LIVRE V, C H A P. III

angnierile îa hauteur. En nommant 7] la hanleur vraie, r\ la hauteur apparente,, ou altérée par la réfraction^ on a (§. 246. n. 3.) cos y]'ii: ,a cos 7), et /;. ■< i: d'où il suit sin (V — >1 = cos t] (sin Y ~ f^- sin -/î\ Le dernier facteur est toujours très -petit, parce que /x dilFère peu de Tunité: sin (?}' — 7]) décroîtra donc à peu près comme cos t), et la réfraction tj'' — • y\ diminuera avec la distance au zénit. Si ii =: 90*, on a cos r. rz o, et la réfraction est nulle au zénit. Si MN {Fig. 4B.) est la couche d'air la plus élevée, dans laquelle le rayon de lumière entre suivant AB, il est évident que la réfraction dépend uniquement des couches d'air qui sont au dessous de MN, ainsi que de la direction AB, et qu'il est indifférent, si la ligne AB est plus- ou moins longue: d'où il suit, que îa réfraction est indépendante de la distance des. astres, pourvu qu'ils soient hors de ratmosphère..

§. 243. Ea concevant la terre, environnée de son atmosphère sphérique et concentrique, et en se rappelant, que la densité de l'air augmente de haut en bas suivant la loi de continuité; on verra aisément, que la réfraction doit nécessairement dépendre , et de la loi suivant laquelle la densité de l'air augmente, et du rayon de cette surface sphérique, ou de la hauteur de la surface supérieure de falmosphère. Le rayon de lumière, en traversant l'air ^ pour frapper Foeil à la surface de la terre, entre dans chaque instant dans un milieu plus dense, il est donc continuellement rapproché; de la ligne verticale: pas conséquent, sa route par les airS: sera une ligne courbe. Imaginons un nonibre infini de cercles concentriques, qui partagent la commune section de l'atmosphère et du plan vertical de l'astre, en anneaux infiniment minces: alors on peut supposer chaque anneau d'une densité uniforme, de sorte que îa lumière, en entrant dans chaque nouvelle couche, est réfractée une seule fois, d'un petit angle que Ton peut regarder comme la ditrérenlielle de la réfraction totale , qui sera la somme de toutes, ces' réfractions infiniment petites: la réfraction totale sera donc trouvée par rintégration. L'espace d'où la lumière passe dans l'atmosphère, peut être re» gardé comme vide, ou comme rempli d'un fluide uniformément dense: dans. le dernier cas, le rapport de la réfraction entre ce fluide et la couche S4i««périeure de l'air nous est absolument inconnu..

§. 24§.- L-Irypotîièse .imagmée par Cassini e€ï sans ciouie Î2 plus simple,- Quoique il n'y a.it pas de doiilej que la densité de Pair., dans toufe Fëtendsre de ratniosphèr,e 5 r^e varie dime couche à rentre, on peut cependaut iniaginer un flnide d'ane densité nioyenjie et .conslanie,, telle qu€ 1?^ réfraclrion. unique que la iiimière éprouverait tout d'un ccup dans .ce fluide, isoit égaie -à îa somme des réfractions qu'elle éprouve. aciaclieiiimenl dans toaie sa- route par les airs. Celle route fictive sera droite , ou plutôt composée de deux lignes droites qui touchent la vraie courbe à sm deux exlrciiiités , le point le plus élevé de l'atmosplière ^t Toell. Comme cette hypothsss suppose deux choses, la densité moyenne de l'air ou le rapport de la réfraction unique, et la hauteur de l'air .moyen; deux rélractiQns, observées à différentes hauteurs, suffiront pour cela.

^Cett-e id^e est ingénieuse, et n'admet aucun doute: c'est-k-dire. pour chaque réfraction particulière qui est l'intégrale d'un nombre infini de réfractions élémentaires, on peut supposer une den&ilé moyenne d^ i'air, qui produirait d'un ccup la même réfraction totale. Mais il est possible que la loi des réfractions dans l'atmosphère est telle, qu'il faut adopter une autre densité moyenne pour chaque angle d'incidence , ou pour chaque hauteur des astres: dans ce cas l'hypothèse ne serait d'aucun usa^e. Cette question ne peut être décidée que par les observationso

