Q0®— a?-|-cp, et 3. Sin ^rz

' ^ ^ ' cos 7)

VII. Connaissant la hauteur,, l'angle horaire^ et l'azimut de l'astre:

5. cos 5'zz: " ^■,^" ""; après quoi on trouvera 2. p, et 3. ^, comme ci-dessus (VL),

sin y . '

§. 35. La première forme des équations précédentes , quoique peu commode pour l'usage des logarithmes^ fournit un grand nombre de proposition très-importantes par rapport au mouvement diurne. Il suit de I. i. que^ le lieu de l'observateur et l'astre restant les mêmes, 7\ devient plus grand ^ à mesure que 7 devient moins grand, La hauteur y) parvient à son maximum, lorsque l'angle horaire 7 s'év^anouit, c'est-à-dire que l'astre passe par le méridien: c'est par cette raison qu'on dit qu'alors l'astre culmme. Le sinus de la hauteur au méridien est sin p sin ô" -\- cos p cos ô" zz: cos (p • — ô), donc la hauteur elle-même LH zz; 90 =• — (p — .6) et ZL zz: p — < h\ Si ô' est plus grand que p, ZL devient négatif, c'est-à-dire, le point culminant L tombe entre le zénit et e pôle. La hauteur parvient à son minimum^ lorsque 7 est égal à 180°, ou dans la partie septentrionale du méridien. Alors on a sin r\ "zz. sin p sin ô •— co«pcosôzz: — cos(p-i-ô'), ou 90'^ — (p -Hô) zz-— y)j le signe négatif indique

44 ASTRONOMIE SPHÉHIQtJE

rabaissement sons IToàson, RE^rgo* — ([3 + ôV II en suit que RE devient iiégaàf, ou que l'abaissement se convertit en élévation, c'esl-à-diie que l'aslie ne se couche point, si p -f ô' est plus grand que 9 **, ou ô' plus grand que 90** — p, c'est-à-dire QE plus grand que Q H. De la même manière on voit qu'une étoile ne se lave jamais, si LH devient négatif, c'est-à-dire, si (3 — ô' est plus grand que 90*, ou p plus grand que 90* -h ô". Or (3 ne pouvant être plus grand que 90% il faut que ô" soit négatif, c'est-à-dire, la déclinaison ô' sera australe ou boréale, selon que la latitude du tieu (3 est boréale ou australe (§. 34.). Dans ce cas, on a donc également (3-4-ô>9o% ou 6:> 9.''' — (3, c'est-à-dire, il faut que L tombe au dessous de A, et que A L soit plus grand que A H.

Lorsque Fastre est dans le cercle horaire qui passe pai le point d'Est ou d'Cu^st, on a 7 z:: 90°, et sin y\ 1= sin /Ssin ô : donc, l'astre étant dans l'équa- 'teur même, ô" et >] sont égaui à zéro, et l'astre est dans Thorisûn, quelle que soit la, latitude du lieu.

§. 36. L'équation L i. nous- apprend encore, que 7 = -I- c et 7 = — e donnent la même valeur de n, parceque les angles négatifs ont les mêmes cosinus que les angles positifs. Les angles horaires étant donc égaux des deux côtés du méridien, l'étoile a la même hauteur, et réciproquement, les hauteurs étant égales des deux côtés du méridien, les angles horaires le sont v aussi- ce qui est encore plus évident par l'équation IIL i. Cela doit encore avoir lieu, lorsque >îi=:o, ce qui veut dire que la partie d'un parallèle EL, qui est élevée sur l'horison , ou l'arc diurne de chaque étoile est coupé par le méridien en deux arcs égaux; ce qui doit être également vrai de f autre •partie qui est abaissée sous Thorison , ou de l'arc noctunw , parceque le -méridien coupe perpendiculairement tous les parallèles en deux parties égales..-X]ela donne un moyen fort aisé d'examiner^ si la vitesse des astres est la même d'un côté du méridien que de l'autre, ou bien si le mouvement diurne est uniforme. On observera plusieurs hauteurs égales du même astre, à l'orient et à l'occident du méridien, et Ton notera exactement le tems de ces observations. S'il se trouve que le tems écoulé entre deux hauteurs quelconques, .du côté oriental » est constaHiment %al au tçûis écoulé entre les hauteurs

correspondantes du côté occidental^ il est clair que Tasti-e a toujours parcouru des angles horaires égaux en. tems égaux, ou que le mouvement autour du. pôle est uniformex car, les angles horaires étant égaux, quand les hauteurssont égales, il faut que leurs différences le soient aussi. Eu faisant un grand nombre de pareilles observations, sur plusieurs étoiles dans toutes les parties du ciel, on se convaincra parfaitement de l'uniformité du mouvement diurne autour des pôles, que le premier coup d'oeil et la machine parallatique nous avait déjà fait entrevoir (§. 18,). ^

