CHAPITRE IL
Calcul des parallaxes dans la sphère.
§. 193. IT uisque l'aplatissement de la terre, suivant la tliéorie et les observations , est très-petit, on peut, dans tous les cas où il ne s'agit pas de la lune, regarder la terre comme parfaitement sphérique, ce qui simplifie singulièrement le calcul des parallaxes.
Quand un astre est si éloigné de la terre, que toutes les lignes droites qu'on peut mener de cet astre à un point quelconque de la terre, ou les deux tangentes opposées de la terre, sont sensiblement parallèles, il est indifférent si cet astre est observé d'un point de la terre ou d'un aufre: partout il sera vu suivant la même direction, tous les observateurs trouveront la même déclinaison , ascension droite, etc. que s'ils l'avaient vu du centre de la terre. Mais si la distance d'un astre est moins grande, si les tangentes menées de l'astre à deux points opposés de la terre forment un angle sensible^ cet astre, vu de différens lieux de la terre aura une autre déclinaison,, ascension droite, etc. Le changement qu'éprouve le lieu apparent d'un astre, lorsqu'il est vu de différentes stations, est en général appelé sa ■parallaxe, et spécialement la parallaxe diurne ou annuelle, selon qu'il est vu de différens points de la surface ou de l'orbite de la terre. Pour éviter toute confusion, il sera bon de réduire constamment le lieu des astres au centre de la terre (§. i83.): alors l'objet du calcul des parallaxes sera la solution de ce problème: le lieu vrai ou géocentrique étant donné, trouver le Yieu' apparent pour un point quelconque de la surface de la terre, et réciproquement.. Pour juger, si un astre a été déplacé de son vrai lieu, il est nécessaire de le comparer avec des points ^xes dans le ciel, qui ne sont pas su-
ûo8 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE
jets à la parallaxe: c'est donc un grand avantage pour l'astronomie, que l'iminensité de la distance ^des étoiles fixes, qui fait coïncrder toutes les lignés 'menées d'une éioiîe à la terre (§. 19.), ensorie que les étoiles fixes ifont aucune parallaxe. Une planèi^e dont le lieu est aUéré par la parallaxe, étant vue de deux points de îa terre en même tems, paraîtra avoir dilïérentes disiances à la même étoile , diflerentes ascensions droites , déclinaisons, etc. Il en résulte différentes méthodes , pour déterminer les parallaxes par des observationso
C'est sans doute Hipparque qui eut le premier des idées justes de la parallaxe. La îlianière dont Ptolémée, apparemment suivant Hipparque^ explique la parallaxe de la lune (^), est à Fégard de la géométrie et de l'astronomie, si solide, exacte, et claire, qu'on ne saurait rien y ajoutei:- «Comme »la terretf, dit-il, «n'est pas comme un point par rapport à la distance de »]a lune, il faut tenir compte des parallaxes de la lune, qui -donneront le »moyen de se servir des niouvemens vrais rapportés au centre de la terre, » pour déterminer ceux qui sont apparens , c'est-à-dire qui sont vus de quel- »que point de la surface de la tex-re , et réciproquement. Mais comme il » est impossible d'assigner les quantités des parallaxes , sans connaître le rap- 3» port de la distance, ni réciproquement; on ne peut pas avoir le rapport de »la distance des astres qui n'ont pas de parallaxe sensible, c'est à-dire à Fé- » gard desquels la terre n est qu'un point. Quant à ceux qui ont une paraliilaxe sensible, comme la lune, il ne s'agit que de trouver le rapport de la » distance par le moyen d'une parallaxe connue, attendu qu'on peut observer i) immédiatement la parallaxe, mais non pas la distance.» Après avoir critiqué la méthode d'Hipparque qui avait voulu déduire la parallaxe de la lune de celle du soleil, tout-à-fait inconnue, il expose sa méthode, et l'instrmnent qu'il avait construit, pour observer exactement la parallaxe de la lune pour chaque distance au zénit. Cet instrument est «n dioptre par lequel, à l'aide d'un fil-à-plomb, la distance de la lune au zénit, ou sa hauteur est mesurée (^).
