CHAPITRE V

Détermination de la parallaxe par ohservaûorL

§.217. J- outes les formules précédentes donnent la parallaxe de lïauteur A en fonction de la parallaxe horizontale H: il nous reste donc à montrer, comment cette dernière est trouvée per les observations. La parallaxe n'étant autre chose que la différence entre les lieux vrai et apparent d'un astre, et le dernier étant donné par les observations, le problème est résolu, si l'on peut trouver par un moyen quelconqxie, le lieu vrai ou geocentrique pour l'instant de robservation. Un moyen très-simple, serait donc d'observer l'astre dans xm lieu où il passe par le zénit, et dans un autre lieu où il est dans le même instant près de l'horizon : la première obseivati'on donnerai! immédiatement le lieu vrai, parce que la parallaxe est nulle au zénit (§. igS.), tandis que la seconde donne le lieu affecté de la parallaxe presque horizontale. Mais comme les observations dans le zénit même sont extrêmement rares , il faut se contenter de comparer les observations d'un astre au méridien et près de l'horizon. La comparaison d'une planète aux étoiles fixes' qui ne sont pas affectées de la parallaxe, peut encore conduire au même but. Il en naît différentes méthodes, dont nous allons exposer les principales.

§. 218. La première méthode, et la plus ancii=mne de tontes, n'est applicable qu'à celles parmi les planètes, dont l'orbite apparente est un grand cercle, donc à la lune et an soleil seulement j mais pour le soleil elle n'est pas assés exacte, car la parallaxe de cet astre est si petite, qu'elle demande des méthodes particulières qui seront expliqirées plus bas. La projection de l'orbite lunaire sur la sphère étant un grand cercle, elle coupera nécessaire-

ment tous les grands cercles, comme l'équateiir et Técliptique, en deux points diamétralement oppose's, en s'éloignant de ces grands cercles de la même quantité vers le nord et le sud. Supposons donc que la lune ait élé observée au méridien en / {Fig. 3g}, et au bout d'un demi-mois en m, lorsquelle élait à sa plus grande décli; aison boréale et australe, et soit A C Téquaieur: nommons les hauteurs observées B/zut], Bmzn:-/)', et supposons que les lieux vrais soient L, M: alors les déclinaisons apparentes , ou données par les observations, seront A/z=:B/ — BAurv) — 9:°-f-P' A m =190° — (3— 71', et les déclinaisons vraies, ALztzv) — 90*-|-[3-j-Hcos7i, tjAMzrgo* — [3 — '/]' — H'cosV, H et H' étant les parallaxes horizontales dans la première et dans la seconde observation. Or on a, par h}/pothèse, AMmAL, d'où Ton tire, en supposant ir=z:H, la parallaxe horizontale

Hi:nIJ"°-'P~^-~^'--.-fA).

, cos y) ■+ cos y)

Nous avons supposé, que la parallaxe horizontale, ou la dislance de la lune à la terre a été la même dans les deux observations, et que AL, A M, étaient précisément les limites de la déclinaison. Le dernier point n'est pas d'une aussi grande importance que le premier, attendu que la déclinaison vers les limites change si lentement, que la théorie de la lune donne assés exactement les déclinaisons vraies pour les deux instans. Cest le procédé doiît se servit Ptolémée à Alexandrie , où la lune passe à une distance de 2.' Y 3o'^ au zénit, lorsque sa plus grande latitude boréale arrive au solstice d'été, et à la distance de 5o° 55', lorsqu'au bout de neuf ans, elle arrive au solstice d'hiver. Ptolémée supposa la parallaxe nulle dans la première obser?» vaiion I en elFêt, elle n'est que de 2' à la hauteur de 68", ce qui élait imperceptible pour ses insirumens. Pour la seconde observation il calcula, avec les é.émens de l'orbite lunaire , la distance vraie au zénit , et la trouva de 49* 4^', ensorte que la parallaxe à la hauteur de 39° 5' était de 50^0^^^-^^° ^S/ziz. 11" 7', ce qui donne la parallaxe horizontale zz: 7-,^^ ^^ ^6' 19'', et la

^ cos 39° 5

distance de la lune =3 9,83 rayons de la terre, ou ci'dprès Ptolémée ^'9.75 (^),

§. 219. Cette méthode donnera un résultat plus juste, par le procédé

suivant. Après avoir obs^^rvé la lune au méru'ien plusieurs jouis de suite,

(Jj ^imag. Lib. V, C. ij., i3.