Soit {Fîg: Si.) G le centre de la terre EH A, FBè la couche supérieure de l'air moyen, supposé d« densité constante., BH son épaisseur,, CV la ligne verticale d'un lieu A, ABT son horison, SB le rayon de lumière cfai , par la réfraction, prend la direction horsisontale BA, donc SBTzz:,/" la réfraction horisoEtale» Une autre éloilo s étant vue suivant la direction Abi^ shtzz.g sera la réfraction à la hauteur apparente BAb-zri: supposons donc, que / et g soient donnés paries observations, et nommous A B C ^ Cp , k:bC-=.^., Alors, sin S B D : sin T B D : : sms bd : sin th d : : a : i., sera le rapport constant des réfractions, et /.i >> i. On aura donc (1} , . . .sin {(p -\-f) = )x sin (p., et sin (\\j -\-^) 7=: fx sin \|y,

d'^ù l'an tirera ^g'^^—^rf' ^§ "^ " jrir^si ' P^"^""''^

(:.) . . . . .in (p ::=: ^ ^^.Jl^^^zT]::^) ' ^^ ^"^ ^ =^ TôT^^r^oliTo *

L I V K îf IV, C H A P. mr 27i

En faisant donc GAzzCEn;./, CBz:z Cù zz^x,. les triaiigWs ABC. AùQ^ domieroat a? iz: - — — m— r— ,— , clou il suit

sin.cp sin \f>

(3) , . . . sin y zz: cos y)- sin cp^ La subsiitulîorx de cette valeur dans les équations (2)^ donnera

sin^y(,u.^— 2 fvcos/-4- i) =cos7îsin/y(ju.2 2 ^ cos ^ -f i),. d'où il résultera pour /a une équation du second degré. Comme elle est un peu conijîîiquée, 011 peut se servir d approximations successives. Les équations (i) donnent »in((p'4-/)— sïn(p=r2sin|/cos(cp-|-|/)zi:(/A — î)3inCpV '

«in(4/H-âO— sin^|^ — 2sin|^cos(xj/-f'I^)z=:(t(,~i)sinv|/~(|a~- (3).

d'où Ton tirera

^ cos v) sin (p = sin |^ cos (xjy + |>);zf cos >i sin |/cos ((p 4- ?/), su en faisant pour abréger, •^j— zz:«^ /

(4) .-. . 3 cos *^ 4- i^ - ^ ^^iittif).

^ cos y]

Puisque sin 4) =r 2. est à peu près égal à l'unité, l'épaisseur de l'atmospHère moyenne, a;— a, étant très-petife par rapport au rayon de la terre a, on aura à peu près (3) sin y rz cos >) ou \p = 90*-— v). On peut donc, pour avoir une première approximation , faire \p -j- ?^ z= 90°-— yj: alors en nommant Cff, cp'', <p'^', vp% xp'', les valeurs de cp et v|/, trouvées par les approxianations successives, on aura par l'équation (4),

eos {(P' -\-lf)=zn tàiig 71, et cp^zr (cp'+ ?/) — |/. Cela donne, par l'équation (3)

sin vp'zr: cos tj sin cp^,- En substituant successivement les valeurs qu'on a trouvées j dans les équations- (4) et (3)j on trouvera

cos (cp^'H-f/) ir: !Li:±W£±i£)

" cos y\, ''

sin y!/^'-:zz cos ?) sin (:p'',; co»(r-+î/).::?°"'('J'"+iri, etc..

« COS y) '

€ela donns enfin

îin cp ' sin $'

En supposant avec Cassini, f zn'l'i! 10"' ^ rizzio'', ^ iz: 5' aS'', on trouvera

iog ;,?= 9,0.28. 07. 37^ (î)'-|-î/— 88^17^ 29'^9; (p' = 88°i' i9'^9

^^^=:79-4P/29'^7 5 4''+is- = 79°5i'i3^7; 0"+- ï/=: 88° tÔ^-o-^oJ

Celte valeur trë^-exacte de Cp donne

Cp -|-j^= 88® 32' 8^'', M-= 1,0002847; .r =: a . 1,0006116; et la liauieur de ralmosplière H B zz a . 0,0006116 =: 2000,7 toises. Après avoif. trouvé /.i et x^ on peut calculer la réfraction g à chaque hauteur apparente 7], par le moyen des éqnalions précédentes,

sin 1^ iz: — cos y\ , sin (4* -hé") ^^ 1^ ^^^^ 4^j ^^ 8^^ (4" -i"^) — A'- Mais en comparrait les réfractions ainsi calculées avec celles qu'on a trouvées immédiatement par observation, on verra que cette hypothèse s'écarte considérablement de la nature, attendu qu'on trouve de, difFérentes valeurs de /x et X, selon les réfractions qu'on prend pour base. Il faut donc recourir à d'aufres hypothèses.