(i) ^Imag. LU. V. C. ii. ITfç/ twv rT;: enXr.y^s tcx^kWu^swv, (s) ^4hnag. Lib. V. C, 12.- île^i x«T«(r«it/?fJ payocys 'xxgx'K'kKKriKS,
L I V R E IV, C H A p. IL 90(j
5. 194. Soit [Fig. 34.) ADB un quadrans d\in méridien terrestre, «îvipposé circulaire, dans le plan duquel se trouvent les lieux B, D. et i'a-^îr» S; soient B L, DM, parallèles à l'équateur, ou la commune section deréquateur avec le méridien ADB, rue de B et de D: les liguas BL,'' DM, seront aussi parallèles entre elles, parce que la position des cercles de la sphère est déterminée par les étoiles fixes qui sont vues de tous Ips lieux de la terre suivant des directions parallèles (§.193,). L'observa ter.r en B trouvera donc la déclinaison de Fâstre SzzSBL, tandis qu'en D elle paraîtra rzrSDM nr SEL: la difterence BSD est la parallaxe de déclinaison de l'astre S pour ces deux lieux. Il en sera de ^aênie, si l'on substitue à l'équateur. tout autre cercle de la splière.
Le point -G est le centre de la terre, la tangente BL représents l'horison ■du lieu B, CBV est sa ligne verticale, VBLzz:90°, et SBI^ est la hauteur apparente de l'astre S, ou VBS sa distance apparente au zénit de B; tandis que la distance vraie ou géocentrlcjue est VCS, et la vraie hauteur se A. La différence entre les hauteurs vraie et apparente, ou la parallaxe est SGA' — 'SBLzrSEL — SBLzzBSC: donc généralement, la p,arallax9 d'un astre est l'angle compris par deux lignes qui sont menées^ de l'astre au v centre de la terre, et à quelque point. de sa surface. C'est encore une idée Vague, parce que le point de la - surface n'est pas détermin.é, ou que l'angle BSG dépend de la situation de l'astre relativement à Fhorison de B. Il est aisé de voir, que BSG aura sa plus grande valeur, lorsque SB touche la surface de la terre, c'est-à-dire lorsque VBS =1190'*, et que par consé* quent S est dans l'horison de Bj il est aussi évident, que BSG est nul, lorsque B et D coïncident, c'est-à-dire lorsque S esil au zénit de B. La parallaxe dépend donc de la hauteur de l'astre, suivant une loi que nous allons déterminer.
Ç. iq5. Dans le triangle BSG on a sin BSGzi: '— . En noni-
, es
mant donc la hauteur apparente SBLiz:-,^, le demi- diamètre de la terre CBrza, la distance de l'astre au centre de la terre GSrz/v et la parallaxe inconnue BSGzii/z, on a sin A =z - cos r). La! parallaxe des planètes n"est jamais plus grande que Zo" , et celle de la lune, la plus grande de toutes,
n'est qvie d'un degré: or le sinus d'un degré nélant différent de son arc que de 0,00000089 ou de c", 185 on peut supposer dans tous les cas sin hzzh, ce qui donne
h zn — cos V].
Les parallaxes des astres sorti donc cowme les cosinus des hauteurs opparenteSp
et celles de diffcrejis astres à la même hauteur sont en raison im'erse des distatices. Les parallaxes sont nulles au zénit , elles ont la plus grande valeur à l'horison, où h:zz—: c'est ce qu'on appelle parallaxe horlsonihle. Nous la désignerons consîarnment par PI, et la parallaxe de hauteur -pELV h, ensovte que H zz — et // iz: II cos y\ : la dernière formule suffit pour trouver la parallaxe h pour chaque hauteur y), la parallaxe liorisontale H étant connue.. Il est visible que la hauteur apparente SBL {Fig. 34-) est toujours moindre que la vi^aie SELj ou que la parallaxe abaisse les astres. Ayant donc observé une hauteur y\, on en conclura la vraie hauteur V^^^ il -j" H ^^^ "^^ ^^ r/zz: n -j-sin llcos 7). Si l'on veut porter la précision^ jusqu'à la troisième puissance des parallaxes, on a sin h zz: sin H cos y) zz: cos v) (H — f)^ ^^^^^ ^^"^^
H^ cos^ Tj, donc h z=. sin h -j- -—- — :=rH cos 7) — — cos 7] sin* v) izi H cos y\ — •
— sin 7] sin 1 t], ou A zz: H cos t) — —- (cos y) — cos 3 t]"). On verra dans le §.
suivant, que même pour la lune, — est zz: o'^j o4 : on peut donc, dans tous les cas,, l'aire sans erreur sensible,
h :zz H cos ?!.
