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per T angîe horaire (p , F élévation du polc Ci, et la décUnaîson h\ SoiL (/%. 12.) Z le zénit^ P le pôle, A, B, C,les trois observations 5 les hauteurs donneront les arcs ZA zn 90° —w, ZB -zz. 90° — b, ZC =1 90° — c; les intervalles donneront les angles APBi=a, A P C == ?; et l'on cherche PZ =zx.= 90° — (3, p Azz PB:=: PC =: j = 90° — 5\ et ZPA=:(p. Faisant donc, pour abréger, cos X cos y =:yr? = sin p sin 5', sin a: sin 7 =1 (7 = cos (3 cos 3', les triangles APZ, BPZ^ CPZ, fourniront les trois équations suivantes:

L sin a^ p-\-q cos (^, II. sin ô Zip ^^f cos (^(p + a), IILsincr:p+^cos((î) + 7), d'où Fou tire

sin a—'&mhzziq (cos (p — cOs Cp cos a + sin Cp sin a),

sin a — sin c =z 9- (cos Cp — cos (p cos 7 -|- sin (î) sin 7)j donc

sin a ■ — ■ sin 6 i — cos a-f-sin atang (h t, \ -i -u

:::3 L d' ou il suit

sin a — sine i .^ — cos'V 4'SinT tang (p

(i — cos 7) (sin a — sin b) — (i— cos a") (sin a — sine")

tang (p = ^ : — '-^ ■ — ^ — ^-— . .. •

° ^ sina^^sina — sin c)t— sin y (sm a — sino)

L'angle horaire étant ainsi trouvé, on connaît en même tems cp-h ce et Cp-j-'V,

ce qui donne g zi: — ''" ^ "~~ "" -, et » zn sin a — » cos (p, d'où il viendra

^ ^ cos CD -cos (4)4- «1

n (3-1- 5) H- (p — ^) 7 — p =r COS ((3 -4- ô") , et r/ 4- p zz cos ((3 — 5) , enfin (3=:^ , et

{■ zn U ^^ ' -tP— ) ^ Comme p et ô' peuvent être permutées dans ces formules;, le problème est en quelque façon indéterminé: car on peut toujours satisfaire aux trois observations, par deux hauteurs du pôle, en changeant à proportion la déclinaison. Mais le plus souvent la hauteur du pôle et la déclinaison sont si diiTérenfès l'une de l'autre, qu'il n'est pas possible de prendre l'une pour l'autre.

Pour rendre ces formules plus propres au calcul logarithmique , on peut faire les opérations- suivantes. On calculera les angles y^ w, e, ^, n, ^t, v^ par ces formules;

a-hb . a -b .7 cos . sin — — . sin --

(A) tang ^ zz ^^ -^^ 1 , (B)taiig w zz tang -=^ tang (45*-+- H').

cos . sin . sin -

a-hb . a — cos . sin

^ sin — . sm f oj —

(E) cos V, = 2 cos ^:^ . sin ^^i , (F) cos ,.=2 sin ^:t!, sin ^LTTJ

{b-j cos V = 2 cos . COS ;

après quoi on aura

(H) $ = .1±5, (I) p ^ t±l, (K) 0— tr^.

En effet, on sait qu'en général sin m -.in «=2 cos^^li .sin 2^-^, cos«-co»«

. ■ Il 'i* VI . 77 7JJ

. — 2 sin ■ — . — . sin - I T ^^^ ■ r • 1 \z • .m vt

2 ^ — » I — cos 77Z zi: 2 (sin ^ ^t?)-^, sin mzzz 2 sin — . cos — ,

En faisant ces substitutions dans les équations précédentes, on trouvera

cos -— ,sin (s,n 1 7f — cos — ^.sin • (sin ^ af

tang cp zi:

a-i-c.c — c . a a CrHè a — 6.7

COS .sin .sm— .cos cos — ■ — .sin .sin—. cos

ou divisant par cos ~^ . sin ^--^ . sin - , et substituant (A) ,

tgvp.sm sin —

tansf d) zz:

