LIVRE IV, € H A P. L sot

§. i86. Si l'on approche .du pôle, sans s'écarter du mérkllen. la liauteur du pôle augmente constamment dans le même rapport. Si, en allant vers le nord dans le méridien }lZV{F/'g. Si.) 25 lieues de Z à 2-, la liauteuf du pôle a changé d'un degré, 26 autres lieues de ^ à ^ la feront encore changer d'un degré. Les degrés du méridien Z z, z ^, sont donc de même grandeur. Soit {Fig. 32.,) ABP le méridien, Vp l'axe, B V, by, deux lignes verticales très-près l'une de l'autre: étant perpendiculaires à la surface de la terre en B et b, elles se rencontreront dans l'intérieur de la terre en nn point quelconque G, parce que la hauteur du pôle augmente de B en b. Or la hauteur de l'équateur en B est égale à l'angle Vcp, compris entre la ligne verticale et l'axe, donc la hauieur du pôle est :izgo° — Y cp (§. 33.): conséquemment la différence entre les hauteurs du pôle en b et en B est zzzY op — ■u'ypzn.HCb,

Or les lignes BC, bc, étant perpendicnlaires à la courbe B«^, sont les

B h rayons de courbure.,- et l'on a B Z'Zi: B G . B G è, ou B G =z - — 7. Donc la

différence entre les hauteurs du pôle, B G 3, étant toujours la même pour des arcs égaux B b, par hypothèse, le rapport - — - , et par conséquent aussi le rayon BC est constant. Mais une co<urbe, dont les rayons de courbure sont constans, ne peut être que le cercle: donc les méridiens terrestres sont des cercles. Gomme on doit dire la même chose de tous les méridiens, on peut regarder la terre comme un solide produit par la révolution d'un cercle autour de son diamètre, qui est l'axe j c'est-à-dire, la terre est une sphère., au centre de la'quelle toutes les lignes verticales viennent se rencontrer.

On trouve le même résultat par la distance de deux lieux^ qui est mesurée par l'arc d'un grand cercle, compris par ces lieux. Soient {lig' 8.) Z, S,

deux lieux sur la terre, P le pôle; en nommant b, |3, leurs latitudes, X la diffé-

des pays occidentaux verraient le lever d'un astre plutôt que les orientaux; qu'elle n'est •çixs aplatie , parce qu'alors on verrait le lever et le coucher d'un astre dans tous les pays en même tems; qu'elle n'est pas composée de plusieurs plans , parce que dans ce cas, au moins tous les habitans d'un même plan, verraient les pliénomènes en même tems; qu'elle n'est pas un cylindre, ayant pour axe celui du monde, attendu que cela est en contradiction avec l'expérience généralement connue, que plus loin on va vers le nord, plus les étoile.» boréales s'élèvent sur l'horison, tandis que les au-slralcs disparaissent successivement, etc. Ptolem. jdhnag. Lib. J- Cap. 4.). Ce passage est remarquable, parce qu'il nous apprend les différentes opinions du peuple, ou des philosophes de ce tems, relativement à la figure de la terre.

îîoft ASTRONOMIE SPHÉRIQUE

rence entre leurs longitudes, e leur distance, on aura PZzgo" — b, F 8:1:90° — (3, ZPS:zzX, ZSzze: donc (§. 177.) coseiz:sinZ)sin p-["COS(^ cos[3 cosX. Ayant donc déterminé les latitudes et les longitudes de deux lieux par des observations astronomiques, et mesuré leur distance par des opérations géodésiqueS;, la terre sera une sphère, si celte équation a toujours lieu. En effet, toutes les observations donnent ce résultat; au moins, on n'avait aperçu pendant longtems, aucune exception de celte règle: il est donc sûr, que la terre ne s'écarte pas sensiblement de la figure sphérique.

§. 187. Vers la fin du dix-septième siècle, des considérations physiques firent soupçonner aux astronomes, que la terre n'était pas exactement sphérique, mais plus élevée sous l'équateur, et aplatie vers les pôles. Newton prouva le premier, qu'en supposant que la terre tourne sur un axe, et qu'elle ait été originairement un corps homogène et fluide ou. mou, les forces centrifuges résultant de la rotation lui ont nécessairement donné la forme d'un sphéroïde aplati vers les pôles, et que l'équilibre entre les différentes parties de la terre n'a pu être rétabli, que lorsque les méridiens avaient pris la forme à^ ellipses, , dont le grand axe (le diamètre de Téquateur) était au petit (l'axe de rotation) comme- 280 à 229. On trouvera dans l'astronomie physique la démonstration de- cette proposition : nous la regarderons ici comme une hypothèse q^ui doit être vérifiée par les observations j et pour cela on peut se servir de la longueur du pendule à secondes, ou des degrés de latitude. La première méthode sera réservée à l'astronomie jDhysique^ nous allons développer l'autre.