§, 196. La hauteur qu'on aura calculée par une àes méthodes précédentes,, est celle que l'on verrait du centre de la terre, pour lequel toutes les tables sont construites: on connaît donc ■>/, d'où l'on conclura la hauteur apparente tjizzti' — A zz; tj' — sin H cos t). Mais la hauteur r\ étant inconnue^
il faut l'éliminer du dernier terme, ou il faut exprimer h par AGSizzt]'',
-^n^ ' BC.smBCS i-*ûur cet ehet, en a tang BSCizz — —— ^TT? 5 ou
sin H cos 7^''
X — sin H sxnrf
Or H n'étant^ pas plus grand que 1° , H"^ sera tout au plus ziz o'',02 : développons donc l'expression précédente jusqu'à, la troisième puiesance de H
L I V R E IV, C H A P. ÏI. 211-
inclusivement. On trouvera tang/i=:sinHcos7)'(i4-sinHsin:')''-|-sin^Hsin^->lO,
donc hz:ïgh — ~~z:sln H cosT^'-f-^sin^ H . sin 2 7]'+ -sin^ H (3 cos7]'sin^ri''-'COs3 V)? le dernier terme étant nz: — | sin^ H cos 3 v]'. On aura donc pour la lune,
h m sin il CCS ■»') -A sm 2 71 :: — cos o y] ,
et. pour toutes les autres planètes, /z zz: sin H cos t]', ensorte qu'on peut employer ici indiiféremment la hauteur vraie ou apparente, pour calculer les parallaxes. Si l'on veut introduire H au lieu de sin H, on a sin HzirH — ^—-, sin-H~H% sin3H=H3, donc
h zz: H cos 7)'-j sin ^y{- (cos y{ -\- 1 cos 3V)-
La valeur moyenne de la pai'alîaxe horisontale de la lune est m 57^ ce qui donne H^=:o'',94'. on peut donc substituer — zn o''', 1 07 , et — zz o''',o4. Comme H est ordinairement donné en s.econdes, on aura également en secondes,
nZHii l cos 71 -+ ' SUl 2 7] ^^ T (cos 7) -4- 2 cos d 71 ) > .
On peut se servir aussi de la méthode suivante, pour conclure h de y{. Connaissant dans le triangle BCS {Flg. 34.) les deux côtés GB zn. a, CSzzr^ et l'angle compris BCSzzzgo" — V, la trigonométrie donne cette équation, tang ' — ^zz — — tang •^-^— , B étant zz 180' — f C -{- S). Cela donne
,a„g fgo»- ^) = — i ,ang(90'-ÎC-S), cot ?^i±îil|cot rs^^),
° \^"-' 2/ a 2 ' 2 1 — sin H \^ ' a/-»
ou
lang S -4- - zz: :-— lang — . Mais zz rang-^ 4^ H «
C zz 90® — y\\ et Szz: h. En faisant donc 4^° ^ iz: — ■=! 0, on aura
tang (^ -|- h) zz: tang ^tang^ (45^+ — ) , et h ziz {ù -|- A) — (J. L'équation /^ zz: H cos 71 ( §. tqS.; nous apprend que, pour les mêmes hauteurs et abaissemens au dessus et au dessous de Ihorison, la parallaxe a la même valeur, et qu'elle devient un maximum, lorsque l'astre paraît dans l'horison, r^zlO. Alors la vraie hauteur sera tj'^zt] -|-H ou 7)' zz: ïî. On trouve le même résultat
a cfis 7) • — • a sin • maximum^ "ozz(«sin7)' — r)sin7]''-|-ûCos^7l'zza — rsinT^', donc sin->i'zz~izsinlî,
par la differentiation de l'équation tan" /i zzz — — —- — : elle donne pour le
^ ^ '^ r~ci sin 7/ ^
2ia ASTRONOMIE S P H É R I Q U E
i / TT J' ^ M • j A 7 sin H cos y sin H ^,
et V^H^ dou il viendra tang /z =: — — :=z - — -zztangll, donc
!• Sl!l H SUl iQ'' COS H ° '
/iZ=:H; et V] =z; V}'' — /z zz: rj' — - H zz 0 , comme ci-dessus. En faisant yj' =z o, on troiitera tang hzzi ~ -nz sin li , d'où il suit que h est plus petit que la parallaxe ïiorisontale.
