué avec une précision encore plus grande.

§. 241. Par le moyen des méthodes précédentes, On a déterminé les réfractions à différentes hauteurs: et ces observations, combinées avec la théorie ou l'hypothèse dont il sera parlé dans le chapitre suivant, ont servi à construire des tables de réfractions pour toutes les hauteurs depuis o jusqu'à 90°. ' Mais puisque l'air qui nous environne est la cause de la réfraction, la variation de l'état ou plutôt de la densité de l'atmosphère, qui est indiquée par le baromètre et le thermomètre , doit nécessairement altérer la réfraction: les tables ne peuvent donc être justes que pour un certain état de l'atmosphère, et l'on s"est servi des observations les plus délicates, appuyées par la théorie, pour calculer la variation des réfractions, qui dépend de

a6o ASTRONOMIESPHÉRIQUE

l'état variable de i'atmosphère, pour les différentes hauteurs du baromètre et du thermomètre. Parmi les tahles astronomiques, publiées par le bureau des longitudes de France^ on trouve à la fin de la /. Partie, les tables de réfractions, dont la Tub. IX. renferme les réfractions pour l'état moyen de Fatsnosphère, la Tab, IV. présente les logarithmes de cette léfraction moyenne, auxquels il faut ajouter les logarithmes, tirés des Tab. VI„ et VIT, selon la hauteur du baromètre et du thermomètre: la somme de ces trois logarithmes donne {Tab. VIIJ.) celui de la réfraction vraie^ (Quelques observations -font même croire, que non seulement les réfractions sont différentes en différens lieux , ma's que dans le même lieu , et à égales hauteurs , elles sont plus grandes dans la partie méridionale du ciel^. que dans la partie septentrionale {^). . , ' '

§. 242. Aussi tôt que la loi des réfractions à différentes hauteurs s été découverte, il parait qu'il suffira, d'observer une réfraction quelconque à une certaine hauteur, pour déterminer la quantité de la réfractron horison» taie, ainsi que de toutes les autres. Mais comme la véritable base des tables est la réfraction horisnntale ^ laquelle, étant la plus grande, est la plus propre à déterminer les autres j et que d'ailleurs la loi qui a lieu à des hau-= teurs considérables, ne peut pas être appliquée immédiatement aux réfractions, près de l'horison: il sera bon d'exposer ici les méthodes, par .lesquelles on peut observer immédiatement la réfraction horisontale. Nous commencerons^ par une méthode qui^ à la vérité, n'est pas favorable pour la pratique, attendu qu'elle suppose une observation, très -difficile à faire exactement. Elle consiste à observer le point de l'horison où se lève ou se couche une étoile dont la déclinaison est connue, dans un lieu dont la latitude est aussi connue, c'est-à-dire son amplitude ortive ou occidue. II est aisé de voir, que cet arc de l'horison est pareillement altéré par la réfraction: ayant donc calculé l'amplitude vraie» sa comparaison avec l'observation donnera l'effet de la réfraction dans l'horison.

Soit {Fig- 46- J V le zénit, P le pôle, R le point nord de rhorlson HR, RC=::9o°, donc C le vrai point est ou ouest, et AB le vrai parallèle

(i) Voy. Méthode directe pour déterminer les réfr. par M^ Cas'sinL Mém. de JParis^ année i^J^^

L I V R E V, C H A p. II. 26ï

d'une étoile, partant CBzna son an>plitude vraie. Concevons un cercle h r parallèle à Fhorison , et abaissé sous lui de la réfraction horisontale x: alors, A étant la commune section de cet almicanta]fat et du parallèle A B, l'étoile sera élevée par la réfraction de l'arc ADizix: elle se lèvera en D, et son amplitude apparente sera GDzna', qui doit être observée exactement. Maintenant il s'agit de calculer l'amplitude vraie CBz=:«, et de trouver la réfraction horisontale ADz^^, par le moyen de l'arc BDz::^''— a» Pour cet effet, soit la hauteur du poie PR=:[3, la déclinaison Szzigo'* — PB=:9o°— PA; Cela posé on aura (§. i8i,) sin «=:——, PVB — 90°— a, PVA:=90*— a', et les triangles PVB, P VA, fourniront les relations suivantes, cos P B zi: cos P V cos V B -f sin P V sin V B cos P V B, cos P A =z cos P V cos V A -[- sin P V sin V A cos P V Ae En substituant PBzziPA, VBzngo^, YA^zizgo'^'^x, on aura cette équation,

