OU
, — ig >7 cot 75' — r ? . '
Ainsi nous avons trouTe par uns méthode directe, quoique approximativej
éfant données deux réfractions k, y/, qui conviennent aux hauteurs apparentes
/ — tg y] cot r{ — I
rj-, 72^, l'angîe o:^ à l'aide de Féquation tang — zz "^ / — : d'où
I — tg TQ cot 7] ï
X^ P 00 K^ y^ ÛQ OC
l'on concima iang — i: — tg - z: - tg — ,. rz=. ? cot —, ou k:rz k cot — „ sin 2 7^ ou
Ti k »m /z /iT m tg 7] {g X' zi: tgoQ^ tg :jc', donc /z zz -— r ,. Si la réfraction hoiisontale
e&t connue, on a kzzI, 7^=290*, tang — m^ (12' zz: :^-i r^ tang-zz^^ et sin /z ,^ iz: tg >i' tg a;'. En supposant k^^3â' ^&'y3; et yJ z=z l' io" ,6 a la hauteur V zz 3o'' (§. 254.) , on trouvem log sin n A ziz 8,7 594354 j n k zz. 3° 1 7' 4o'', 4i donc « ou e — 1 zz ,^^ , /•>7~7~ — 0^85 J,i^ t-crn^-ïio oi aosc-uc i ç 0î54.j..
§. 266. La théorie piCcéde^îte, et les deux règles que nous en avons conclues, sont fondées sur la supposition, que la force attractrice ou rétringente de l'air p est constante {^§. ibo.jy ce qui probablement n'est pas rigoureusenleiit vrai. On approcherait peut-être d'avantage de la vérité, en supposant que les^coëtficiens m ou «, au lieu d'être constans, sont fonctions de la hauteur ri, lesquelles me pourront être déterniinées que par des essais. M. Bonne a trouvé parmi grand" nombre d'^observations , qu'on approche beaucoup de -la véiité, en supposant
:i= 3,199.53 -|- 0,03428. sin 73;
En substiti^ant donc la réfraction horisontaie k au lieu de y/\, et y{.z:i 0, l'équa-
lion (10). deviendra .. * *
/î-tan^f 90*— 7)- X zr
tang (00""— '^—^ k) En supposant suivant I^I» Bonne^ Azz32'24'>. ou aurai
taniî
28o A s T E. O N 0 xM I E S P H É R I Q U E
I944'"- ^^^'? \s^o!-}ly" (.5, TQg53},o, 0,3423. sin ^4)1
tang [,]•+ R [5,19953 -H 0,03426. siii 7])]
§. 25-7. Quoique les suppositions que nous avons faites clans l'analyse précédente, que p et — sont des quantités constantes (§. 253.), ne puissent s'écarter beaucoup de la nature; il ne sera pas superflu de faire voir, qu'on peut trouver la théorie des réfractions sans aucune hypothèse (^).
Soit {Fîg. 53.) G le centre de la terre et de toutes les couches d'air, A « la surface de la terre, N n la couche extérieure de l'atmosphère, M^nune autre infiniment peu éloignée de Nn, la route de la lumière la courbe NMA, entrant dans l'oeil en A, et touchée en N, M, A, par les tangentes N/, MT, AD, auxquelles C/, CT, CD, sont perpendiculaires. La vraie, direction avant la réfraction est donc N/, Papparente après la réfraction AD : si donc DAG et Ni se rencontrent en G, la réfraction totale sera DG^z=:x, qui répond à la distance apparente au zénit VAGzzia: dans la couche NM la lumière est infléchie de l'angle '^NTj la différentielle de la réfraction est donc fNT=i:3K. En faisant le demi-diamèlre de la terre CAziri, la distance CMzi:.::, et la perpendiculaire CTzrr, on aura Cri^CT, donc ir^ndy, ™^z=:tZ=^,c-.sL.a-au-e,
. (i)....ax- ^y
En développant le radical, on trouvera
^'^ • • •; ^; - t^l^ + 7 • ^ + ^4 • ^ + ^476 • ï6 + ttt:^^ ' r^ i- ^^S-
Pour intégrer cette équation, il faut exprimer « en fonction de y.
Si l'on imagine l'atmosphère partagée en couches infiniment minces, on peut en regarder, chacune comme uniformément denje, et les plans qui touchent les surfaces sphériques de deux couches consécutives N, M, - comme parallèles. La proposition (§. 24^. n. 7.) est donc applicable à la route entière de la lumière par l'atmosphère NMA: le rapport entre les sinus de l'angle d'incideni;e TMCz:=:(|) dans chaque couche M w, et du dernier angle rompu DACzrv}/, est le même que si la lumière passait immédiatement de la couche Mm dans la dernière couche Aa. Pour une couche donnée M777, et pour le même état de l'atmosphère, le rapport sin (|5 : sin \p : : /i, : i est donc constanîj;
I (l) V^oy. fropriétes de la rouie de la lumière par les airs, par Lambert.
L I V R E V, C H A p. ÎIÎ. 281
«t en faisant abstraction des variations de l'atmosphère,, comme nous faisons toujours ici, lu. dépend uniquement de la liauteur de la couche Mm, c'est-àêii'G >v eat fcnctlon de z seul: en faisant donc |.iziiZ, on a dans chaque couche
sin Cp rz: Z sin ■^.