§. 197. Ayant mené du centre d'une planète, deux lignes qui touclient îa surface de la terre en deux points opposéS;, l'inclinaison de ces lignes est le double de Ja parallaxe borisontale de la planète j irais elle est aussi le diamètre apparent de la terre^ vu de la planète: conséquemment /a purallaxe honsontale d*ane planète, est égale au demi-diamètre apparent de la terre à la distance de la planète. On en conclura la vraie grandeur de la planète, quand on a mesuré sa grandeur apparente^ c'est-à-dire l'angle optique sous lequel son diamètre paraît, vu de la terre. En nommant w cet angle, et D le véritable diamètre de îa planète, Tangle — est compris par deux lignes menées de îa terre, dont l'une est dirigée vers le centre de la planète, et l'autre est sa tangente:
on a donc ?Dzz:/-tang — ou rsin —, selon que la disli.;,ce r est la ligne 2 22,
înenée de la terre au point du contact ou au centre de la planète. On a donc
clans tous les cas, sans erreur sensible, Dzurco: d'où l'on tire — zz: ,
■• a siii H'
te qui donne le rapport entre les vrais diamètres de la planète et de la terre B 0.) , . oj
— =:, — :— ?> ii S en suit encore que — ou le rapport entre la parallaxe d'une
pianéte ei son diamètre apparent est constant, Ajant donc mesuré en
même tems la paraliaxe horisontale H d'une planète, et son diamètre apparent
a>, on connaît le rapport constant — zi; — zz: A , d'où il esi aisé de trouver
~ Ha
pour un len'is quelconque, sa parallaxe Ïiorisontale TF, en mesurant son dia-
Bietre oj : en eiiei on a — zz: -- zz: — „ donc H zz: — ,.
L'équation sin H :zz •— donne — zz: ;■ par ià on trouve an moyen de--
îa parallaxe horis-ontale d'une planète, sa disiance au centre de la terre par rapport au demi-diuiiièire de la terre. Ainsi les parallaxes donnent le rapport des distances de toutes les planètes à la terre, et par conséquent de leurs distances -entre elles>' et au soleil, ce qui donnera l'échelle de tout le système solaire, quand on aura déterminé le demi- diamètre de la terre. par la mesure d'un degré de sa surface. On voit donc, de quelle importanct^ est la lliéorie des parallaxes pour ie système entier de l'astronomie.