§. 25o. Soit IFîg. 32.) n le centi-e cle la terre, autour duquel on a décrit deux- cercles infiniment proches l'un de l'autre, OF, A M, qui renferment une couche d'air extrêmement mince, et par conséquent d'une densité uniforme. Un rayon de lumière SF, entrant dans cette couche en F, continuerait sa route sui'/ant FHE, prolongation de S F, s'il n'était pas infléchi vers la ligne verticale CF; et cette réfraction est la même que si la lumière était attirée par les couches inférieures perpendiculairement à ces couches, c"est-à-dirç vers le centre de la terre (§. 246. n. 2.). Le rayon a donc une certaine vitesse v suivant F H, étant en même tems sollicité s'ui-, vant F C par une force accélératrice p qui dépend de l'attraction que l'atmosphère exerce sur la lumière: il résultera de ces deux vitesses un mouvement moyen suivant FA, et la route de la lumière par la couche FOAM sera l'élément FA d'une courbe. Le rayon aura en A une autre direction BAG, tangente de la courbe en A; cette direction fei-a avec la précédente en F l'angle GIE, qui est la déviation du rayon dans cette couche, ou la différentielle de la réfraction. En nommant donc k la réfraction totale à cette hauteur,

L I V RE V, G H A P. III. 2t )

on aura GIEitiBk, dont lïntégrale donnera k. Pour cet e/Fèt iî. faut cher* clier une équation entre 3 k et la hauteur de l'étoile en A, ou l'angle BAY (g. 248.); ^^ ïa solution du problème se réduit à déterminer le dernier rapport entre v. et la hauteur 7i,*au moment où le. rayon parvient à l'oeil.

§. 25i. Appelons CA:=:s^ donc MF = 3 5^ et les -perpendiculaires aux directions de la lumière en F et A, ou aux tangentes de la courbe F A, GH=:/, CG=y. Il sera démontré dans l'astronomie physique, qu'une propriété commune à toutes les forces centrales, telles que p qui est coasiamment dirigée vers "G, c'est que, quelle que soit la loi- suivant lacjHelle la force agit, les vitesses sont toujours en raison inverse de ces perpendiculaires y, y.° en nommant donc -v, n)' , les vitesses en F et A, on aura

'V'.'v' :: ./: j; d'où il suit que, dans toute la route d'un rayon de lumière par les airs, î© produit 'ujzz'u'y est une quantité constante, mais diilerente pour chaque} rayon, ensorte qu'elle dépend de la hauteur y\ de l'astre: en nommant dono cette quantité constante n, on aura

{i) . . . . n) y zzin.

L'arc infiniment petit de la trajectoire, Y h.-n.ds ^ est parcouru par la lumière dans le tems 3 L avec la vitesse 'v, d'où* il suit

- (2) , . , ^'ès ZIL 'v'èt.

Ayant mené FN perpendiculaire à la tangente FH, et NQ. parallèle à FH, on peut décomposer la force p dirigée vers FC, en deux forces suivant FN et NQ: la première ne peut aucunement influer sur la vitesse suivant F H, pendant que l'autre tend à l'augmenter. En nommant donc p' la force N Q suivant la tangente, on aura /;://iirF Q:NQ, dono //ziip sin NFQzzp cosCFH.

On peut regarder le triangle élémentaire FM A comme rectiligne, ayant en

M un angle droit, dou il suit cos GFH nu cos MFA=: ■ — iz. , partant

~ p'-tl^.

^ -vàt

En exprimant la force accélératrice // par son rapport à la pesanteur sur la terre, et nommant g l'espace parcouru par les corps graves dans la première «econdej il est connu par les élémens de la dynamique, et il sera démontré

éans l'astroRomie ph/sifjne, q^-e dvziz^gj/dl: on a donc d^jzz: -^ — , ou 'V'dvzz 2g^i;dC;, dont l'intégrale est

(3) v-izz/^gfpds.

§, aSa. L'attraelion àe Yalvaosphhre- p ne peut dépeiidre quef de la densité de FaiT, et du nombre des couches niféiicures , ou de la distance à la terre. En supposant doiic que l'état de l'atmosplière ne claange pas, la tbrce p dépendra seulement de la distance z^ ou p sera fonc'tioii, de zi eil faisant donc p zz. Z,- ©n aura. , . ' .

