LIVRE î V, Ç H A P. III. ^ i
3o': dans tous les pays au delà du parallèle de 3o ou ag degrés, sin(0— (3) est donc négatif, et tang ô' < tang ô', ce qui veut dire que les déclinaisons boréales sont diminuées, les australes augmentées par la parallaxe, parce que X et sin 7 sont toujours de même espèce (§. 208. (B)). Les équations. (c) (F) donnent avec une grande précision, ce qu'il faut ôter de tango", pour avoir tango''; on connaît donc ô', et AôriiS — ô'.
On peut ti'Ouver Aô" immédiatement par une série encore plus commode. Les équations {h) (E) donnent "" ^ . ,/ .- = ^g ^^ — ^g ^) =^ ^^'^"^0 A ô' ::zr
[?in 5" (sin 7'— sin 7) — sin H sin 3' sin 7'] s.n H cos p' -
± 1; : : — i !__ , et eu subslituant au
cos 6 [sin H cos (3' sin 7 -f- sin A 7 f g ô" (sin ô — sm H sni jj' )]
lieu de sin A 7 sa valeur (A) (§. 208.),
sinô(sin7' — sin 7) — siii H sin [3' sin 7''
tan''' A 0 — ^^^ \ — ^ •
^\ cos â' sin 7-+ sin 5' tg ô sin 7' — sin H sin [3' tg ô" sin 7'
En faisant pour abréger, ^^^'-l, cos(7-[-"0)^^c, et substituant sin7'' — ^^sin7rr
. 7' — 7 7'-f7 . . cos ô' sin 27] , . . 2 sin V) cos 71 cos ô' 2 sm . cos -zzi c sin v), sin 7 zz ■. ::; \,A) zz ■ — — i
2 2 sin H cos p' ^ ' sin H cos jj'
et sin 7 zz sin 7' — acsinv), la dernière équation prendra la forme,
sin H [c. cos 8' sin ^ — sin 8' cos ô" cos y\\
tano- A ô" ZZ = ^^ ~ •
° cos y] — ■ c sin H cos [3' cos 6 — sin H sin jS' sin ô" cos 7}
Pour rendre cette formule plus propre à fusage des logarltlimes , on calcu-
c. coî (y lera un angle auxiliaire ^i' par l'équation tang vl/ zz: ~ , et l'on trouvera
sin H (cos (3' sin Ô — cos S' cos 6' col xL») sin H sin [3' cos f 5' 4- vi/)
tang Aô"~ ^^ : — ■ — ■ — — — ' -^ ■ ■ 9
cotjS'colvf — sinHcoSj3''cosô — sinKcoSj3''sinôcolvp cos\I/ — sin Bsin p'sînl^iS -h"^)
OU en faisant ^ --^i:/?, tang A(5"z-;z cos: ô'+vp) -^ H-nsin(ô'-f-4')+/rsin^>ô'+vp) > ,
cos U» ^ t \ / v / ^
Mais A ô' zz: tg A ô' : on aura donc
AS — -.n cos(ô- -^ 4>) S I 4- „sin (5' + ^) +■ //-/'sin^^ô'-j-vl/)— î^flilll^j '^ ^ et en développant le dernier terme, on trouvera en secondes,
sinHsiiij3''\^ sin2(^(5'-+\p) /sinHsin[3'\3 cos3(5'-f-'v}^\
,p. .. /sinHsinP'Xcos^S-f-vp) /sinH
~ \. cos \|/ / shi i" \^ co
\|y / sin 2^' \^ cos \|/ ./ sin 5" ^
■^ étant trouvé par l'équation
. 7, . , cos(7-|-§ Ap)
> (d) tang vb zn ^ — —^
et A ^ étant donné par l'équation (G) (§. 208.).