COS tgvp.COS —

d'où l'on tire

/ 7+aN tgv};.sm--sin-.-|-cos-.tg-^---{gv|/.cos-.tg— -

tang (et) 4- — ^- ) — ■ —^ ± ^

cos tgy.cos ^tgvp .sin — .tg — ; — -f-sin-.ts; — ; —

/.7 7-f-a 7 . y~ha\ . a .7-+a .-a 7-fa

tg y sin — . cos — ; cos — . sm ■ — -— M- cos — . sm — sin — . cos — 7—

cos — . cos — ; [- sin -- . sin — ; tg \V ( cos — . cos — -, h sm — . sm — -— 1

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tgv}..sm— — t-sm— - ^^^ ^

- -^r=i ■ T=^- ^s -r ' r-Tg^; - *^"§ ^ ^^)- ^^ ^ ^onc

COS 7— — tg \}^ . COS

(t)J -^iiroj, ou(p=:cj— — ; — , ce qui donne la formule (H). Ensuite

. a—b . sm • — —

sin ( (T) 4-

'a \ . a — • sm —

sin a — sin 6 ,

on a 0 =: ;r nr- — r =^ ; ~; :=cos £ (L), d ou Ton trouve

" COS Cp — cos^cpH-a) ^ f \ ri ^ '^

la hauteur du pôle, cos 3 = r , la dechnaison étant connue. Mais si celle-

ci est aussi inconnue , on a ;:> zz sin a — cos e cos cp in sin a — sin ^ (D) zr: 2 COS ^.sm zz: cos vt fil,): donc û' — »zz:cose — cosvizziasm .sin zz:

cos|a(F), et 9- -hpzrcos £ 4- cos V] zz 2 cos .cos zrcos2^(G). On a

donc ^ — p*^ cos ((3 -f- ^j^^cos iu; , et ^ -H p zi: cos ((3 — 6) zz: cos 2^ , d'où il suit 3z= et ô zz: , ou 0 iz: et Szz: , ce qui donne les

^formules (I) (K).

- §. 59. Toutes les méthodes précédentes supposent les hauteurs elles- Kiêmes connues , et partant ne donnent que la déclinaison apparente^ ou altérée par la réfraction i les corrections y relatives seront exposées dans la suite. La détermination de la position des étoiles , et la composition des catalogues, exigent par cette raison les plus parfaits instrumens et les observations les plus soignées. Il serait donc à désirer qu'on pût trouver la déclinaison, sans mesurer la hauteur elle-même, ensorte que la réfraction n'y aurait aucune influence. Dans un ouvrage purement théorique comme le présent, il ne sera pas superflu, d'en montrer du moins la possibilité, et la méthode employée plus haut pour la latitude, pourra servir à cet effet, quoique son usage dans la pratique soit fort limité. Ayant observé, dans* un lieu dont la latitude p est connue , deux étoiles en L, F ij^^ig- ^.) ? à hauteurs presqu'égales , et mesuré, par le moyen d'un micromètre , la différence de

g —La A" )-, ci

leurs hauteurs zizd, on a p nz (§. 54-)? ^ et ô' étant les déclinaison»

des deux étoiles, d'où Ton tire =i [3 zn m. Supposons que, sous

une autre latitude p', les mêmes étoiles passent par le méridien, ensorte que l'une , dans son passage inférieur D. ait à peu près la même hauteur que l'autre en L: alors, la différence des deux hauteurs étant zn d\ on aura

p' zz: 90' — • ' — (§. 54.) , partant zz 90* — ^ p^-j z=in\ d'où l'on

lire £rz7?z-f-/2:=90*-j-p — p'-| ■■ — , et Si=z?n — /?,:z=p-|-p' — 90' •— .

La difficulté de trouver deux latitudes p", p' , qui satisfassent à cette condition , fait que cette méthode est peu praticable , lorsque les deux étoiles, s, ô", sont données. Mais le grand nombre des lieux où l'on fait à pré' sent des observations astronomiques , présente le problème inverse , c'està-dire deux astronomes choisiront des étoiles dont les déclinaisons remplissent cette condition relativement à leurs observatoires. On pourrait croire qu'en supposant les déclinaisons connues, on fait un cercle logique; mais les quantités d, d' ^ peuvent différer de plus d'un degré , ou depuis -|- Sa'' à — 3a' (le champ ordinaire des lunettes): et on connaît les déclinaisons-de toutes les étoiles avec une précision bien plus grande. On pourrait donc corriger la théorie des réfractions, en comparant les déclinaisons trouvées par cette méthode, avec celles déduites d'une hauteur effectivement mesurée. On parviendrait au même but, si l'on se bornait partout à observer les étoiles qui approchent du zénit de 5 degrés , parce qu'à cette hauteur les réfractions sont insensibles ou parfaitement connues. Pour cet effet , il suffirait d'établir des observatoires de dix en dix degrés de latitude. Au reste, le Livre V. qui traite des réfractions, donnera plusieurs méthodes fort simples, par lesquelles on peut trouver la hauteur du pôle et la déclinaison, indépendamment de la réfraction.

