CHAPITRE V

Détermination de la hauteur du pôle, T

§. 4B. J-Je lieu apparent des astres, leur lever et coucher, la situation des principaux cercles de la sphère , et tous les differens phénomènes liés avec le mouvement diurne , dépendent de la liuuleur du pôle ou de la latitude d'un lieu; et il n'y a presque aucune observation astronomique, dont elle ne soit la base. C'est donc un des premiers élémens , que F astronome doit déterminer avec le ^plus grand soin. La solution théorique de ce problème important est -bien ;^mplc; mais dans la pratique, il y a tant de difficultés qui s'opposent à une parfaite précision, que l'on ne peut approcher de la vérité que par des observations continuées pendant longtems. Il suffira ici^ de prouver la possibilité de trouver exactement la hauteur du pôle, et d'expliquer les mélliodes qui donnent, dans la pratique, la plus grande précision; c'est à l'astronomie pratique, à montrer les manières de procéder et les mesures de précaution à prendre. On peut diviser toutes ces méthodes en deux classes , dont l'une renferme celles qui donnent la hauteur du pôle immédiatement par le moyen d'observations faites au méridien , et qui par conséquent supposent que la ligne n:.éridienne est déterminée; l'autre contient les méthodes qui font trouver cet élémient médiatement par le calcul d'observations faites hors du méridien. L'une et fautre de ces classes aura encore plusieurs subdivisions, suivant les éiémens qui y sont supposés connus. La méthode la plus parfaite est sans doute celle, où l'on fait le moins de suppositions, où f objet immédiat de l'observation est choisi tel qu'il soit sujet à moir:S de difficultés et d'erreurs, où enfin les observations peuvent faciienxcnt êire iiautip liées , ensorte que le milieu d'un grand nombre donne

une précision suffisante. Il paraît que toutes ces conditions sont remplies par la méthode qui terminera ce chapitre (§. 56.).

§. 49- I^a méthode suivante est la plus simple, la plus usi+ce, et la plus ancienne. Ayant observé une étoile qui ne se couche pas , dans les deux parties opposées du méridien , on connaît sa plus grande , et sa plui petite hauteur {Fig. 7.) AR=a etLRzr^. Mais flTiiPR-|-APzi:p-|-(9o^ — S"),

et ôzzPR — PL = (3 — (90* — ô) donc ^-^ = P , et ^^ rz: 90' — i\ ou

la hauteur du pôle est la demi-somme des deux hauteurs , et la déclinaison de l'astre est 90 degrés moins la demi - différence des deux hauteurs. Ainsi on aura la hauteur du pôle et la déclinaison, affectées des erreurs du quari- <ie-cercle , et de celles qui dépendent des réfractions. Pour diminuer les dernières autant que possible, on peut observer des étoiles très-proches du pôle, comme l'étoile polaire, afin que les deux hauteurs A R, L R, scient à peu près égales. Au reste , on n'a pas besoin de connaître exactement le méridien , parce qu'il ne s'agit pas ici du tems du passage, mais de la hauteur qui ne change qu'insensiblement près du méridien (§. 43.). Cette méthode a l'avantage, que rien n'y est supposé, ni le plan du méridien, ni la déclinaison, ni l'instant de l'observation, et qu'elle donne en même tems la déclinaison de l'étoile. Elle est peut-être la meilleure de toutes, mais elle demande des corrections qui seront expliquées ci-après.

§. 5o. Comme il faut chercher à multiplier les observations autant

que possible, pour en prendre le milieu , on peut observer la même étoile

plusieurs fois vers sa plus grande digression du méridien en M. Si sa hauteur a été observée dans la plus grande digression même , on connaît sa distance au zénit Z M nz N, d'où l'on conclura dans le triangle rectangle en M, cos ZPzzicos ZMcos PM, ou sin (3 m cos N sin ô". Il faut donc connaître bien exactement la déclinaison de l'étoile ô", et l'instant de sa plus grande digression, ce qui est à très-peu près six heures avant et après sa culmina tion. Cela ne donne qu'une seule observation , d'autant moins sure, que la moindre erreur relativement au tems de la digression a une grande influence sur la hauteur, parceque l'astre «e meut dans le vertical ZM qui touche