§. 3^. La hauteur du poîe et la déclinaison d\m astre étant connues^ l'équation III. 1 . nous fournira encore un. autre moyen de prouver Tuniformité du mouvement diurne. Chaque hauteur observée ti donnera alors^ à l'aide de cette équation, l'angle horaire 7. Ayant donc observé deux fois de suite la même hauteur d'un astre du même côté du méridien, fintervalle donnera le tems d'une révolution entière T, qui sera à peu près de 24 heures. Supposons qu'on ait observé de cette manière plusieurs autres hauteurs avec ieurs intervalles, et que ti, ti', V"^, soient les hauteurs observées, 7, 7', T'^'^, les angles horaires que l'oa en a conclus au moyen de féquàtion III. i , et r, t', les tems écoulés entre les hauteurs 75, y{, et y\, 'r{^ : cela posé le mouvement sera unifonne;, si cette proportion a lieu, 7' — 7: 7^-^ — 7: "iOtot^w-r: t^:T. X.es observations innombrables que les astronomes font chaque jour depuis si longtems, se fondent sur cette proportion: en conséquence^ elles prouvent de la manière la plus satisfaisante, non-seulement l'uniformité du mouvement diurne, mais aussi ce qui fait la base de nos formules trigonométriques^ et ce qui a été prouvé (§, 16.) par une observation bien simple avec la machine parallatique , savoir que le mouvement diurne de tous les astres se fait dans des cercles parallèles autour d'un axe commun passant par le centre de la terre.

%. 38. Pour qu'une observation de hauteur donne un résultat plus sur et plus exact, il faut la choisir ensprte qu\ine faute commise dans l' observation ne produise qu'une erreur insensible relativement à l'angle horaire que fou en a coucla pur le calcul , c'est-à-dire que la valeur du rapport diiTé-

p ASTRONOMIE SPHÉRIQUE

xentiel -— soit un minimum , ou — un maximum. En différentiant à cet effet Tëguation L i. on aura

d y\ ces V) zz — 3 7 sin 7 ces p cos 5". "En y suÎDstituant cos y\ sin ^ au lieu de cos p sin 7, en vertu de l'équatioit IV. I, onaurayT^zz: — COS ôsin^. Il faut donc que sin ^ soit égal à l'unité ou au moins un maximum. En différentiant donc l'équation III. 3. par rapport à ^ et t), il viendra

<• -. , 5?) ( sin 3 sin Vl ■ — sin 5'")

cos 0 cos^ "^

J1 ^ M 'L ^ • ^^^^ .ri,, , ,

a ou 11 suit que — r- — est égal a zéro, ou que cos ^ est un mmimum , et

«^>.j^«,„+ • f ' 1 • sin 5" , , <9^.cos<f

jjaitant sin ^ un maximum, lorsque sin vi rz: -, parce qu alors — -^ prend

sin p ^ ^ à y\^ ^

la valeur de r , qui est toujours positive. Si l'on substitue la valeur

cos 0 cos '/\

sin 7] zz - — - dans les équations III. i. 2, elles donneront cos 7 zz ^"^ ,

sin p ^ ' tang p

et cos a zz o, donc azi^tgo^* H en insulte la règle générale, qu'il faut laire les observations aussi près que possible du cercle vertical qui passe par les points d'Est et d'Ouest 3 mais il faut distinguer les cas suivans.

1) Quand l'astre est dans l'équaieur même, ou du côté austral,, il faudrait l'observer, suivant la règle générale, au moment qu'il se lève ou qu'il se couche. Mais comme, par d'autres raisons^ les observations près de l'horison sont peu sures , il faut choisir des étoiles dont les déclinaisons sont du même côté de l'équateur que le lieu de l'observateur.

o^ . cos <^ f ** Ô*

2) Pour un lieu sous l'équateur on a Szzo, donc — ^ zz — ■ ,

ce qui ne peut jamais devenir égal à zéro, à moins qu'il ne soit en même tems ô'zzo. Dans ce cas il vient -—^ iz: ^- , et (I. i.) sin7)zzcos7;

^7 cos ?] \ /

donc -cos 7) zz sin 7, et ^-^ zz — i: ce qui veut dire que la hauteur croît dans le même rapport que l'angle horaire décroît. Il est donc indifférent, quelle hauteur on choisisse; ainsi les hauteurs près de l'horison étant peu sûres, on fera bien d'observer les astres ^ voisins de l'équateur, à une hauteur considérable.