§. 60. De même que toutes les méthodes pour déterminer la déclinaison^ se fondent sur cette expérience , que le mouvement diurne se fait parallèlement à l'équateur autour d'un axe invariable; de même toutes les observationst par lesquelles rascension droite est trouvée, sont fondées sur tuniforniité de

L I V R E I, C H A p. VI. ^3

ce mouvement, qui par cette, raison a été prouvée avec soin (§.18.36.37.39.40.). Si un quaït-de-cercle ou une lunette portant deux fils qui ce croisent dans le centre, est fixé dans le plan d'un cercle lioraire , il suit de l'unifomiité du mouvement diurne, qu'en tems égaux il passera toujours par le centre de la lunette des arcs égaux de l'équateur, ou des arcs semblables d'un parallèle, en d'autres mots, l'ascension droite des éloiles ou du cercle lioraire qui se trouve dans le plan par l'axe de la lunette, croît uniformément. Il est donc clair que l'ascension droite des étoiles qui passent successivement par la croix filaire de la' lunette, peut être mesurée par le iems écoulé, et que, par Conséquente une pendule suffit pour déterminer la différence des ascensions droites de tous les astres. Mais comme les astres ont différentes déclinaisons, et par conséquent^ différentes liauteurs dans le même cercle horaire, il est indispensable que la lunette puisse être élevée et abaissée dans le plan du cercle horaire, ce qui est très-difficile. De plus , la réfraction dont l'effet total se fait dans xm cercle vertical, fera passer les astres d'un cercle horaire à l'autre, à moins qu'il ne coïncide avec le cercle vertical; les observations seraient donc fort incorrectes.' On obviera à ces deux obstacles^ en choisissant un cercle horaire qui est en même tems vertical, c'est-à-dire le méridien. Alors le mouvement vertical ne fera pas sortir la lunette du plan de l'angle horaii-e^ et la réfraction n'en fera pas sortir l'astre, parce qu'elle ne change que la hauteur de l'astre, dont on fait abstraction ici* > Çue l'on observe donc exactement le tems de la culmination de deux astres A,B, plusieurs jours de suite; que le tems de la culmination de l'astre A soit le premier jour f, le second jour ?-|-T; le tems de la culmination de B, le premier jour t-\-r, le second /-|-t-J-T: alors T sera le tems d'une révolution entière, ou 36o degrés de l'équateur et de chaque parallèle passeront par le méridien pendant le tems T^ tandis que dans le tems r, il y passera un arc de l'équateur, égal à la diiférence § des deux ascensions droites: on a donc, à cause de l'uniformité de ce mouvement^ ? =^ — ->6u'*. Il est clair que, de cette manière, on peut déterminer dans un seul jour l'ascension droite d'un grand nombre d'étoiles , et qu'en répétant les mêmes observations pendant plusieurs jours^, on parviendra à corriger de plus en plus^ la

^4 ASTRONOMIE SPHERIQUE

marcIie de la pendule aussi bien que la différence en ascension droite de tous les astres. •

