LIVRE IV, C H A P. m. 22Î

dorme la hauteur apparente 75 rz: V — h, et Tazimut apparent ZV5:ii:a=z:

«■'-1 . En mettant p — w au lieu de (3 dans les formules I. i. 2.

(§. 34.), on trouvera immédiatement, dans le triangle ZPS, ZSurgo® — 6' et A Z S 1= a j d'où l'on conclura pareillement , A zz H cos 0' -]- i H" sin 2^', Ê! zz 0' — hp et vj zi: 0 — co cos a (§. 2o5.), ou. sans erreur sensible, vj zz: ^ — co cos a''. On trouvera- plus exactement la hauteur apparente v>, à l'aide da triangle ZYs^ dans lequel on connaît les côtés ZViz:co, Zs zn. po^ — (5j et l'angle compris V Z5 zz: 180® — a: cela donne ces V^zi: sinvi zz cos co sin () — sin oj cos 5 cos azu sin 0 — co cos ^ cos ci ,. L'azimut apparent A V 5 zz a. est trouvé par l'éqiiationi

sin a' sin a/'

tang a zz — zz: ..

sin co 1g â-4-ct)s OJ cos a ojtg 9 4- cos a'

§1 207. Les équations précédentes suffisent pour résoudre tous les

problèmes qui pourront être proposés dans le calcul des parallaxes. La parallaxe de hauteur S^zzA est la même, sort qu'on la prenne dans le cercle vertical, ou dans celui qui passe- par le zénit vrai (§. 2o5.): les distances au zénit vrai, et au zénit apparent,, éprouvent le même changement'. On conclut h de la distance au zénit apparente ou vraie, ù ou ô', par le moyen des équations /izzHcos^, et /z zz H cos ô'-j- '^ H^ sin 2$' (§. 2o3.). Les angles ^, /, sont déduits de la hauteur et de l'azimut, vrais ou appareils, y\ et a\ ou V) et a, au moyen, des équations 0 zz t] -|- co cos a (§. 2o5.) et e'izi-n'-|-co cos a' (§. 2c6.). La hauteur est toujours diminuée par la parallaxe, ensorie que la hauteur vraie est >)'zz v) -j- /?. La parallaxe d^azimul zz 2^ se trouve par l'azimut vrai a', et la hauteur vraie oq^, au moyen de Péauation 2' zz ^ — ^

^ COS^ y^

(§. 2c6.}, ou par l'azimut apparent a et la hauteur apparente tj, à l'aide de l'équation v zz -' — -^ (§. aoS.}. L'effet de la parallaxe consiste dans tous

cos ^7]-f-/j) ^-^ ' r

les cas, à augmenter l'azimut, attendu que ZV5 est plus grand que ZVS, d'oii il suit que Fazimut vrai est a'zz a — r. La parallaxe d'azimut s'évanouit au méridien, elle a sa plus grande valeur, lorsque azzgo". Les azimuts étant égaux, le rapport de la parallaxe d'azimut à celle de hauteur croit et. décroît avec la hauteur.

Le lieu d'un astre étant entièrement déterminé par sa position relativement- à l'horizon pour un tems donné , de sorte qu'on peut en déduire

sa posiiion relaiivemcni à Téquateur ei à récliplique , ioute la théorie des parallaxes^ conforme à rhjpotlièse des ir.éridiens elliptiques., est maintenant épuisée. Quand il s'agit de c£)nclui€ des oiiservations la déclinaison et Fascension droite d'une planète, ia métliode exposée ici est la plus courte: aprèsi avoir corrigé par la ^parallaxe, la hauteur et l'azimut, donnés par les observations, ou la hauteur seule, si l'angle horaire a été mesui'é par la pendule, on .en conclura la vraie posilion de la planète relativement à Téqualeur. Mais si l'on se propose de tirer la position apparente r-elativement à l'équateur, de la position vraie qu'on a prise dans les tables, on peut abréger le calcul, en cherchant immédiatement les changemens de ia diclinaisou et de l'ascension droite, qui résultent de la parallaxe.