L I V R E IV, C H A p. IL 2x3
§. 198. Le plan CSB, dans lequel sont situées les lignes C S, B S, c'est-à-dire, les lieux vrai et apparent de l'astre, est le plan vertical par S: Feirêt entier de la parallaxe consiste donc a diminuer la hauteur d'un astredans son cercle vertical, sans le faire paraître hors de ce cercle, c'esl-à-dire sans changer son azimut. Il s'en suit que, Fàstre ayant été observé au méridienj la parallaxe changera sa déclinaison, mais non pas son ascension droite, parce que le ïnéridien est à la fc^s cercle horaire et vertical 3 il s'en sviit encore, que la latitude aussi bien que la longitude est changée par la parallaxe, vu que Fécliptique n'est pas coupée perpendiculairement par le méridien. Pour trouver tous ces changemens, on n'a qu'à corriger la hauteur par la parallaxe suivant ks formules précédentes. Cette hauteur corrigée donnera la déclinaison corrigée,, laquelle, étant combinée avec l'ascension droite observée, servira à calculer la vraie latitude et longitude. Mais si la planète a été observée hors du méridien, on doit avoir observé en même tems son azimut ou son angle horaire : dans le .premier cas on a l'azimut vrai , et là pai^allaxe donne là hauteur vraie. Dans le second cas, l'angle horaire est ordinairement trouve par le tems que la planète emploie à parvenir au méridien: donc, le mouvement diurne étant uniforme autour du centre de la terre, et non autour dii lieu de l'observateur, la pendule donne toujours le véritable angle horaire. Ayant donc corrigé la hauteur par la parallaxe, on s'en servira pour calculer, par une des méthodes précédentes, la situation de la planète relativement à féquateur et à fécliptique. Réciproquement, pour calculer le lieu apparent par le lieu géocentrique, après avoir trouvé la hauteur vraie, et l'azimut ou l'angle horaire vrai, on corrigera la hauteur seule (§. 196.}^ et fon se servira de c|54= éiémeus,. pour calculer la déclinaieon, latitude, et longitude apparente*.
ài4 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE
CHAPITPyE iil
Calcul des parallaxes dans le sphéroïde elliptique.
§. 199. Oi la terre n'est pas supposée spliérique, le calcul des parallaxes devient plus compliqué par deux raisons. Les formules pour la sphère (§. 195. 196.) sont extrêmement simples, parce que le rayon de la terre a est constant, et que la ligne verticale B V passe toujours par le centre de la terrC; ni l'une ni l'autre de ces suppositions n'a lieu dans le sphéroïde elliptique. Dans ce cas la quantité a elle-même est variable, et il faut la déterminer par un calcul particulier, pour chaque point de la terre, de plus, la direction de la pesanteur qui est perpendiculaire à la stirface , ou la ligne verticale qui sert à déterminer la latitude du lieu et toutes les hauteurs, à l'aide du fil-à-plomb, ne passe point par le centre de la terre, mais elle fait avec le diamètre de la terre diiférens angles^ VBC, qui ne sont égaux à 180 degrés, comme dans la sphère, que dans deux cas. Nous allons donc déterminer ces deux élémens qui sont la base de tout le calcul elliptique.
§. 200. Soit (lig. 35.) AMV un quadrans du méridien elliptique, G -îe centre, P le pôle, A l'équateur. La ligne VME qui est perpendiculaire à l'arc elliptique 'en M, détermine ce qu'on peut appeler zénit apparent V {yei-tex) du lieu M, au lieu que le rayon de la terre CM indique le zenit vrai Z (§. 25.). Les deux objets qu'on cherche ici, sont donc le rayon CM:zr?, et la diiférence entre le zénit vrai et apparent, ou l'angle VMZmco. En nommant a le rayon de l'équateur C A, —a le demi-axe C P , (3 la hauteur du pôle du lieu M = 90* — V E P, et x, j, les coordonnées C N, N M, on aura
L I V R E ÏV, C H A p. Iir. aiS
Il s'en suit 2^;=: .x^ +j- — -^ a^ -f- i i) ^ = ; « , ou eii
multipliant en haut et en bas par m'^ cos^ (3^
' m4 — m^ (m^ — ?i^) sin^ P On indique ordinairement le rapport des deux diamètres de la terre de manière que les nombres m et n ne difFèrent que de l'unité: ainsi on a nzzzm—'i donc m"^ — 72^ zz: 4 m^ — 6 m^ -{- ^ m — i , et m^ — n^ zz: 2 m — i . En substituant ces valeurs dans la dernière équation, il viendra .