L I V R E IV, C H A p. V. 237.

on povrrra déterminer , par le changement diurne de la liauteur méridienne ou de ia déclinaison, et par les iems des passages, lïnstant de la plus grande déclinaison, et Tangle horaire de la lune dans cet instant, où je suppose que. la lune a été observée hors du méridien en / {Fig. ^0.). On connaît donc sa hauteur Bl—Vi ou V/— 90^ — t], PV^rgo'^-.p, et VPL ou VF/— 7, d'où Ton conclut l'angle P/Vzi:^, et la déclinaison apparente ô'— go"^'— P^ (§• 34. IL I. 3.). Cela donne la déclinaison vraie,

6 zi: y-j- h cos ^ zz: ô'-|- H cos v) cos ^ (§. 209.). En désignant par s, e", H', V, ^', les mêmes quantités relativement à la plus grande déclinaison australe dans la seconde observation, on aura de la même manière, e =: s' — H''cos r)' cos $": d'où l'on tirera, en supposant H'^z:H, à cause de a zz: ô", --

cos /•) cos ^-f- cos ,) cosç

Comme nous n'avons tenu compte que du premier terme de la parallaxe de déclinaison h cos ^ (§. 209.), cette formule n'est qu'une approximation qui, par rapport à la lune,^ est susceptible d'une erreur de i'; mais il serait inutile, de lui donner plus de développemeni, parce qu'il y a des méthodes plus exactes, La Variation de la distance de la lune d'une observation à l'autre, oa la différence entre H et H', demande des corrections qui, supposant une connaissance parfaite de la théorie de ia lune, ne peuvent être expliquées ici. Mais il ne sera pas superflu de montrer ici^ comment on pourrait trouver ces corrections par la mesure du diamètre de la lune. L'équation wzuAH (§• Ï97) 1^0 us apprend, que les diamètres apparens des astrts, à ditrérentes distances, sont en raison de leurs parallaxes horizontales. Ajant donc mesuré, à l'époque des deux observations,, les diamètres apparens de la lune, D, D', vit

aura H' zi: — H, ce qui transforme les équations (A) et (B) en

, ,So° o 3 (-7) -+- >lO £' Ô'

H=z 4r, et H = -; ;

cos y] -[ cos 7j' cos 'i <:os ^ -\ cos r\ cos ^'

C'est la parallaxe horizontale H pour le tems de la première observation.

La première formule qui se rapporte aux observations faites au méridien , peut encore être corrigée de la manière suivante. Pour la simpUtiet . .- D''

d'abord, faisons — cos vj' zz cos rj", ensorte que

H zz: — ———7, — >7 .... (C).

cos -, cos ■

Comme il n'arrivera guères, quelles déclinaisons, observées au méridien, soieni:

précisément les limites, supposons que ô', 0^, soient les déclinaisons qu^on a

tirées des tables, ou calculées pour' i'époq-ue des deux observations. Ce calcul

suppose que Ton connaît l'inclinaison y\j de rorbile lunaire relativement à

l'équateur, le point cp de leur commune section^ et les deux ascensions droites

f, /. Les observations ajant été faites les jours où la lune était à sa limite

horéale et australe, ô" et ô' seront de nature opposée, mais peu. différentes

de vj/. On aura donc [I^/g. 3 g.) A L z= ô", AM=zô^ ZA — Z/ — /L-fAL —

90 « 7] ^ H cos 7) -|- Ô , et Z A =1 Z j?i — m M — A M = 90^ — t]' — H cos 'f{' — i"'.

En comparant ces deux valeurs de Z A, on aura

.0 zi: >î — y{ — ô' — 5' -j- H (cos v)' — cos ->y05 partaid:

H HZ — — ^—-—. — .... (DV

2 sm sm ^

Les angles 75, >]'', r(\ ç, ( , ont été immédiatement observés, les deux preniiers par les hâuicxus^ les d-eux derniers par le tems; les angles ^^ ô'^, sont tirés des tables.

§. 220. La seconde métliode est fondée sur ce principe, que la parallaxe d^iiscension droite est nulle au méridien (§, 198.): elle consiste donc, à olDserver Fascension droite vraie au méridien, et l'apparente hors du méridien^ la difïérence donnera la parallaxe d'ascension droite, d'où l'on -tirera aisément la parallaxe horizontale. Le mo^-en le plus simple est, de comparer plusieurs jours de suite la planète à une étoile fixe au méridiens comme on n'a pas besoin de connaître l'étoile, on en choisira une qui, ayant à peu près la même déclinaison que la planète, traversera la lunette, sans qu'elle ait été -déplacée de sa position dirigée vers la planète. Les tems écoulés entre les passages de la planète et de l'étoile au méridien, donnent la diiTérence de leurs ascensions droites d'un jour à l'autre;- et du changement diurne de cette différence, on conclura, à l'aide des sejcondes difféi'ences s'il est besoin, la vraie différence pour un ,tems quelconque intermédiaire. Maintenant on n'a qu'à comparer les deux astres près de l'hoTizon, .en leur faisant traverser le réticule.