LIVRE II, C H A P. VI
n'est pas aisé de déterminer les limites du crépuscule, et même la nuit la plus obscure nous laisse encore apercevoir des objets. Cependant les astronomes sont convenus de fixer les limites entre le crépuscule et la nuit close à l'instant oii les plus petiles étoiles commencent ou finissent d'être yisibles; ce qui dépend encore de la bonté des yeux. Ordinairement on. donne à lare c/e ^'/5/o7^* des différentes étoiles, c'est-à-dire à l'abaissement du soleil ■sous l'horison, lorsqu'on commence à les apercevoir à la vue simple, les valeurs suivantes; ii ou 12 degrés pour les étoiles de la première grandeur, i4* pour celles de la troisième grandeur, et 18" pour les plus petites étoiles. On suppose donc que le crépuscule commence le matin , et finit le soir.^ quand le soleil est abaissé de 18° sous l'horison: cela posé, il sera aisé d© résoudre les problèmes suivans.
§. 116. Si l'un cherche la durée du crépuscule qui aura lieu tel jour dans un certain lieu, la hauteur du pôle p, la déclinaison du soleil 6', ef l'abaissement de 18*, sont donnés: on en conclura l'angle horaire 7, et ayant soListi'ait le demi-arc diurne, le résidu, converti en tems, donnera la duré© du créj^\uscule. Faisant donc v] iz: — iS"*, l'équation lil. i. ^§. 34.) donnera
sin 18 -I- sin S sin ô" ^ , • i i
cos 7 — — . Cet angle est touiours plus grand que 00",
jusqu'au jour où [3 et ô' sont de nature opposée, et sm (3 sin ô ^ sin 18°, ou
sm [3 ■>> — , donc S "> 00 04 • 01 le crépuscule est>compte pour une
partie du jour, il en suit, que tous les lieux de la terre dont la latitude est au dessus de 5i degrés (ce qui fait à peu près ^ de toute la surface de la ten'e) , ont tous les jours de l'année plus longs que les nuits , par r effet de la faculté de l'air de réfléchir- la lumière. Aux pôles mêmes le crépuscule dure, jusqu'à ce que la déclinaison opposée du soleil surpasse i8°: les deux crépuscules avant le commencement et après la fin de leur «té ou jour de six mois, pris ensemble, durent quinze semaines.
Si la valeur prccédeate t.e cos 7 est zz: — i, le crépuscule dure toute la nuit. Alors on a sin i8°-|-sin [3 s;n ô izicos [B cos 6, ou sin i8°iz:cos ((S-j-ô), donc 5 zz-j'-i** — [3. Sous la latitude par ex. de 60"", il n'y a pas nuit close, aussi longtems que la déclinaison du soleil est au delà de 12 degrés; et il est visible que k portion de l'année, durant laquelle un lieu n'a pas nuit
i34 ASTRONOMIE S P H É R I Q U E.
elose, augmente avec la hauteur du pôle. La même équation donne {3 = 7 -i® — 5", dont la moindre valeur est 4^* 32^ il s'en suit que les lieux qui, pendant quelque tems , n'ont pas nuit close, doivent avoir une latitude d'au moins 48® 32', ce qui est à peu près le parallèle de Paris.
§. Î17, Le problème inverse est, de chercher le jour de l'an où, dans un certain lieu, le crépuscule durera un tems donné. Soit {Fig, 29.) LS le parallèle que le soleil parcourt ce jour là^ HR Thorison, Z le zénit, P le pole^ S la limite du crépuscule: on connaît donc ZSzzzioS", Z^ingo*, .SP5=z7, PZmgo'' — 13, et l'on cherche ô' — 90®— PS. On a dans Le triaa- |;leZP5^
sin (3 sin 5"
CesZP5 = — — ^r T.J
cos p COS 0 —
et dans le triangle ZPS,
COS ZPS ou cosCZP5 4-7) = — ■ T — -K- 5
^ ' ' cospcoso '^
®u bien
cos Z P 5 Gos y — sin Z P 5 sin 7 =: cos Z P 5 — • — ■ . — - *
COS j3 COI 0 '*
d'où l'on tire
Sm Z P 5 Zr ■ r. TT^ — ^: -»
sin 7 cos p cos û
Mais la première équation donne aussi \%,
,. -{/(cos^jS — sin^S)
Sin Z P 5 zz: i— ^ t^ — - .
co^ p *^"^ o
En comparant ces deux valeurs de sin ZP^^ et prenant les carrés, on irom*
Tera sin ô' par cette équation:
♦.= sin"ô'^ 2sin^(3(i — cos 7) -f- cos^psin^7 > -j-2sinBsin i8*sin(3(i-^ cos7) -f-sin^i8* — cos^p.sin^7.
■Comme elle est du second degré , on trouvera deux valeurs de è, donc, puisque le soleil parvient deux fois dans l'année à la même déclinaison, quatre différens jours, où le crépuscule a la durée donnée 3 mais il ne faut pas oublier, que ô" ne peut être plus grande que 23* 28''.