^ m^ — (4 vi^ — . 6 m^ -f- 4- 1^ — 0 sin^ (3
a^ m4 — m^ (2 m — i) sin^ p ''
Suivant les liypolhèses précédentes (§; 191.) la plus petite valeur de m est i8oj d'où il vient -3=1:0,00000017. Il suffira donc de développer l'expression
précédente jusqu'aux termes de l'ordre -^r, ce qui donnera 4- 6
I— — ' sm
(3? ^i+f- — ^\in^(34-4sin4p?
iz: I — — sin^ G -|- -^^- (5 — 4 sin" (3), dont la racine est
sin^p^ 5 sin2 (3 cos2 [3 (sin p)2 5 (sin^ p)2
- =: I ^ — - -1 ^ =11 — ■'^ 1 ^r — - — , conséquemmeni
Cl f ■ . r.\i 5Tsin2G)2\
c— '5=-Ksinp)=^ S— ^ •
-wt V ô m y
C'est la quantité qu'il faut ôter du rayon de l'équateur c, pour avoir le rayon de la terre z sous la latitude (3. Le dernier terme ne peut jamais aller au delà de a. 0,000019, et le plus souvent il est beaucoup moindre, de «prte qu'on pourrait le négliger tout-à-fait. Alors on aura ,
a — 2 = - sin'' G :=: — ■ (1 — cos 2 G), m 2 m ^ ' '
Cette expression est très -commode pour calculer, suivant l'ellipse ou la va» leur de m que l'on choisira, des tables qui renferment pour chaque latitude p, ce qu'il faut ôter du rayon de l'équateur «, pour avoir le rayon z sous cette latitude : nous pouvons donc maintenant regarder z comme une quantité donnée.
'^rû ASTRONOMIE êPlîî:îlîOnE
$. 201. Le petit angle wirVMZ=i:GMD est donné par là sous^ normale ISl D ziz ~ X (g. 188.). Comme elle est toujours plus petite que* :rz=NC, à cause de ji<C.m, D tombe nécessairement entre C et N, et le zenit apparent V entre le pôle et le zénit vrai Z: le zénii vrai est plus loin du pôle que le zénit apparent. On a donc co=zCMD=rMDN — MCN, MDN étant la latitude p, et tang M C N =: "^ — ^ tang (3 (§. i88.). Il s'en suit
tang co =: (^^'-^^Itangg (^m-Q sin p cos p __ ^^/ 1 V ^ , ^ 3^^. .A 7tt2-+.?i2tang2p m^ — (2m— ï)sin=*i3 am\ mj \ ^ m '/
*^" ^ P / 1^1 — 2 cos 2 p\ sin 2 p sin 2 p — sin 4 p sin 2 p sin p cos 3 p
La valeur de cette formule devient un maxinw?n , lorsque pzi:45°: alors on a tangcozn 1 ce qui donne^ en faisant suivant l'hypotlièse de Newton
~= ^-, w=z I4''58'^ 7: le dernier terme n'allant jamais à 2'', on a à très-
TC 200 r > '
peu près, cozz:^^-^, dont la plus grande valeur est - zr -^ =: i4'56''/8. Cet angle est donc proportionnel au sinus de deux fois la latitude; et il est aisé de construire des tables qui donnent cet angle pour chaque latitude p, ^n JBultipliant -^ par sin 2 G.
L'angle MDN est la latitude qui est trouvée par les observations avec Te fil -à -plomb p on pourrait l'appeler latitude appaj-ente: l'angle MCN est la distance géocentrique du lieu M à l'équateur; désignons cette latitude géocerz' irique par p'. On a donc oj = p — p', ou p' =: p — co, et tang p' =: — ^ tang pr le moyen le plus simple, pour construire des tables, est donc, de calculer pour chaque latitude p, la valeur de p' au moyen de l'équation tgp''iz: — tg P; alors on aura cozzp — p', et on trouvera en même tems une expression plus sira»
pie de z. En substituant n^tang8iz:m"tgp' dans l'équation -— -zz:— -— -'■ ^"
fc N 2' Ti^ sec^ P' n"^ ^ ■
'%h. 200.), on aura — zn ■ — — • =: . Or sm 3 =r
tg p cos p z= — tang p' cos p, d'oii l'on tire cos (p — pO zz cos w r=r
cos p f cos p' -f ^ tg p' sin pA 'zn -^^; {jî^ cos^ p' -\- m^ sin^ pO , d'où iî V^ vr- ' / n^ cos p'^