58 ASTRONOMIE SP H ÉRIQUE

le parallèle A ML en M. Mais on peut multiplier ces observations de la manière suivante. Supposons qu'on ait observé la hauteur de l'étoile^ ou la dislance au zéiiit ZBzi:N^, dans un point B peu éloigné de la plus grande digression M. Le plus grand azimut de l'étoile donne l'angle PZM,<d'où l'on conclut

sinZPMzi; """'^^-^i ''"'^^ — . On connaît donc l'angle ZPMmP, et le

cos P M sin ô

tems de la culmination en A^ comparé avec celui de l'observation en B, donne l'angle ZPB, d'où l'on tire l'angle MPB=:P— ZPBzzio. Il s'agit maintenant de trouver la distance au zénit dans la digression même ZM=zN, à l'aide des observations près de la digression, dont chacune donne ZB=zN'. Pour cet efFêt cherchons ce qu'il faut ajouter à N'pour avoir N, ou .xiziN — N". Les triangles Z P M et Z P B donnent les équations :

cosN = cosZPcosPM-|-cosZPMsinZPsinPM, ^

cos N'=i cos Z P cos P B -|- cos ZP B sin ZP sin P B j d'où Ton tire, attendu que PBzPM = 9o°-ô\ ZPMzP, ZPB=P-^a, et ZPrgo^-i?, (i) * . . . cos N' — cos N m cos (3 cos ô' j cos (P — a) -— cos P >,

On sait qu'en général cos cp— cosxp est égal a a sin . sm . La

substituant cela dans les deux membres de l'équation (i), on trouvera

N ) sm — r= cos (3 . cos ô' . sm ^ P j . sin — .

Le triangle rectangle en M fournit les équations, sin N :=i cos (3 sin P, et

cet N =z ^"^ ^ . En substituant ces valeurs dans l'équation (2), après l'avoir cos ô^

divisée par sin N, pour en éliminer (3, il viendra

sin — f cos r sm -^) =: cos S sin — (cos -- -=" cot P sm - î .

a \ 2 cos 0 2' 2 \ 2 2

Si l'on fait pour abréger, r ,=z:a,et cos 6sm - (cos • cot P sin-J à,

cette équation deviendra: sin- (cos ^-asin -)-b, c'est-à-dire, sin a;-a(i-cosx)Z2è,

En exprimant les sinus et cosinus par les arcs, et négligeant les quatrièmes puis-

sances, on aura sin 0;=:^ - y et cos :» == i — ^ , ce qui étant substitué

dans la dernière équation, lui donnera la forme

Supposons maintenant je^Ab-\-Bb''-{-Cb^ + cet. alors réguatiou (3) donn^Va 4-A3 4- Bà^ 4- Gi3 ^ — 2Ô — -A^Â^— ûABi3 V — 9.

La comparaison des coefficients de chaque puissance de ù, donnera

viendra

A^2,B=z~A^—2a, G==:A(aB+-^) =:4(«" + i), d'où il

Maintenant il faut se rappeler que 2Ô :^ cos ô' (sin a — cot P -]- cot P cos a) m a cos 6' (i — - cot P — ?) , d'où Ton tire ^^ = ^ cos^ô' . (i — a cot P),

et è3 zz — cos^ ô'5 ce qui étant substitué dans l'équation (4)^, donnera

icn:a cos ô' $ i — - cot P + ^a cos ô' — — a cot P cos ô'4- ^cos^ô" + — «^ cos" o > ;

Mais on a cot P := a cos ô', ce qui transforme la dernière équation en

(5) . . . . a; zz a cos ô (1 — ~ sin^ ô ),

Comme nous avons mis les arcs a au lieu des sinus, il est clair que a, et par conséquent aussi x^ sera exprimé en parties du rayon. Si l'on demande X en secondes , il faut également exprimer a en secondes, dans le premier terme du dernier membre ; mais alors a, dans le second terme, sera converti en parties du rayon, par la proportion, 1'': a : : sin i'': a sin i''^ et l'on aura ^

rc m a cos ô' < I — — (sin 1'^)^ sin^ 6' > ,

Il feut encore observer que, si l'observation en B est plus éloignée du zénif que M, ou que le tems entre la culmination en A et l'observation en B est de plus de six heures, a sera négalif, et x de même. Dans un pareil cas on aura donc ZM ou N zz N'— «a;, mais dans le cas que la figure représente, il

est Nr^N'-j-a-. Après avoir trouvé N, on a cos Z Prz cosN cos PM, ou sin (3 ZZL cos N sin 6\ (*)