Ces formules ne sont nécessaires que pour la lune; pour toutes les autres planètes on peut se borner à la première puissance de a ^ et de sin H, ce qui donne
. , cos7 cos[S^yp) ^ sinÔ'cos'V
*S ■ — ITT^s T — = cos ô --— , donc
A5--sinH (sin [3'cos c-cos p'sin ô cos 7)=-sinH sin (3'cos Ô-sin a tang Ô+sin p^sinS" igS"}
(^ '^k. I I ^ '. ^^" ^ ( ^'" P^ """ s^" ^ sin ô') fc (sin ^' — sin 0 sin cS")
cos ô cos Ô cos ô" "^
et en substiiua-nt la valeur de cos ^ (§. 34. lîl. 3.),
(H) A ô " — /z cos c*.
Par la substitution de sin ^ S-^4-IV. 7.), Téquation (§,208.)
HcosP'sin7 ^ cos S' sin 7 , , .
^ ? — r; rz ---^ prendi-a la iorme
cos- û cos {} cos ô '
(K) Ae = ^.
cos 0
%. 210. Si P {Flg. 36/1 représente le pôle de Técliptique, on trouvera les parallaxes de longitude et de latitude par des formules tout-à-fait semblables. Mais comme le pôle de l'écliptique participe à la rotation de la sphère autour du pôle de l'équateur, l'arc PZ varie d'un moment "à l'autre, et l'angle ZPS n'est pas aussi facile à, trouver que fangle horaire; mais l'arc PS est invariable. La l'ig. 3j. représente le ciel oriental, Z le zénit vrai ou géocentrique, P le pôle de l'équateur, PZM le méridien, M l'ascension droite du milieu du cieîy H R l'horizon de Z, S une planète qui est abaissée de S en 5 par la parallaxe ^szz.h; que le pôle de l'écliptique 16 J soit en Eî au moment de l'observation, et qu'on mène les cercles de latitude par le pôle de l'équateur ou par les points soltitiaux ©E;6, et par les points équinoxiaux "YE^G;. La parallaxe de longitude est l'angle SE^^ celle de latitude est la différence entre les arcs ES et E5: l'une et l'autre se trouve comme ei-dessus (§.. 2o8„. 209.'), dans les triangles ZES, ZE5, par les côtés EZ et ES ou E5, et l'angle compris ZES ou ZE^; ES étant le complément de la latitude, il ne s''agit que de chercher ZES et EZ. L'ascension droite du pôle de l'écliptique est mesurée par l'arc de l'équateur ^©i:^ ;6, elle est di).nc de 270°. Nommant g l'obliquité de Fécliptique , p'::=P — w la hauteur du 4>ole corrigée, / et b la longitude €t la latitude de la planète, M=i5^zri5^' -f- asc. droite du soleil ( §. 208.) l'ascension droite du milieu du ciei nzY^oM,- on. aura dans le triangle EPZ,
cosEZ-cosPEcosPZ+sinPEsinPZcosZPE, et H^^'^'^' ^^^^^ZZ:^^,^.^,,,^^^^, ou à cause de PEri^e, PZ:il9o° — p% ZPË :z= 250'' - M,
L I V U E IV, C H A P. \ll,,./^ 227
cos E Z = tx)s £ sin (3^ — sin £ cos p^in M , tg P E Z zr - 3^„ , ,g p':!^,^3 , ,^„ m' Depuis les plus anciens tems les astronomes sont accoutumés à désigner la situation du pôle de Técliptique relativement à un lieu de la terre dans un instant quelconque, par la longitude et la liauteur du point N de l'écliptique, qui se trouve dans le cercle de latitude EZ passant par le zénit, et qui a été appelé le Nonegésime. En nommant donc N la l'ongitude du nonagésime, et K sa liauieur au dessus de l'horison de Z, on aura EZ^zgo'^' — ZNiz:K, et PEZinYEN — -TErziiN— "-90®. Les équations précédentes prendront donc cette forme:
(L) . . . . cosK=cos ssiTi p'— .3in s cos p'smM, (M), .«,igN=i ^^Th "
Pour les rendre plus commodes, on €herchera un angle auxiliaire cp par l'équa-
sin M sii (3'cos(? + 4;) tgMsin(£-f-Cp)
hon tang (p =1 j-— , et 1 on aura cos K=: — -^ , tang N =: — -^ 5
ZE^S — TES— TEZ^i/— N, et EZ — K.'