§. 6 f . Cette méthode est sans doute la plus simple et la plus exacte, si Ton est sur que la lunette est bien fixée dans le plan du méridien, de manière qu'étant élevée ou abaissée elle ne s'en écarte pas. Mais la^ moindre erreur dans la disposition de la lunette peut en produire une considérable dans l'ascension droite. Il est aisé de s'en convaincre, en imaginant deux astres A^ B^ {F^g- i^-) dont l'ascension droite est la même, et qui j par conséquent , devraient culminer dans le même instant. Supposons que la lunette ne soit. pas exactement dans le méridien ZM, mais dans le vertical Z A, et nommons l'angle azimutal AZMi=:w. Les deux astres A^ B, dont leS déclinaisons sont ô\ £, ne paraîtront pas dans le même instant au centre de la lunette^ car^ après que Aya été^ il faut que leur cercle horaire PB A parcoure encore l'angle BP3, avant que B passe par la lunette en b. L'erreur de l'ascension droite sera donc égale à l'angle BP^zzvp, celle de la disposition de la lunette étant znco. Les triangles APZ, AP^^»,, donneront

. ^,„ sinAZM.sinPZ , . , sin P A Z . sin A & .. . . ,. ,

smPAZz: — -— et sm^-^i — , ou bien^ w et \|y étant

sin p A sin P ô

f .^ i-x • T»Ar»'^^"^P , , __(i)cosB sin lg— ô") «/-, ^ ,A

supposes très-petits, sm PAZ — ^ etvjy ' ' ■ a)COsp(tg£~tgô),

te i- ' COS 0 COS Ô COS £ I \ •o o /»

en substituant AB au lieu de A^. Il en résulte que l'erreur y est toujours plus grande que co cos (3 (tg e — tg ô) y et qu'elle peut devenir considérable, lorsque le pôle est peu élevé^ et que la différence dés déclinaisons, ou plutôt d© leurs tangentes, est grande.

C'est donc un des premiers objets de l'astronome , de fixer dans le plan du méridien une lunette qui tourne sur un axe horizontal et perpendiculaire au méridien^ ensorte qu'elle puisse être élevée à une hauteur quelconque'^ sans sortir du méridien , et que par conséquent elle servira à observer chaque astre au moment de sa culmination : pour cet effet , il faut l' élever à la hauteur de l'astre qu'on se propose d'observer, ce qui se fait par le moyen d'un petit cercle fixé sur l'axe- de la lunette. Une pareille lunette méridienne [Instrument des passages , en anglais Transit- Instru^ ment)^ que l'oix trguve aujourd'hui dans tous les observatoires , est tellemeiat

LI V R E I, C H A p. VI. 75

arrangée, qu'on parvient en peu de tems et par des observations faciles , à la fixer dans le plan du méridien (Voyés Astr. théor. et prat. par M. Delambre.^ T. L Chap. 9.).

Avant que l'usage de cet instrument aussi utile que commode fut introduit, on se servit et o». se sert encore de la méthode des hauteurs corresî^uudantes. Ayant observé deux hauteurs égales du même astre, le milieu des deux tems est l'instant de la culmination , ce qui étant comparé au milieu trouvé de la même manière pour un autre astre , donne leur différence en ascension droite, comme ci-dessus.

§. 62. Lorsque plusieurs étoiles sont très-près l'une de l'autre, ou que leurs déclinaisons sont presque égales, de sorte qu'on pourra les voir passer par la lunette, sans la déplacer, les réticules fournissent un moyen simple et ^xact , pour déterminer à la tois les ditïërences de déclinaison et d'ascension droite. Cette méthode est très-utile , quand il s'agit de comparer ua groupe de petites étoiles avec une étoile connue et voisine, ou les planètes avec des étoiles fixes, ou d'observer les taclies du soleil, les pussagrs des planètes intérieures sur le soleil, etc. Les réticules les plus usités autre- '}^}&^ sont celui de 4^ degrés {Fig. \^.), et le réacxxie^ rhomboïdul {[ ig. i5.).

La Figure \^. représente un anneau fixé dar.s le foyer de la lunette, au centre uuquel quatre fils AB, F G, DE, lil, se croisent suus des angles de 4-^'*- Si Ton tuurne la lunette sur son axe, jusqu'à ce qu'une étoile connue S, avec laquelle on se propose de comparer d'autres astres, parcoure exactement le fil ED*, ce fil a la position d'un cercle parallèle à l'équateur, et le fil AB a celle d'un cercle horaire: ayant cionc fixé la lunette dans cette position, toue les autres astres qui ont -une déclinaison peu différente de celle de S, décriront une corde K L de l'anneau, parallèle à ED. Quand on a observé les tem.s où l'étoile S a passé par C, et une autre étoile par K, M, L, if milieu entre les passages par K, L, donnera le même instant que le passage par M, et l'intervalle entre les passages de S par G et de l'autre étoile par M, converti en arc de l'équateur suivant la marche de la pendule, donnera la différence iPascension droite. L'intervalle entre les passages par K et L donnera, de la même manière, un arc de réqualeur qui a