§. 5i. La méthode suivante^ qui suppose la déclinaison ô' exactement connue,, n'est pas moins simple. Ayant observé {Fig. S.) la plus grande hauteur d'une étoile dans l'instant de sa culmination, LH = «, on aura AH ou 90® — (3 =: a — ôV donc p == 90° — a -\- ô\ Si l'un des angles p, ô\ est boréal, l'autre austral , ôr devient négatif, et p zz: 90^ — a — ô'. Les erreurs du secteur et les réfractions ont ici la même influence que dans les méthodes précédentes,. Comme à présent la déclinaison de beaucoup d'étoiles est bien exactement connue ,, on peut observer dans une seule nuit plusieurs étoiles, tandis que suivant la première méthode on est borné à celles qui se font voir deux fois dans le méridien. Au reste, le changem^ent de la hauteur des astres étant très -lent près du méridien, il est clair quS;,. quand même on se tromperait un peu sur le méridien ou sur le tems de la culmination, cela ne produirait pas une grande erreur dans le résultat. Gependunt il serait à désirer qu'on pût observer la culmination d'un astre plusieurs fois dans le même jour , pour réduire les erreurs à fort peu de chose ^ en prenant le milieu de toutes ces observations. C'est ce que l'on peut eflectuer par la méthode des hauteurs circomméridiennes , une des plus usitées, surtout lorsqu'on observe avec un sextant à réflexion. Elle va être expliquée dans le §. suivant.

§. 52. Cette méthode suppose que la hauteur du pôle, qu'elle est destinée à corriger^ est à peu près connue, et que le tems de la culmination est exactement déterminé. Elle consiste à prendre d'une étoile ou du soleil, autant de hauteurs qu'on peut dans l'intervalle de dix minutes avant et après la culminationy et à observer le tems de chacune. Ce tems, comparé avec celui de la culmination^ donne l'angle horaire j et il est clair que chaque hauteur sera plus petite que la hauteur méridienne^ de quelques secondes ou minutes. Il s'agit donc de trouver cette ditférence. Soit {^Fig. 8.) SVznY) une des hauteurs observées, l'angle horaire APS izi: 7, la déclinaison de l'astre TS ou AL=6', et la hauteur du pôle connue à peu près, PRnrp;

(*} Voy. ^str, théer, tt prat. par M^ Belamhre, J'tune 111. p. 58Ô el suie.

qu'enfin les tems de la pendule, dans l'instant de l'observationj et dans celui de la culmination le même jour et le jour suivant , soient désignés par T, t, 1!: alors on aura 7 zz it — — 36o** en degrés, ou 7=±:27r — — en parties du rayon, tt étant le nombre 3,i4i59 . . . . qui exprime le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre. On a donc (I. i. %. 34-)

(A) sin Tj zz: sin p sin ô -f- cos (3 cos §" cos 7. A mesure que Fastre approche du méridien, l'angle horaire décroît, pendant que la hauteur augmente; en nommant donc A 7, Aii, ces changemens , il

viendra

sin (vi -|- ^ >l) =^ sin p sin 0 -}- cos ^ cos 5" cos (7 — A 7),

Dans l'instant où l'astre passe par le méridien, l'angle horaire 7 — A 7 devient nul, ou son décroissement A 7 est égal à 7: on a donc sin {r\-\-ù^y\)

zz sin p sin ô~ -|- cos (3 cos ô'. Comme A 7) n'est jamais plus grand que a' ou

que 0,00063 on peut, sans erreur sensible, négliger la troisième puissance de Ayy, d'où il viendra sin A >î zz A y» et cosAtjhzi — \ i^y\^'y doncsin 7)-j-A>)cos>] — ^ At]^ sin 7j z=: sin p sin 5' -j- cos (3 cos ô\ Si l'on en retranche l'équation (A), il restera

Atjcosv] — I A>i^siniiz=cos(3cos5"(i — *cos7)z=:2 cos(3cosô"(sin * 7)% ou

- , 4- cos S cos Ô , . ,0

ozziAyj^ — 2 A 7j cot yj -1-^î^ ~ (5ini7r.

