LIVRE II, C H A P, IV. ii

cond jour, ^5 y, j', sont les trois angles qu'on cherche, et l'on a y-j-y'ni: 180®. Supposons que x soit plus grand que y et y, c'est-à-dire, que l' étoile ait culminé toutes les deux fois après le soleil; on connaîtra par la première observation, x — jzna, et par la seconde x — y' zzzh, donc a — bzzzy — y.

Comparant cette équation à la précédente j-j-yzznSo", on aura yziiQo*-] ^

^izzQo" — , et X ziz a -\- y ziz ^o'^ -\ •. Cette méthode donne donc à

là fois, deux ascensions droites du soleil, et une de l'étoile.

§. 94. Quoique cette méthode puisse être employée dans cliaque saison;, elle ne donne pas toujours le même degré de précision. Puisque- l'égalité des deux déclinaisons en est la basse, elle sera plus sure , si les observations sont faites dans un tems, où la déclinaison change le plus rapidement, ce qui est l'époque des équinoxes (§. 88.). Gomme l'application de ia méthode est singulièrement limitée par cette condition, elle est ordinairement employée, moins pour trouver l'ascension droite du soleil que celle d'une étoile, pour déterminer par là les points équinoxiaux (§. 88.). Au reste il est aisé de voir que, si l'une des deux observations n'est pas exacte, l'ascension droite de l'étoile ne sera atTectée que de la moitié dé cette erreur. Si par ex. on a pris dans la seconde observation 3 -j- e au lieu de 3, l'erreur de l'observation est e, mais on trouvera xzz:^o°-\ — '■ — , ce qui

ne diffère de la juste valeur que de -. Si toutes les deux observations sont

fautives, l'erreur serait la moitié de la somme des deux erreurs; mais il est à présumer que , dans la première observation comme dans la seconde, on a pris une hauteur trop grande ou trop petite-j et alors les deux erreurs se détruiront mutuellement. En effet, dans le premier cas les points observés T, i, sont trop éloignés des points équinoxiaux A, B, d'un arc e-, dans le secdnd cas ils en sont trop près: on aura donc observé les différences d'ascension droite a — e et b ■\- e dans le premier ca« ^ et dan* le second cas a-{-e et b — e, au lieu de a et b: et dans l'un et l'autre cas il viendra

■ ^-.. 1 (g — g)-f(&4-g) ^ , (a-fe)-f-(6--e) __ a ■+ & • .

X — 90-1 ^ — 90 -|- — ;::Z9o°-|- juste.

iî4^ ASTRONOMIE SPHERIQUE

§, 95. Nous avons supposé que les deux déclinaisons du soleil sont exactement égales, ce qui n'arrivera peut-être jamais. Mais, ayant observé avec le micromètre, les deux ditférences d'ascension droite entre le soleil et rétoile, on connaît aussi la différence de ces différences, et par conséquent celle des deux ascensions droites du soleil. Moyennant cette différence on cherchera Tare de l'équateur , que le soleil devait parcourir en avant ou en arrière^ pour avoir précisément la même déclinaison que dans Fautre observation: ainsi les choses seront dansée même état que. dans le cas . précédent. Que la première déclinaison soit (tt, plus grande de <r f que la seconde st, et que l'ascension droite de l'étoile x réponde au point H de Féquateur: la différence des deux déclinaisons <t § zzz d, donnera celle des ascensions droites Trzize. Pour cet effet , il faut comparer encore le soleil avec Fétoile^ le jour précédent ou le jour suivant, ce qui donnera le

changement diurne de la déclinaison in; D, et celui de l'ascension droite

E ^::E*. d'où l'on tirera e zz — cL On peut se servir aussi des formules tri-

gonomé triques,

a § — — r— • (§. 88.); et cos ? =: — — ^g. 76. III. 2.),

qui donnent

d S 95' . COS £ ° ■"" cos^ô'. y^tg^Ê— ^tg2 ô") cosô. -j/i^sui*-^ £ cos"-^ ô' COS^ £ sin^ ô] »

€U bien e m ■ — -r — ' . On connaît donc d, e, et les obser-

Talions donnent AH — Armrx — z'zzoy AU—At^zx — / = ^. Si l'on

fait ATznj;, on a Arnzsn:/-]- e, donc x — j-:: a -\- e, et/ — jzzza-j^e — b.

■ . a-f-e — 'b Q a-\-e — b En substituanty-t-j=:i8o°, on trouvera jur go'' -| , y. — 90 — ,

et :r =: è + y'zzzgo^ 4- ^ii jlLf. Les quantités e, d^ sont toujours de même nature; ainsi ces formules sont justes, si la première déclinaison (tt est plus grande que la seconde sf^ comme \a fgure aJ. le réprésente: mais dans le cas contraire, d, et par conséquent aussi e est négatif.