fja ASTRONOMIESPHËRIQUE

autant de degrés que 1' arc du parallèle K L i d' où l'oa conclura le nombre de df^grés d'un arc d'un grand cercle de même longueur que KL, en multipliant Tare de Féquateur qu'on vient de trouver^, et qui est égal à Tangle au pôle, compris par les. cercles horaires K et L,, par le rajon du parallèle KL, c'esi-à-dire, par le cosinus: de la déclinaison de Tastre M. La moitié de Klj donnera alors l'arc CM d'un grand cercle, bu la différence de déclinaison^ à cause de KCM zn 4'">'*- Comme on ne connaît pas encore la déclinaison da M, on prendra d'abord le cosinus de la déclinaison connue de S, et après avoir trouvé par ce moyen la différence de déclinaison CM,, ce qui donne la déclinaison de M à fort peu près, on fera le calcul encore une fois, en. emplovant le cosinus de la déclinaison de M. En nommant donc t, t, e, les tems de la pendule, où S et M ont ,paas,é par C, K,. L, et ^-f-T celui où S a passé par C le jour suivant j le tems d'une révolution serazuT, et celui

du passage par M zz: , donc la différence d'ascension droite

TH-i

36o° — I±ir-ili8o«

L'intervalle entre K et M est n: -: nommant donc ô^ la déclinaison de

S, le calcul préalable donnera K M ou CM=i ^^ —, i8o®, d'où Ton tirera

la déclinaison de Mzz: 6' -|-> ~ 'J """' iSo*^ — s; on trouvera donc, par le SjCcond calcul , plus exactement la déclinaison de M z=:

a- -f- ^ ^ cos (^ô -f ^ ^. 1 8o«j = ô -i- --. (a - 5)..

§, 63. Ce qu'il y a de plus; pénible- dans cette méthode^ c'est de placer le réticule ensorte que Taslre S parcoure exactement le fil ED. Sans cela, l'autre astre ne décrira pas une corde parallèle à E D, mais-'une corde quelconque NO,- perpendiculaire au cercle horaire CP. La diiïérence d'ascension droite sera donc l'intervalle entre les passages par C et P, dont le dernier ne peut pas être observé immédiatement ,. mais on pourra le calculer de la manière suivante»

L I V R E I, C H A p. VL 77

Si l'on a observé les passages par N, Q, O, et que l'on désigne les tenis de N à Q;, et de Q à O, par m^ n; le mouvement dans le parallèle NO étant proportionnel au tems,. on peut représenter les arcs NQ par /j.m, ÇO par juf. n, ft étant une <|uantité constante. Or^, NCO étant un angle

droit, et NCQ =: OCQ =45°, on aura, dans le triangle NCQ, CQ zz: ~^^ , et

^^^ ^/-v ILtt.sinO jU,n.cosN .

dans le triangle OCQ, CQ r ^^^ , ^^^^ /.a. " J^^ comparaison de ces deux valeurs de CQ donne tang N zn cot 0 zi: — ^ d'où l'on tire^ par le mo3'ea

n m n. ,^^ un ^ ^ m

destriangles NCP, OCP,CP:=-NP=^OPz=-(NO— NP), partant NPzr

— ^^ ^ Or, les tems d^ns lesquels NO, NP, sont parcourus ^ étant propor-

tionnels à ces lignes, et le teins, de NO étant zz /?? -["«, celui de NP sera

r— — fm H- n) :zz — ., Maintenant,, connaissant les tems des passages

par C et P, on trouvera la' diflTérence d'ascension droite,, comme ci-dessus^

La différence de déclinaison est CPz: — NP zz: — — — — - — ■ , parce que

N0r|u,(m4-«). Maintenant il faut se rappeler que fx est le facteur qui convertit les tems en arcs du parallèle NO, dont la déclinaison soit £. En conséquence, T étant le tems d'une révolution, — 36o sera le nombre de degrés de l'aTcNQ,