Après avoir calculé K et N, on n'a qu'à substituer dans les formules des §. 208. 209. EZ, ES. et ZES, au lieu de PZ, PS, et ZPS, c'est-à-dire K, 90° — è, î — N, au lieu de 90° — [3', 90" — -ô", 7, ou enfin 90' -^K' au lieu de p', b au lieu de 6', et / — N au lieu de y-, alors ^S se tra^nsformera en A b, et a 7 ou A ^ en A L On trouvera donc par le moyen des formules (B) (C) (E) (c) [cl) (F) (G) (§. 208. 209.%
sin H sin K -sin il — N")
CN) .... tans A /m ^^ — v.
^^ ° COS& — sin H sin K.COS (z — ]N) •^'
/sinHsinKYinf7~N) /sinHsinKV2sin2(Z— N) AinHsinK.\3 sin 3(2— N)
^ ;..,. .^ cos 6 / sin i^' ' \^ cos ô / sin 2''' ' \^ cos & / sin S'''' '
.-p.. ^ /7 I . i\ sin A Z (sin & — sin H cos R) ■ ,
. (P) , . . . tang (b -^ ù^ b) zz: ^ '- nz tane b'.
(/) , , . - taag K in tg b cos (/ — Nj,
tgKcosf/--N+ — ^ (p) ta; t' — — . 1 __1Z
cos —
j A — — )cos (K 4- k)
(9)....tang5— tangy — -^: ^-^T— -f^tang^,
^* sin K sin y — ]N ; cos k "^ q *
«N , /sinHcosR\co5(5+g) /sinHcosK\2sin2(5-|-^) AinHcosK 3cos5(5^+.^)
^ "" - V cos^ / sini" \^ cos ^ / sin ^ ' i^^os ^' / sin 3''
Pour toutes les planètes, excepté la lune, on aura
• ' (/O .... tang ^ z= tang K cos (/ — N),
^^ , H sin K siîi [l — N)
__ ,/^ ^ ^ cos 6 *
• .«-.x . » HcosK cos {b-h'^)
cos ^ *
La longitude apparente, l':izl^A /, est plus ou moins grande que 1& longitude vraie, /, selon que / est plus ou moins grand que N. (Voy, (O)).^
L'équation (Q) nous apprend que, y étant toujours de même espèce que sin (/ — N) (par l'équation (^N)), b est plus ou moins grand que b', selon que L"-!.'-.^ — -■'est positif ou négatif. Or v. étant plus petit que b (par l'équation (y,;),
cos K
et b n'étant jamais plus grand que 7°, si l'on excepte les quatre nouvelles planètes, il en suit que b^ b\ tant que K -f- 7° < 9°°^ o" tant que KzzEZ est plus petit que SJ'', et par conséquent PZ<6o° ou (3>3o°, comme cidessus (§. 2C9.). Au delà du parallèle de So", les latitudes boréales, ainsi que les déclinaisons, sont toujours diminuées par la parallaxe, les latitudes, australes étant au contraire augmentée;s.
gi / — N est entre 90° et 270°, h devient négatif, mais cos k, et pàr conséquent tang ^ — ian^b', reste positif. Si / := N , j est nul': la parallaxe de longitude est nulle, et celle de latitude, A/^:=i:— Hcos (Z>-[-K\ parce que
j. K (Voy. (^)). Or, la planète se trouvant alors dans le cercle de latitu-
tude EZN quelque part en S', on aura Z» ziiNS', K ^ziEZ:,. donc^-j-JKis-. go^ — Z S' =1: ^5 et A ô =1 — H cos a zi: — h.
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