Entre ces deux: déclinaisons qui donnent la même durée du crépuscule, il y en aura une, où cette durée est un maximum ou minimum. Il est évident qu'elle est un maximum, lorsque ôzz-J-ê; mais ce n'est pas le maxîmum dont il est question ici, parce qu'il est renfermé entre les deux dé-
I 1 V R E II, G H A p. Vt - î3ï>
clinaisons égales qui arrivent deux fois par an, tandis que notre équation» quadratique donne deux valeurs inégales de ô'. Conformément à la nature des maximay le maximum qui appartient à l' zn s, doit être suivi par un minimum: il y a donc une déclinaison, à laquelle répond une durée qui est un minimum, et qui est donnée par les équations précédentes. On peut trouver le plus court crépuscule, et le jour où il arrive, de la manière suivante. ,
§i ii8. En différentiant les expressions précédentes de cosZPs et ed eos (ZP5-p'V) (§. iiy-)? on trouvera, en faisant varier 7 et ô',
<9ô'.sinj3 7> 7T) A?^'^^/• ^ 3-(sin p -^ sin 16° sin ô")
c„s(3,cos'-^ ô'.sinZPs' ^* ' "^' "~ cos[3.cos2ô'.sin(ZPj-f7)'
Puisqu'il faut faire 37 =1:0, afin que 7 soit un minimum, on peut égaler ces deux expressions, ce qui donnera
sin(ZP5-+-7) sin [3-+. siniS'». sin 3'
ïiu Z P s sin (3 ' . •
Les équations du §. 117. donnent encore
sinZP.=z:>^^^"^"^,-"i^, et
cos p COS 0
,„, ... i/fcos^S — sin2 ô" — 2 sin 18° sin G sin 3" — sïn* 18*") sin (ZP5 4-7) — 2-!^ S— — r -— !- ^ ■'
d'où il suit
sin(ZPj4-7) / ea$'j3 sin* 5' — 2 sin 1 5^ sin j3 sin 3' — sin* i8«
sm Z Ps ' cos^ |3 ■ — sm^ ô"
En égalant les deux valeurs de ^—^ ^, et prenant les carrés, on trouvera
sin Z P s
o zn sin^ 1 8° . cos^ ô' . (sin^ ô" -[^ sin^ P) "h 2 sin 1 8° . sin [3 . sin ô' . cos^ î, «t en divisant par sin^ 1 8* . cos^ ô",
. „ , , 2 sin S- sin ô; , . „• , . . — sin (3 -•- sin (3 -cos 18*
Les deux racines de cette équation sont sin 0' zz -. — — ZT-
^ sin 10^
sin (3 (i :^ cos 18^) , N • ,. sinp.sin^g^» • o4 o
o -, donc i) sin ô z= -^ -■- zz. — sm p tg 9" , et
Sin 18^ ' ' sing^^cosg^ o ^ »
N . , sinG'Cos^q" • ^ . a x i t ' i
2) sin 5 iz: — ! — zz — sm 3 cot q*. Le plus court crépuscule arri-
sing^. cosg^ r if i r
rera donc quatre fois par an, et toujours en hiver, parce que ô' est négatif.
Mais comme ô^ ne peut être plus grand que aJ"* 28', la seconde racine ^■sX
i36 \ ASTRONOMIE SPHÉRIQUE
limitée par la condition que sin (3 ne doit pas excéder tang 9'. sin 23* 28 : celte solution ne peut donc avoir lieu que sous des latitudes plus petites que 3® Sj^ La première racine a lieu pour toutes les latitudes, parce que sa plus grande valeur est sin 6' zz: tang 9^*, ou ô" zz: 9* 6' 47'''- Cela serait donc la déclinaison qui donne le plus court crépuscule pour le polCj où sinj3zz:i; mais ce problème n'est pas applicable au pole^ qui n'a qu'un seul jour, et par conséquent un seul crépuscule dans toute l'année. En général, il faut satisfaire à deux conditions, pour que plusieurs crépuscules arrivent successivement:.^ l'une , que la distance du soleil au zénit soit à minuit plus grande que 108 degrés, l'autre, que le soleil se lève et se couche le mêma joui-. La distance au zénit à minuit est (90* — [3) -[- (90 -j- ^\ ^^ soleil étant de l'autre côté de l'équateur, ainsi que la solution du problème le demande. Il faut donc, en vertu de la première condition, que 72® + ô' soit plus grand que (3. Conformément à cette condition, il résultera de la première racine, que sin ô' doit être plus petit que tang 9". sin 7.4° -r 5", ou. sin ù- < tg 9° (cos iS'cos ô' 4- sin 18* sin ô), d'où il suit tang ô' < —
tano; 9=*. cos 18^
