LIVRE IV, C H A P. IV. a^i

que p, la longueur d'un degré du méridien, s- -iz: a -\- 5 siiâ ^. C'est l'arc du cerc/e oscidateiir, qui mesure l'angle d'un degré au centre j mais dans ce cer-cle les arcs sont proportionnels aux angles au centre, d'où il sujit

/x : 3 ^ : ; 0- : d 5, ou o 6- zn -- a p =1 o (5,

, , , , d- s a-hh sin4(3

et le rayon de courbure r zn —— zzi •

cJ (3 H-

Ce rayon prend sa plus petite valeur = — sous l'équateur, ef sa plus grandes:

sous le pôle : les méridiens terrestres sont ie plus et le moins courbes

sous l'équateur et sous le pôle. ^

§. 21 4- Il est aisé de voir, que cette recherche se réduit an problème, de déterminer la développante par la développée qui est donnée par le rayon de courbure. Soit [Fig. 38.) AMP un quadrans du méridien ou de la développante, P le pôle, C le centre de la terre, A un point de l'équateur, M un point quelconque de la surface de la terre, VMNF perpendiculaire à la courbe AMP, ou la verticale de M, Z le zénit; CAizim le rayon de l'équateur, CP=z/z le demi-axe, AB— -, PE=^-^, etMN — o les rayons de courbure en A, P, M; soit enfin BN«E la courbe dans laquelle sont situés tous les centres des cercles osculateurs du méridien, ou sa déi'ç^ loppée, qui dans chaque point N, est touchée par la ligne verticale, ou ce •qui revient au même, par le rayon de courbure MN du point correspondant M du méridien. La longueur de l'arc B N de la développée est vzur — A B :zz — ^— , et la longueur totale de la développée B N E zn

PE — ABzz -(g. 2i3.V

Voyons , quelles conséquences- on peut tirer de là. Les degrés du méridien allant en croissant depuis l'équateur jusqu'aux pôles, d'après toutes les observations, il en suit d'abord, que les diamètres de l'équateur «ont plus grands que l'axe, ou ce qui revient au même, que la terre est aplatie vers les pôles. En ellet, on aAG = CB-|-AB, PC — PE — EC, donc AC — PC zi: CE-i-CB — (FE — AB) — CE-I-CB — BNE, valeur toujours positive, parce que la somme des deux tangentes CE-f-GB est nécessairement plus grande que l'are BINE-, on a donc AC>>PC. D'ailleurs on a PE — ABrzBJNiL — 2BiSE — BNE:z;AG — PC-f 2BNE~.^CE-fCB).

Comme la terre dififère très-peu d'une sphère, BNE sera aussi peu di/ïérent d'nn quart de cercle: or dans le cercle on avirait 2 BNE zz: 3, f4 . . . . CE, et CE -|- GBin a CE; il est donc certain que 2 BNE est plus grand que CE-f-CB, d'U il suit (PE — AB)>(AC - PC), c'est-à-dire la différence entre les rayons de courbure des degrés du méridien est plus grande que celle des diamètres de la terre, ou bien, l'accroissement des degrés depuis l'équateur jusqu'aux pôles se fait dans mi plus graad rapport, que le décroisssement des diamètres de la terre.

En nommant sm ^jZHu, cos ^-zZw, on aura vul—^ ^ dvzz drzz. ^

uduzzi^wdw, et AHM=z:CHF=i=GNF — KNV:=:p. Soit BD parallèle à PE, soient KG, kg^ deux perpendiculaires à PE, infiniment peu éloignées l'une de l'autre, Nv parallèle à PE, et nommons BKzrx^ KNzzj; cela posé, on aura dans le triangle élémentaire N/zv,

K n V m (3, '^nzndv, N v =: 3 .r, v « !=: dy, partant

4 & 7^4 du . -, ^ 4 Z) n^ n.v'^ à v) 4& <9 lu [".0- -^ Tt;4'| d X "iz: u a V zn , et âyjziwavzz: z=z '-.

Les intégrales de 9^ et 3 j doivent être prises, de manière qu'elles s'évanouissent en B, où p zn o: cela donne

4&tt=5 4 2'/i~'îy^ I — nu^\ 4^(2 — 5 ly^-f-S to5)

^ 5ja' p. \ 5 5 J lô/u.

Si l'on fait [3 = 90°, ^ deviendra BDzzCE, et j=z:DEz=:BC: on a donc

Maintenant on trouvera dans le triangle GFN, où GNF =z j3,

FN — z=z ~ ~ ■ ■' , F G :=:.NG tang pzn - — ~—\ ; , donc

cos p i5 jU, i5 ft

FC— a:-4-FG --4&x^l^+^.^Jl. ^,^^ j,^^ ^.^,g CHzz:FCcot3, ou

et FH =r nz • ■ ■ ^ — '-. On a de plus NM=:m , d'où il

sin p ï5 JU. ^ /x

suit FMzi; FN-j-NMzz ^ , partant

HM=-FM— FHzz: ^ » ——^f ou bien

L I V R E IV, G H A p. IV. 233

^. 2i5. Il est aisé d'en conclure le rapport des axes m, n, du sphéroïde. En effet, on a m — AB -4-BC = --^^ti^, et nz=PE— CEzz^— , donc

m : n :: iS a -\- 'è b : i^ a -\- ^ b,

et- V aplatissement

En faisant donc (§. 2i3.) «zz: 56^53, ^zrigfïgjSa, on trouvera

^=: -^, et m :n:: 179 : 178.

C'est le rapport adopté par Bouguer, qui est parfaitement d'accord avec les dernières mesures que l'on a faites en France (§. igi.^.

On peut encore en tirer, pour chaque latitude (3, le rayon de la terre CM = 2^ et l'arc compris entre le zénit vrai et le zénit apparent, ou l'angle CMH — w. Connaissant dans le triangle CHM, les côtés GH, H M (§. 2i4-), et l'angle compris CHM =1:180° — (3, on a

z=.y {CR^^RM^-\- 2 CH . HM . Tv) = ~.y[i5.i5.aa^3oab(S'-'^u-^u'^)-\-bb^6^ — ^ou^-^i5u^)l

Comme b n'est que la soixantième partie de a, il viendra

l5a-hb[Q — 4.u'^ — u'^) 8&^i^^ (4- — 5^4— u^)

^ Ts'ix. ' iS.iS.afJ. ^

OU en développant les puissances de u en cosinus des multiples de (3,

zz:zm—-^(~ cos 2 p -|- 1 cos 4 i3)

, bb /lOI 5 25 /r,!^ i: r, * o/^^