§. 208. En nommant 6~ et ç "la déclinaison et l'ascension droite vraies de la planète, S^ et / les mêmes élémens altérés par la parallaxe^ A3'etAf les parallaxes de déclinaison et d'ascension droite, p la hauteur du pole^ i .et / le vrai tems sidéi^^l et solaire de l'observation , 7 l'angle horaire çrientaly M l'ascension droite du milieu du ciel (§. i42-); P donnera to et H (§. 201. 2o3.), donc la hauteur du pôle corrigée p'=p — co (§. 2o4.)j et l'on aura

Mzz: \S t'ziii^ t' -\- asc. droite du soleil, /=r p -j- ^ ?» ^'^^ ô' -|- A 5", • 7 zn ç — M, donc Afn:A7-i~AM.

Comme l'ascension droite du point culminant M n'est pas altérée par la parallaxe, A M n'est pas l'effet de la parallaxe, mais du mouvement diurne qui augmenté M en raison du tems. Or Tangle 7 diminuant dans le même rapport, ces deux variations se détruisent réciproquement, et il reste

A ^ ^: A 7, A 7 étant l'accroissement de l'angle horaire, produit par la parallaxe. En employant les mêmes désignations ô, ô', A, que ci-dessus, on a dans les triangles ZPS, ZP5, ^VsiFîg.m.), ZP:=:90«-p', PS^r^o»— ô-, Pszzi^o^-Ô^ ZPS = 7, ZP5=:z:7':=i:7-f-A7, SP5=a7, Z^ z=z qo" — &' , Z^nigo^— ^ Ssz=:h. On a donc dans le tùangle SP5, sin A7:ir''" ''"..^^ , et dans le triangle

^ COS S'' sin 7'' . . sin fe COS S' sin 7'

ZP5, siriZ5P==~^^7-, d"où il suit sinA7:z::— -^;j^^— -^— , ou en substituant sin h "zz sin H cos ô (S- 2o3.),

L ï ¥ R E ÎV, C H A P. IIÎ.- ^2^

sinHcos8^sin7'

(A) . . .. . sm A 7 iz: ^ -

En- substituant 'V + A? au lieu de V, et divis-ant pai- cos a 7, on ani'a: tg A 7 cos ô',zz:siu H cos p' (s in 7 4~ cos 7 tg A 7), partant

,„ sin H cos B'^i" 7 , / , .

B) ..... tang A7 := r . ^^ .., ^ ^ x; et / " ? -f ^ ^^

C03 0 — sia M cos p'^cos Y

L'équation (A) nous apprend, que A 7 ne peut avoir une valenr négative, que iorstjue 7' est négatif,, c'est-à-dire, occidental: dans ce cas on a ç^m § — A 7. L'^équation (B) donne le même lésuliat,. mais elle nous apprend en même tems, que tang A 7 devient aussi négatif, lorsque cos ô" est plus petit que sin H cos (3' cos 7, la déclinaison étant presque égale à- 90°, ce qui ne peut a,rriv8r à aucune planète; et dans ce cas même, A 7 ne serait pasnégative, mais plus grande que 90^, parce que tang A 7 a passé par l'infini,, pour devenir négatif. Il suit de tout cela, que l'ascension droite apparente est toujours,, à l'arient du méridien plus grande ^ et à l'occident plus petite ^ue l'ascension droite vraie.

Quoique la formule (S) soit exacte, cependant en calculant suivant elle on. trouvera parfois un résultat fautif de quelques secondes: on obtiendra plus de précision, en cherchant une approximation par une série sui-

.1 - 1 • TT Tn r • i ^ ' sin H cos G'

vant les puissances de sm H. Jin taisant pour anreger, :-^ ■zz m, le-

' cos a

quation (B) donnera

■X ziim &\ix 7(1 -\- m cos 7 -f- m^ ces" 7 -f- ^ïc?)^ et A 7 ou A p rz x ::- -|- etc.