(i) . . . . cos p sin azzz — sin (3 sin :r -|- cos (3 sin a' cos x. Pour en conclure immédiatement l'inconnue x, il faudrait résoudre une équation du second degré; mais on n'en a pas besoin, pour trouver la valeur de

i-, „ . sin a'

Xf aussi exactement que les observationis le permettent. En taisant — -r— zztgç, on connaît c, et l'équation (i) prend cette forme,

sin ( c — x) ,

eut B sin a zz tg c cos x — sin x m , donc

^ ^ cos c

' . sin a cos c sin a sin c sin ô' sin c

C») . . ♦ . Sin ic — x)zzi r— — . j~ T— -ji

^ ^ ^ ^ tang [3 sin a,' Cos p sin a'

et xznzc — (c — x).

Ainsi le petit angle x est donné par la différence entre deux grands angles,

ce qui ne peut pas donner une grande précision. Il vaudra donc mieux chercher

X par une approximation. En faisant sin a' cos a; zz: sin A, on trouvera une

valeur très-approchée de l'angle A, en mettant à la place de x, Sa' ou 33^-

alors l'équation (1) deviendra

./ .. -N -.A — a A-f-a (3) . . . . sin X zn cot (5 (sin A — sin a) =1: 2 cot (3 sin ■ — cos •

La seconde approximation donnera sin K'z:^ sin a' cos x'^ et

Sin xzn "i- cot 3 sin cos . •

Une approximation plus simple, et non moins exacte, sera donnée par le proce* dé suivant. Gomme x n'est pas plus grand que '6d\ on peut d'abord mettre

X au lieu de sîna;, et i au lieu de cosx, dans réquation (i), d'où l'on tirera

(q.) .... a; zn cat (3 (sin a — sm a) zn 2 cot S sin cos zn 3/,

On pourrait se contenter de cette valeur^ mais on trouvera x pl-us exactement par ia seconde approximation qui donne

sin a; m cot (3 (cos ^^ sin ft' — sin a), ou après avoir calculé sin B =z — '■ — ,

cos x/-*

siaxzzcotiS cos a;' (sin a' — sinB)z=; 2 cot Scos a;' sin cos — -— .

Il est vrai que l'azimut au moment où l'étoile est dans l'horison, est difficile à observer exactement. Voyons donc, comment la valeur de x est affectée d'une erreur commise dans Fobservation de l'azimut a\ Pour cet effet, différent ions l'équation (i), ce qui donnera

.^ d a' co% a' . , . , ^ 5 /cos a' <^ ^ — : — r— — : — ;; — - , OU a très-peu près, axzzi — — ,

tg (3 + sin a'' tg X ' ^ ^ ' tang(3 ^

d'où il suit d a' -.d x:: tang p : cos a\ Si donc la latitude [3 est plus grande

que 45®, d X est toupurs moindre que d a', et l'erreur diminuera, à mesure que l'amplitude est plus grande. Si l'on clioisit une étoile, donc le parallèle est presque entîprement au-dessus ou au-dessous de rhorison, on a à peu près cos a' 1:1: o, et l'erreur est tout-à-fait insensible. Quand le parallèle touclie Ihorison en R, on a sina'zni, ce qui étant substitué dans l'équation (1), donne

cos (j3 -|- ^) zi: cos (3 sin a ziz sin ô"., d'où l'on tire immédiatement (3 -}- x zz: 90'' — ô~, ou .r zz 90° — ô" — (3.

§. 243. La méthode suivante peut servir à déterminer immédiatement par observation , toutes les réfractions depuis le zênit jusquà fhorison. Elle consiste à observer une étoile deux fois dans le même cercle vertical, ou dans ses deux passages au centre de la lunette, le quart-de-cercîe ayant la même position. Si Ton a encore observé l'étoile au méridien, Fintervalle du tems donnera les deux angles horaires vraisj et si Ton connaît la hauteur du pôle, ou si l'on a observé les azimuts vrais^ qui ne diffèrent pas des apparens, on peut calculer les hauteurs vraies qui, comparées aux hauteurs observées, donneront les réfractions. Soit {Fig. l^'^.)^Vi Thorison , V le zénit, P le pôle, MABN le parallèle d'une étoile qui a été observée au méridien en M, et deux fois dans le cercle vertical VABG en A et B^ l'azimut vrai HVCzza, qui est