' sin YJ ^ '

La solution de cette équation du second degré donnera

(B) A 7î =z cot n — y [col^^ 71 — 3 ^- (sm ' 7)^7.

sm yj ^ ^ / -j Comme ^7 n'est jamais plus grand que i* \b' , la cinquième puissance

en pourra être négligée sans erreur sensible, ee qui donne sini7zr^7 »

et (sin \ 7) zzl — . En substituant cela dans l'équation (B), on aura

Avjzr cotvi — Y cot^T) — . -— Ti ) ] .

^ sin TJ ^ 12 /-*

Le radical , étant développé suivant le théorème binomial y deviendra =:

^ 72 cos [3 cos 5" , 72v 74C032 GcOS^Ô' 7^ COS S COS 4'

cot >) — ^ . ■ (I ) — ' . = — t: =: cot >i ^

co\-r\%\xyy\ \ 12/ * eol-^ -4 sin=* yj, acosy)

"V^COS^ COS Ô" / 3 cos p COS Ô'

+ / T eus p cos 0 / o cos p cos 0\ — / 1 [1 j 24cosy] V cotrjcosy)/

En faisant, pour abréger, — ^ zz N, on aura Atiz -7^ • 7^ (i-SNtgviV

cos yj 2 34-

A y) et 7 étant exprimés en parties du rayon. Pour exprimer A>i en secondes , il faut multiplier la dernière formule par ■ . Nommant

donc if' — ^zi:T, et^— -tzzê), on aura ^iz:— tt, et Ati en secondes nr

1296000»— .7rN( I — ;^, — 4- — TT^Ntg 7]|. Si ia pendule a été Teglée sur

le tems sidéral, ou le tems solaire, selon qu'on observe une étoile ou le soleil, ce qui est toujours le cas à peu près, on a T =: 24 heures zz i^^o min.

lixprimant donc également C en minutes , on trouvera i^^-"— zz: 1^ , et

A>i = I TT N ô^ ( T -. -^ 1 r^^^) secondes, ou

^rj" 1, 9634954. Nô^ (j — 0,00000l58655.ô'' -t- 0300000475905.6" ISi Ig rj)^ecoiiae3.

Cette série est si convergente, $ n'étant jamais plus grand que 10, que 1« premier terme est presque toujours suffisant, ce qui donne

Avj— 1,9634954 . ô^ — Jl—.— .

On peut mettre an lieu de rj le milieu de toutes les hauteurs observées, et

faire cos (3 zz: sin (ji' — è) , r^^ étant la plus grande de toutes les hauteurs.

, /-.T. » K / cos 3 cos ô' T.T 1

Alors I , qoo4q54 . — ■ zz M aura une valeur constante pour toutes les

hauteurs du même jour, et il viendra AtozzMô^. Mais il faut encore faire une remarque. Si Ton observe le soleil, ô' est la déclinaison que cet astre a dans l'instant où il passe par le méridien du lieu de l'observateur: on la trouve à l'aide des éphémérides astronomiques, connaissant à peu près la longitude du lieu. Mais , la déclinaison du soleil changeant continuellement, il n'a pas eu la même déclinaison ô" dans toutes les observations, ni la même hauteur qu'il aurait eue, si sa déclinaison n'avait pas changé. Si la déclinaison augmente, la hauteur méridienne sera plus grande que la hauteur observée avant midi, non -seulement de la correction Atj que nous venons

de trouver, maïs encore de la quantité dont sa déclinaison s'est accrue depuis l'observation jusqu'à la eulmination : pour les observation» faites après îa eulmination, c'est le contraire. Si la déclinaison du soleil va en décroissant, il faut ôter cette correction des observations faites avant la eulmination, et l'ajouter à celles qui ont été faites après midi. Les éphémér ides donnent la variation de la déclinaison en 24 heures, que je désignerai par A, d'où l'on

conclut celle pour le tems ô avant la eulmination zi= — -^ z=: -—- . Pour les ^ 24" i44"

cbservations après la eulmination, ê devient négatif, et A est négatif, lorsque la déclinaison diminue. La correction entière de la hauteur sera donc

An=: 1,9634954 . ô^ — 1- \- -~- zi: M ô^ + —7- .