§. 96. Nous avons encore supposé que Fétoile n'a pas ^changé de positionj pendant tout le tem& écoulé entre les deux observations; mais i]^ est visible que la précession des équinoxes (§. 90.) doit nécessairement produire

L I V R E II, C H A p. IV. ti?;

un mouvement de l'étoile eïi déclinaison et en ascension droite; on verra dans la suite, que ce mouvement est trouvé pour chaque étoile indépendam* ment de la reclierche présente; on le trouve dans les tables astronomique*. Le mouvement en déclinaison peut aller jusqu'à lo''' dans l'intervalle entre les deux observations, qui est ordinairement d'environ six mois : il est aisé de voir, de quelle manière il faut en tenir compte. En nommant k ce petit arc, dont l'étoile s'est rapprochée du pôle boréal de l'équateur pendant ' le tems écoulé entre les deux observations^ et Ha différence de iléclinaisoii entre l'étoile et le soleil dans la seconde observation, l'étoile étant supposée être plus près du pôle boréal que le soleil, ensorte que k devient " négatif, si l'étoile approche du pôle austral, et ô sera négatif, si le soleil est au nord de l'étoile : il est clair qu'il faut mettre ô — /t au lieu de ô , lorsque d et k sont l'une et l'autre positives ou négatives, et qu'il faut mettre ^-\-k au lieu de ^, si l'une de ces deux quantités est positive, l'autre négative. Après avoir corrigé ô de cette manière, on connaît la différence d des deux déclinaisons dii soleil, d'où l'on conclura e, comme ci-dessus (§. qS.).

Soit h le mouvement en ascension droite, qui peut aller à 26'', ensorte que fétoile est avancée de H en h, ou que B a rétrogradé d'autant (§.89.), HA étant znh: soit, comme ci-dessus, AHzzo:, AT =z j, Atzny', Les observations donneront AH — AT zr, x — y zn a ^ et A/z — A/zn

x-\-h — y ziz-b: donc j' — yznaA^ h — h^ et y -|- J =^ 180°; d'où l'on tire

/ o I a-ffe — h a-hb — b -, a-hb — b

y = 90 H 2 , y— 9^ — ', et x — a-j-y — go" -\ .

Si l'on y joint la première correction i^§. gS.), où Trzne, la première observation donnera a.zizx — y — e, la seconde bzi:x-\-h — j/; donc y • — 'yzz. a^e-\-h — b, ei y ~\- y z^ 180% d'où il suit, y — 90° -[- "-^tlllzi^^

§. 97. Cette méthode servira aussi à trouver le tems où les équinoxes et les solstices ont eu lieu. L'ascension droite de l'étoile x étant connue, sa comparaison avec le soleil donnera, pour un tems quelconque, la différence de leurs ascensions droites zz: o. Nommant donc y l'ascension droite variable du "soleil, j- sera nul dans l'instant de l'équinoxe vernal, donc x — yziz

11(5 ASTI^ONOMIE SPHERIQUE

fi'zzx', pour l'équinoxe automnal on aura j zn 1 80** , et a-inx — i8o*. Vers le commencement du printems, on comparera donc tous les jours le soleil avec une étoile dont l'ascension droite x est connue, jusqu'à ce qu'on trouvera dznx, ou deux jours dont l'un donne a"^ x, l'antre a<Cx^ ensorte que l'équinoxe est tombé entre ces detix jours. Nommant le tems écoulé entre les deux observations T^ et les deux différences d'ascension droite, que l'on a. observées, a et a' ; l'ascension droite du soleil a changé de a — a' pendant le tems T. Puisqu'il s'agit de trouver l'instant où azzo:, il faut que, depuis la première observation, l'ascension droite du soleil change de a — x:

pour cela le soleil employera le tems fin. ^ T, qu'il faut ajouter au tems

de la première observation , pour avoir l'époque de l'équinoxe.

Pour l'équinoxe d'automne, on a jzniSo'' et azizx — 180®^ pour le solstice d'été, jizigo^ eiazizx — 90°; pour celui d'hiver, jiz: 2 70° et azizx — 270**: il faut donc mettre x — 180°, x — ■90", et x •*►- 270°, au lieu de x-, et l'on trouvera les tems à ajouter à celui de la première observation, ce aui donnera l'épo-

■oue de l'équinoxe d'automne fziz.'' T ,. celle du solstice d'été t-zz

go°-+.a — X 1 . 1,1 • 370° -h a — a: ^. . ,■ ^

' ; — 1 5 et pour le solstice d hiver , t m — 1 . Il est aise de

a- — a' ^ a — af

.trouver les modifications dont ces formules ont besoin , lorsque les deux observations sont autrement situées que dans la figure. Pour tenir compte de la quantité h dont rascen5ion droite de l'étoile a augmenté, depuis l'observation qui a servi à déterminer x jusqu'au tems de l'équinoxe ou du solstice, ori n'a qu'à mettre x-\- h au lieu de x,

Om peut trouver ces époques^ sans connaître l'ascension droite de l'éiorle X. Sr le soleil n'a pas exactement même déclinaison dans les deux observations, on cherchera le petit arc e (§. 95.), qui donnera deux différences d'ascension droite entre l'étoile et le soleil, A, B, qui appartiennent à deux déclinaisons égales. Ces deux lieux du soleil étant nécessairement à la même distance du solstice, la différence des ascensions droites dans le sol-

stice même sera zr ■ . Ayant donc fait , au commencement de l'été ou