-fg9^. sinji
/ f?9<'.cosi8=» fs;q='. C05i8^\ ., ^ r. ^
(=z ; -— — ±1 ~— , donc tang ô' < tang 9% et Ô^ < 9^ Il faut
donc que p soit plus petit que 72°-|-9'' ou [3<8i<». Alors on aura [3-j-ô'<90°, d'où il suit que le soleil se lève et se couche ce jour là '§. iio.): donc la seconde condition est aussi remplie. Supposant par ex. [3 =r 80",^ l'équation sinSzz: — sin [3 tg 9* donnera ô :zz S*» 58' 25'', d'où il suit que la distance du soleil au zénit sera au minuit de ce jour =z 10° --[- 98'' 58' 26", plus grande que ïo8*. A midi cette distance sera zi: '90°-]- ô) — (90° — p)zz:88°58'^ par conséquent, le soleil se lève ce jour là, et il se lèvera tous les jours, jusquà ce que ô" soit de 10 degrés, ce qui n'arrivera qu'au bout de trois jours; €i les jours qui précèdent et qui suivent celui où è' était zn: 8° 58', auront des crépuscules plus longs que ce jour. On voit donc, que la seconde racine n'est applicable qu'aux lieux compris entre les deux parallèles, dont la latitude est de 0° 37', et que la première est applicable à toute la terre, excepté les segmens autour des pôles, dont la base est le parallèle de 80** de latitude. Pour Téquateur , où pn:o, les deu^ ratines donùent ôzz:o:
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le plus court crépuscule a donc lieu sous la ligne , les jours des équinoxes.
§. 119. Connaissant maintenant la valeur de ô', on peut trouvef 'ym^PS, ou la durée du plus court crépuscule, de la manière suivante. Faisant pour abréger, sir\^'^ziza, cosg^zizb, sin p=:y^ cos pi=:^, b'^ — J"^:
iang ZV s zzz c^ et tangÎ7iz:^^ la racine i) est sinô'ziz — ^f, ce qui étant saibstitué dans les équations du §. 117. donnera
cosZP^zz:- r;, et cos (Z P 5 -j- 'V) m — ^ -— , parce que sin iS'^uzzab.
bgcosà , bgcosà '■ ^
De là il vient
C0SZP5 — cos (ZP5 + 'y)z=2sin fzP5-j-~') sin -=: ~^^, et
V 2/ 2 ogcosô
2P5-J- cos (ZP5 + 7) = 2 COS fz'Ps-]-^\cos - =
d'où il suit
f g — . tg Z P 5 H ) ou X zn : ce qui donne
2^V 2/ 1 — ex m^ ^
o zzioc^ ^ -1 -■ . Les deux racines de cette équation sont
■fi Q.-\- / ! f^ q1 , / ja,^2> r/2
œ=. =-Li — t ). Maintenant les équations cos ZP5 ir — ~ —
2 m'^ ^ bgcoià
Sin ZP.=: r-^-^ (§• "?•) = '~T~~Ç - r^-^ ^«"^^ent
cos (3 cos ô è g cos 6 6 g cos 6
m 1, X -1 • . Tn-f-m-j/li — /ua^b'^') i~f-cosi8^ cziz-—; dou il vient x=: -^= — ^-^ — — -= . Comme a est
environ |, et m <; i, 2 «m est plus petit que |; donc le signe 4- ferait x plus grand que 3; mais on sait que Î7<45°, et en conséquence a:<<i: il
r X. 1 11 1 I — cos 18'' 2 a^ a .,,..,
laut donc^ prendre la valeur x zn riz — • — rz: — .• d où il suit
2 a VI 2 a m m
gle 7, converti en tenis, donnera la durée du plus court crépuscule.
On peut trouver le même résultat par une construction très -simple. On a dans le triangle Z^P, cos 5 = — ^ , et dans le triangle ZSP,
cos 0 07
c sin (3-f-sin ifl^sin ô' -r- ^ •
"~ — coî">8-'co.T~' ' substituant donc sin ô=: — tg 9° . sin p, il
i38 ASTRONOMIE S P II É II 1 Q U E
Tiendra cosbzz — ' ^ „^ -^— — — ^— ^=^t:os5, donc S=:5. Faisant donc
cosio^coso cosio^'coso
ZQ=:::i8'',. on aura entre les triangles PSQ, P^Z, ces relations, QS = 9o":z:Z;y, PS = 9o° -[-ômPs, etS^r^^ donc PQ — PZ =: 90^ — (3, ZP^mQPS, d'où il suit ZPQ =: 5PS z=i7. Ou a^ donc dans le triangle isoscèle ZPQ,
donc sin 1 7 un — ^ , comme ci-dessus. (*)
2 cos p ^
(*) M. Fuss a le premier donné une solution semblable, il y a plus de 3i ans, fVoyés Sey;- Un.^-dstron. JakibuchJ'ur- l']^'^, Gompar. ^stron. théor. et prat. par 31. Delambre, T. J». €h. 14,).-