Ainsi il faut multiplier la valeur â de chaque observation par M 0 -r ~r^ s

et ajouter cette correction à la hauteur , à laquelle 5 appartient. Le milieu de toutes ces valeurs donnera la hauteur méridienne L H zi: «> d'où l'on tirera |3 zn 90'=' — a -\~^.

§. 53. Toutes ces méthodes, à l'exception de la première, supposent îa déclinaison connue. Mais ce n'est pas un grand inconvénient, parceque celle du soleil et de beaucoup d'étoiles est bien déterminée. Cependant il ne sera pas superflu, de proposer encore une méthode, à la vérité peu com- 3miode pour la pratique , qui donne la hauteur du pôle et la déclinaison à la fois. Après avoir trouvé, par le moyen d'une bonne pendule, le tems T d'une révolution du ciel étoile, on observera la hauteur vj d'une étoile dans un cercle vertical quelconque, on fixera verticalement deux fils dans le plan du quart-de-cercle, et l'on observera le tems de la eulmination de la même étoile. L'intervalle de tems entre les deux observations, /, donnera l'angle

horaire 7 zi: — 36o°, et l'angle formé par le plan des deux fils et celui du

méridien , est l'azimut a. Connaissant donc v), 7, «, on trouvera la déclinaison et la hauteur du pôle, par les équations VII. i. 2. (§. 34-). Cette méthode, qui ne suppose qu'une bonne pendule et la méridienne exactement tracée, aurait de grands avantages, si l'on pouvait s'assurer de l'angle azimu-

tal , parceque, toutes les étoiles y étant également convenables , on pourrait multiplier les observations autant qu'on voudrait.

§. 54. Chaque méthode qui déduit immédiatement la latitude des hauteurs mêmes, suppose un secteur bien exact et d'un grand rayon, et demande une vérification pénible des instrumenst c'était au moins le cas autrefois, d'où il résultait que ces méthodes n'étaient pas praticables pour des observateurs voyageurs. L'année 1769, si fameuse par un grand nombre de voyages astronomiques, donna lieu aux astronomes , de chercher des méthodes qui seraient à l'abri de l'influence des erreurs des instrumens et des réfractions. Il ne sera pas inutile d'exposer au moins une de ces méthodes, qui paraît préférable aux autres.

La hauteur du pôle étant toujours connue à peu près, il est aisé de trouver deux étoiles dont les déclinaisons sont telles que, l'une culminant dans la partie méridionale du méridien en L {Fig. 8.), l'autre culminera dans la partie septentrionale en F à peu près à la même hauteur, en sorte qu'après avoir observé la première étoile au centre de la lunette, on verra l'autre aussi dans le champ de la lunette, fixée dans cette élévation. On amènera donc cette étoile au centre même ^ par le moyen d'un micromètre j et de cette manièi'e on connaîtra la différence des deux hauteurs , sans connaître les hauteurs mêmes. Il est aisé de voir que , la lunette ou le fil - à - plomb indiquant dans les deux observations le même degré du limbe , les erreurs du quart-de-cercle et les réfractions y auront la même influence. Nommant donc les hauteurs LHiUff, FRzi:^, on connaîtra bien exactement b — azud^ et les hauteurs mêmes donneront à très -peu -près LF=i8o* — (« -|- Z>) zi: c. Les déclinaisons boréales des deux étoiles étant ALuzô, AFzi:£, la véritable distance LF sera z — ô'z^c'j et s'il se trouve une différence c' — czne^ cela ne peut être que l'effet de toutes les erreurs de l'instrument et des réfractions. Si c est moins grand- que c', les observations ont trop rapproché les étoiles, et comme les erreurs affectent également les deux hauteurs à peu

près égales, chaque hauteur observée est trop grande de zzl — . On aura

donc les véritables hauteurs ci ziLa , et ^'z^zè-— — , d'où l'on conclut

la hauteur du pôle p = FR — FP=:^' — (90° — s) = ^ — "—^ — 90** -h «p