Comme il est inutile de porter le développement au delà de sin5H(§. 196;), on trouvera A p zz m sin 7 ^ i -|^ m cos 7 -4- /«^ ( cos" 7 > ; ou en sub-

/ sin 2 7^ sin 7

stituant sin 7 cos 7 zr; ? sin 27, sin 7 ( cos" 7—- ^ — 1 zz: -. (i --j- i cos 2 7) ru:

s'in 5 7

'—z — , on aura' en secondes d'un degré, ,pv . __ /sinH;cosj3^\ sin 7 /-in H-cos(3'\3 siix27 /sin Kcos (3'\3 sin 3'7'

\^ cos 6' J %i.ni" ' \^ cosô / sin "i" 1^1 cos ô' / sin 3'' "*

Pour le soleil et les planètes le premier terme suffit, de sorte que

H cos 6' sm 7

A P zz: ■ — ^ „

cos 6

gl 209, Les triangles ZPS et ZV s donnent les équations

. cos.(5siii7 cos S"' sin 7' , , . cos ô cos ô' sin 7**

Sin z- zi: -7— zz: — — - — . donc (a) .... :zi , ec:

cos ^^ cos a cos 6< cosâ'siu7 '

„ sin^'. — siiiS'sin^'' sin ô' — sin Q' sin ^

co&Z— ~^T, — ■ ::=; ,vr-^- — ~, partant

cos i^' eus $.' cos '^' cos ô.

sin 6" cos ù — siiî ô^cos ù' z= sin (3' sin (V — $) :=z sin [3' sin h = sin (3' sin H cos d; d'où Ton tire sin ô'iiz ^-^^ (sin S — gin H sin pO^ et en substituant (ci),

sin7^(5in 0 — sin Hsin [30

• (D) . . . . tang ô' = ^ r— ^r^ '— .

^ ^ '^ cos ô sin y

Comme on a déjà trouvé A 7, et par conséquent y' ■=!: y -\- A y ^ à l'aide des

formules (B) ou (C);, on connaît maintenant ô' zz: ô~ -|- A ô", et a Sznè^ ~ 6'.

Si Ion veut exprimer tango' par a 7, on na qu a substituer — :—— — - au

i or' ^ s^n H cos j3'

lieu de sin 7' (§. 208. (A)), d'où il viendra

^. ,, sin A 7 (sin 5" — sin H sin û')

(E) tang 5' z=z r\- ,,, . ^ — ~,

^ -^ ^ sm H cos [3' sm 7

Il faut faire ici la même remarque que ci-dessus. La formule (E), quoique exacte, n'est pas commode pour le calcul; et il est plus sûr en général, de chercher Ja diiférence entre deux quantités presque égales, ô'^ S% que de les chercher elles-mêmes. On tirera aisément de l'équation (D)

tg 5'(sin7'— sin^) sin H sin p' sin 7^

(è) . . . . tang y — ■ tang ô' zz ^ — tt; ■ ,. . .^ — :

^ -^ ^ ° sin 7 cos à sin 7

en substituant donc '-^^zz:"" ^ . "'^■'^— ^cos A7-j-sin A7cot7, et (§. 208. (B))

sin 7 sm Y

. ,^ xcosô~ sin H sin 3' sctangp' ..

Sin H zr: ■ r—- — r-r , ou — :-*— =: . ^,, 7-T , il viendra

cos p',(sin 7-(-x cos7) cos ô sin 7(t -+- ;c cot 7) '

tang ô"' — ■ tang ô' iz: tang ô' { sin A 7 cot 7 — (i — cos A 7) } —^ (i . — ^ cot 7 -|- ^^ cot" 7) (cos A 7 -f- sin A 7 col 7).

^3 ^ yo ^3 a7^ x^ Or on a A7zz::r- , sin A 7Z A 7 ;: — Zla: , et cos A7Zi- z i- .

La substitution de ces valeurs donnera à l'équation précédente cette forme, tang ô'' — tang ô" zz tang è < x (i j CGt|7 >

— ^^ fi __ "^^ (i 4 ;x: cot 7) {i—x cot 7 -|- x- cot^ 7) zz: -\ fi - -) (fg S' cos 7 - tg (30 - ^ tang Ô-.

sm y \ a y 2

On trouvera une formule plus commode paur les logarithmes , en cherchant

im angle subsidiaire (p par l'équation

(c) . . . . tang (p zz tg ê' cos 7 ;

alors on aura tang S cos 7 — tang S zz ^^^ -— , donc

" " ' cos Cp cos p'

, ./ . r x(i — ix^)sin(Cp — (30 X^ , .'

(F) tang S'~ tang ô zz -^ ^^__A^!: tang 5 .

^ ^ ° ^ cos (y sin 7 cos (p 2 ^

L'angle (p est toujours plus petit que ô' ou que 3o*, parce que la déclinaison de la lune, le seul astre auquel ce calcul est appliqué, ne va jamais à