§. 188. Comme il est visible que les latitudes doivent nécessairement changer suivant une autre loi dans le méridien elliptique, que dans le cercle, les observations suffisent pour décider, si le changement de la hauteur du pôle , ou ce qui revient au même , si la longueur des degrés de latitude est conforme à l'hypothèse de l'ellipse. Il faut donc déterminer le rapport àei degrés de latitude, qui a lieu dans rellipse. Soit {ïig. 33.; AMP un quadrans de l'eUipse, son centre et celui de la terre en C. P le pôle, GP le demi-axe, Ç A le demi-diamètre de l'équateur, M un lieu de la terre 5 M V sa ligne verticale qui est perpendiculaire à l'arc elliptique en M , et qui rencontre l'acte, non pas en Cj mais dans, un point E. Soient MN, mn^ deux ordonnées

L ï V K E ÎV, G H A P. I. 2o3

infiniment peu éloignées Tune de Fautre , et nommons CNizi^v N M riZj, C A n a, C P zi:?i a, et la latitude du lieu M zr [3: cela posé on aura

J^ = «"(«' — ^')- Mais on a aussi N M D =: V E P zz 90» — p, donc iang [3 =: ^^, Or la sous-

normale est N D — ^^— ^ == — «^ ^-, d'où l'on tire tang p 1= ^, et

j^ - ?i^ (a^ — x^-) — /2^ o;^ tg^ p, dono ^ = ___-^— ^-^,, d'où il viendra

d X :iz

cos2 p(^i+. n'^ tg^p) 3*

Nommant donc l'arc PMrs, on aura dans le triangle Mot|j-, Mm-dsz.- rr— ,

d X nP' d d Q

ou à cause de 77z M m. :=: oo* — NMD=zp, 35= — — - =: -~ — — — — r-.-^-v,-,

' ^ ' sm |3 (cos^ p-l-n.2 sin^ p)|

Comme n est à peu près z=: i, en faisant n^zni — w^, m sera un très-petit nombre, dont les puissances supérieures peuvent être négligées. Cela donne

Ô5=;î^aap(i--m^sin2p)"'5— ,i2^iô|3(i|3,;22sin2p)=:a3p(i— m^(i — 3sin^P;), ou

d szuad ^iï — ■— (t -|- 3 cos 2 p) 1, §. i8g. Il s'agit donc de déterminer par des observations astronomiques, la différence entre les latitudes de deux lieux, situés dans le même méridien à peu nde distance, (5 p), et de mesurer par des opérations -géodésiques, leur distance (as); alors on verra sv l'équation 3 5 iz:

: — i|m^ sui^ P

a toujours lieu, quelle que soit la latitude p. Suivant l'hypothèse de Newton (§. 187.) n est =1 ^^ donc (i -|- /z) (i ■— ??)i=i m^ zz—"!^ m 0,00867675. Si

l'on ne veut se fier qu'aux observations, il faut changer la valeur de n, jusqu'à ce qu'elle satisfasse dans tous les cas, à l'équation précédente: alors il est certain que les méridiens sont des ellipses, et l'on connaît en mêmetems le rapport des deux diamètres n. Mais sans connaître ce rapport, on peut examiner en général, si la terre est aplatie vers les pôles. L'équation précédente nous apprend que, 3p conservant la même valeur, ds croîtra avec p, c'està-dire, que les degrés de lat'Uude augmentent , à mesure gu'on approche du pôle, ce qui est d'ailleurs évident, parce que l'ellipse est moins courbée vers le petit axe. Ayant donc mesuré un degré vers le pôle, et un autre auprès de l'équateur, on verra, si le premier est plus grand; et dans ce cas, il est prouvé que la terre est aplatie vers les pôles.

ao4

§. 190. L'équation ds

siilErait pour délerminer ai par

I — I m^ sin2[3

la mesure d'an seul degré, si a était connu. Mais comme le diamètre de la terre n'est trouvé que par la longueur d'un grand cercle^ il faut connaître au moins la longueur de deux degrés d s, d s\ sous les latitudes (3, (3'. En faisant donc ^9(3r3p'zr)'',, féquation précédente donnera 85 : 3/ :: i —^m^sin'jS'': i~|/.'rsin^j3j

d'où, il suit m'^

s f 5 s — a sO