d'où il suit que la vitesse i? est une fonction de la seule variable ^, et qu'elle ne dépend point de la direction de la lumière, ou de la îiauteur >]: ce q^ui est d'ailteurs évident, parce que le même rajon de lumière peut être rapporté à différens lieiix de la terre, ce qui donnera à v} autant de valeurs diiierentes , sans changer x'^. attendu que le ra^yon ne peut avoir plusieurs vitesses à la fois^. en d'autres mots, y\ dépend du lieu de l'observateur, et il est visible que la vitesse i; en est indépendante. Or puisque chaque rayon de lumière doit traverser toute rsimoepLère, il cs'cn ôuii que, pour chaque raj^on, au moment on il entre dans foeil,, ou plus généralement, quand il est parvenu à la même distance Zy l'intégrale J'p'àz-zz-J2.àz aura la même valeur, ensorte q^ue tous les rayons j quelle que soit leur direction ou la hauteur r(\ auront à égale distance au centre de la terre la même vitesse, La constante qui entre par l'intégration , n'y peut rien changer, vu qu'elle est déterminée par la vitesse originaire, avec laquelle le rayon entre dans l'atmosphère , laquelle ne peut dépendre, de la hauteur t], ou ce qui revient au même,- du lieu de l'observateur,. ei qui est probablement la même pour toutes ies, étoiles: du moins les observations n'ont iait soupçonner jusqu'à présent aucune diiiérence..' Si donc F est le point le plus élevé de l'atmosphère, et A le point de la terr© cù la lumière ei.lre dans l'oeil, supposons le rayon de là terre CAzz:a, la hauteur de ralmosphère MF ma, C F iz: s -j- a zn i/^ la vitesse primitive de la lumière en F =: c', la- vitesse finale avec laquelle la lumière frappç l'oeil en Azizc^ et la dislance apparente au zénit B AV zz: 90* — ?i. Oi* aura donc pour les deux points, F, A,, (^par l'équalion (i) {$. 25i,)^

L I V R E V, C H A P; ïil. 2p

nzzL'vyz-i c' . C. H zr: ùf d sin C F«,

et w zn c . G-G Z3: <2 c « .sin È A V zz: ,3 c -cos v},

ne '

trou il suit sin CFH=r — -, cos v).

cv c

Dans cette équation a et c' .sont c/jnstantes par eUes-mêùies: ci , c^ le sont,

tant que l'élaf de l'alniosphère ne cliange pas. Or comme nous faisons ici

et c abstraction des variations de i'air, -^—-.znm est une quantité constante, d'où

il résulte un C¥ R zz. m cos r^. Or on a "

CEH ou AEI.z=HÏG—BAy — 180' — EÎA— 90"*-|->i, et CEH ou CEFzi: 180^ — CFH — FG V. La comparaison de cqs deux valeurs de CEH donne

CFHzngo^ — Tî-j-EÏA — FCV^ • eii faisant donc Tangle FdVi=:0, et la réfraction totale EIAi=:k, on aura

(4 ^ . . = m cos y\ zn sin (go* — ^ y\ — \<p — k)j, où il faut encore déterminer Tangle (p..

§. 253. La force p, avec laquelle Paùnosplière attire la lumière vers C, dépend de z (§. aaa.)^ mais elle ne peut changer qu'insensiblement, à cause de l'épaisseur inconsidérable de VaTmosplibic. Comme on est donc nécessité d'adopter une lijpothèsé, il est naturel de choisir celle qui esl la plus simple, et en même tems la plus vraisemblable j c'est de supposer constante la force p. En eUêt , le rayon de lumière, en entrant dans Fatmosphère ea F, est attiré par toute sa masse: à mesure qu'il approche des couches inférieures qui sont plus denses, il en est attiré plus fortement, pendant que le nombre des couches supérieures qui le retii'ent en haut, augmente, ensorte que la force p, dépendant de la difiorence entre les attractions des couches inférieures et supérieures, croît et décroît en même tems. Il est donc probable qu'elle ne change qu'insensiblement, dans toute l'étendue de l'atmosphère: la conlparaison des observations avec les réfractions, calculées d'après cette hypothèse, décidera, si elle est juste ou non. En supposant donc la force p constante^ l'intégration de l'équation (3) (§. 26 1,) àonn^vdL: ^o~zz- l\gp z-\-C, I^a constante C doit être déterminée ensorte que v soit zz: c^ lorsque z'z:za. Cela donne Czz:c^ — isP"^ ^''<^'ù i' suit

^5) X'- ziz 4 ^ (j ^5 — a) 4-

276 A s T R Q N 0 M I E S P II E R I Q U E

Soient maintenant F, A, deux points de l'atmosphère infiniment procLes l'un de l'autre: alors CA sera égal à z, et le petit angle ACF est l'élément de langle (^ (§. 252.), AGFirzOcp. Si les tangentes des deux extrémités du petit arc FA se reconirent en ï, et que AL soit parallèle à CF, on aura, ALI=iGFIzi:CFAj parce que l'arc en F coïncide avec sa tangente FI. La force p agissant suivant F G ou LA, et le rayon de lumière ayant la direction FL; LA sera l'espace que le rayon parcourra en vertu de la force -p seule, d'où l'on conclura, par les élémens de la dynamique.

En regardant le petit arc VKz:z.-ds commfe im arc circulaire, décrit du rayon

de courbure^ les tangentes AI, FI, seront égales entre elles, et à la moitié

âe l'arc: on a donc AI ri:: — -ou