Soient {Fig. 54-) Nn, Mm, B5, Ac/, des couches infiniment proches Tune ds l'autre, que la lumière traverse en décrivant la ligne brisée NMBA: alors l'MCzzzcp sera l'angle d'incidence dans 'la couche M 772, tBC l'angle d'incidence et ABCzzr^p l'angle rompu dans la couche Bè. Si donc CT, Ct, CD,
CT
sont perpendiculaires aux prolongations de N M, MB, BA, on aura sia(^rz:— — ,
Cf. et CD
sin tB-C ri- -— - . sin B M C =1: , et sin ^ -zi: — , d'où l'on', tire
5in(psin/BG:sinBMCsin >]^ :: CT : CD.
Or Mm étant parallèle à Bb.on a ^BC:=r90°— ?B^~90°— BM/72=:BMC, ou plutôt, ^BG et BMC ne diffèrent que de l'angle infiniment petit BGM; on a donc
sin (p : sin 4; : : C T : CD.
Il est facile de voir, qu'on peut faire le même raisonnement, quel que soit le nombre des couches: d'où l'on coneUu-a la proposition générale pour l'atmosphère, que le sinus de l'angle d'incidence dans chaque couche est au sinus du dernier angle rompu à l'oeil, comme la perpendiculaire à la direction du rayon incident à la perpendiculaire au dernier rayon rompu. En nommant donc cette dernière perpendiculaire (l'ig. 53.) CDzno, CT étant zz:/, on
sin (b y
aura — -^z^Zz^donc a zzz sin a, et
aura ^"-f == Z z= "^ , ou r==:aZ. Mais CDzziCAsinCAD et CAD— VAGzza:
sm y a
y zzzZ sin à.
§. 258. Povir chaque hauteur d'une étoile, a est une quantité constante, d'où l'on conclura 3 j :==: ^ Z sin a, ce qui étant substitué dans l'équation (2)
.(§. ^^'j-\ donne en intégrant,
,„. . rdZ . siu5a/>Z2 9Z , 3sin5a^z4 5Z , 3 • 5 . sin7a /«ZS 3 Z , (J),...nz:isina ' 7 — L____ / — / — ^L.cet.
/r) Z rZ."^ 5 z -^, J —-3— , etc. sont des fonctions de z ou de la hauteur
des couches d'air, dans lesquelles il faut, après l'intégration, égaler 2 à la hauteur entière de l'atmosphère, parce que nous n'examinons pas ici la nature de la courbe que la lumière décrit dans les airs, mais seulement la différence
entre la direction suivant laquelle elle eniie dans l'atmosphère, et ce4le dans laquelle elle frappe l'oeil. Ces intégrales, dépendant donc uniquement do l'état variable de l'atmosphère, dont nous faisons abstraction, devront être regardées comme constantes: ainsi l'équation (3) prendra la formé,
(4) • • . . H HZ A sin a -| B sin- a A — C sin^ a 4- ^1^ D sin? a + cet.
On peut rendre cette série plus convergente, en employant les tangentes a.o
lieu des sinus. Or on a sin a zz -^— iz: tane ai\ -I- tg'^ a) ~ ^ zz
sec a o \ I o /
tang af I — ^, ^g"a-j- -^ Ig'^ét — - ■ ■' tg6a-|-cet.]: l'équation (4) deviendra donc (5)....HzAtanga-|(A-B)tg3a + |(A-2B-i-C}tg5a-^(A-3B + 3C-D)tg'?a+cet.
Si tous les coëfficiens A, B, C, etc. étaient égaux, tous les termes de cette série s'évanouiraient, à l'exception du premier Atang a. Comme fis sont en effet peu différens l'un de l'autre, ainsi qu'on va le voir, cette série est très-convergente, si tang a n'est pas très-grand, ou la hauteur très- petite. En faisant donc
(6) .... H zz: a tang a — b tg^ a.-\-c tg^ a — e tg'^ a -\- cet. les coëfficiens c, ^, etc. diminupnt rapia©iïicntî d'où Ton voir, qu'à des hauteurs considérables (au delà de 4^°, où tga<:^i), les réfractions «ont k tvèspeu près comme leis tangentes des distances zénitales, et qu'à de très-grandes hauteurs, elles changent à peu près comme les hauteurs (§. 235.). En effet, « étant petit, on peut, sans erreur sensible^ supposer deux réfractions consécutives Kzzatga et x/zzatga'', d'oîi il suit k — K'zz<2(tga — tga')^ mais il es!
aisé de voir par les tables trigonométriques , ou par la formule différeniielîe 9 a.
5 . tg a ::z: — —^ que si les angles sont petits, la différence des tangentes
est à très-peu près proportionnelle à celle des angles^ d'où Ton tire k-^h'::^
6 (a— a'). On pourra donc déterminer les coëtficiens a, h^ etc. de la manière suivante.
§. aSg. En prenant azz45^, on peut, en négligeant îe^ termes suivans, iiupposer îi zz: ti tg Ci zz «: la réfraction y. à la hauteur de 4^*^ (§• 241.) donnera donc à très-peu près le premier coefficient a. Si a est plus grand que- 4o**j les puissances tg^a, ^g^a, etc. au-gm-enteni de piu§ en plus: ii faut donc calculer d'autant plus de ternies de la série (6), que la hauteur est plus petite. En ne conservant que les deux premiers termes pour ezzôe**, on aura «^«iangôo* — ^ tg^6o°: ©r a étant déjà connu, la réfraetio» v à la ka*-
