LIVRE IV, C H A P. V

ce qui donnera la diJïëtence apparente des ascensions droites (§. 62. — 65.), laquelle, éiani: ron! parée avec la vraie diilerence qiron avait calculée pour l'instant de rûbservaiiun, donnera la pai-allase d'ascension di'oite d§. ïl nous reste à en conclure la parallaxe liorizontale. Pour cet effet, l'angle horaire > est donné par le lems écoulé entre Tobservation et le passage au méridien.

Or, d 9 étant :rr ^ :^. 208J, et sm <^ iz: ■ ^§. 04. IV. 1.), on aura

CXJS Ô- COS 7]

dpcviS ^^ h d p COi s ^ . , .. . s- . . f

hzzL—^ — ■— - , et H HZ = — - — : — r-. La déclinaison è est trouvée par

sin^ COS 7] eus p sm /

les hauteurs au méridien, ou pav la compai'aison avec une étoile dont la déclinaison est connue. Comme" ces formules ne renferment que le premier terme de la parallaxe, elles ne sont pas applicables à la lune.

§. 121. La troisième métîiode suppose deux observ'ateurs trés-éloignés l?un de l'autre clans le m.ême méridien, lesquels, par conséquent, observeront la cuimination de la lune dans le même instant. C'est par cette méthode, que la parallaxe de la lune a été déterminée avec la plus grande précision. Soit {Fig. 4'-) PA/j le méridien commun, dans lequel les lieux des deu.x ©bservateurs M, N, sont situés des côtés opposés de l'éq^uateur C A5 soient P, p, les pôles, et L la lune dans le méridien^ et supposons que les lignes v^erlicales VM, 'uN, rencontrent le diamètre de l'équateur en m, n, et la ligne CL— r qui joint les centres de la terre et de la lune, en \i, v: CMZ, CNs, sont les lignes dirigées vers le zénit. Les latitudes des deux lieux AmViz:(3 et Anvuz^', donnent les raj ons de la terre CMzzis, CNzizs', et les angles VMZzzCM/^îZZco, et CN«i=:w', selon l'hypothèse qu'on choisira relativement à la figure des méridiens. Les observations au méridien donneront immédiatement les distances apparentes au zénit apparent^ VML— 190° — >], et •z;]SlLzz90° — V, donc aussi ZMLzzrgo" — ->■) — w, gNL 11:90^ — t^' — oj'. Maintenant on a

V' ML =: V;iL-|- CLM, rNL = ^'vL -f CLN,- V)xLrC|j,,'?2-AmV-AGLz[3-ACL,i;vL = C/2v + ACLzA/2^;+ACLz:p'+ACLj. d'où il suit

90''— 7i=z[3 — ACL-J-CLM, et 90°— y)'=z (^'-f A CL -j- CLNj: et: la somme de ces deux angles

24o ASTRONOMIE SPHÉRIQUE

(i).... i8o« — (Yj-f V)=:(3-i-(3'-fMLN/ Or on a

sinMLC=i:^i^^iMïLIl-îf!!lil±ii\ et siiiNLC =: ^'^"^ ^^'^^'^

CL r r

Comme les angles MLC, NLC, ne sont pas plus grands que So', ils ne

difFèreront de leur sinus que de 0^^^,0002 tout au plus: on peut donc les

substituer pour leurs sinus , sans erreur sensible. On aura donc leur somme

(^) . . . . M L N == l^^:iil±ii±^l^^^ (par l'équation (i)); d'où l'on tire

2 COS (V) -f-Oj) -fz' COS (7]'-J- W')

'*"" 180'^ — (>)-+. 7iO — lP H- (3Ô Les ^parallaxes horisontales H, H'', pour les latitudes (3^ (3^, sont donc données par les équations suivantes (§. 2o3.):

/Dx . „ z 2(180'» — 7] — -/)'— p — (3') . • rr/ ^^ ' TT

(^) . . . . sin H =: - =: — ^^ ^ r-r— ^ , et sin H' iz: — sin H,

V 2, COS (7]H-Cl))-+- Z' COS (7}'-l- W') 2

ce qui donne la parallaxe sous l'équateur te, par l'équation sin ce zn

(§. 2o3.), donc

... . iao°--7i — V — p — (3' (4) . . . . sin œ :zz < ; r — /-, , — r^*

Nous avons supposé p et p' de nature opposée. Si N est du même

côté de l'équateur que M, mais entre A et B, ensorte que p' devienne né-

gatif, et ô' > p', on aura sin œ z=l ; — ■ — r- — -, —7^- — ^. Si N tombe

entre B et M, ^'NL=Z9o• — y{ devient négatif, ou tj'^^o*, attendu que, N passant par B, la lune L passe de l'autre côté du zénit, et la hauteur tj' au dessus du point sud de Thorison devient plus grande que 90°: en désignant donc par y{ la hauteui sur le point nord, qui est plus petite que 90*, il faut mettre i8o* — -V à la place de y{ ^ et — '<J avi lieu de -|-w''j on aura donc sinoszz- ~ — -r^^ \ t— Enfin, si les deux lieux M, N,

2; cos (t] -f- oj) — 2; cos (y)' -f- OJ ) '

sont du côté de l'équateur, opposé à celui de la lune, p est négatif et v)^90°: en désignant donc par vi la hauteur qui est moins grande que 90', on trouvera de la même manière, sm.œzii—, 7—7 7; ;; 7= Lom-

z'^cos (>]'-+- w'j — 2 cos (y) 4. oj)

me cette expression est identique avec la précédente, on voit qu'il est indifférent, si la lune est du même côté de l'équateur que les deux lieux^ ou du côté opposé.

L I V R E IV, C H A p. V. a4t

La supposition, que les deux observateurs soient précisément dans le même méridien , bornerait cette méthode d'une manière qui la rendrait toutà-fait inutile. Mais il suffit que les deux méridiens soient peu éloignés l'un, de l'autre, par ex. de 20 minutes, et l'on verra aisément, comment il faut s'y prendre, si la lune passe au méridien de N plus tard qu'à celui de M, par ex. de 20 minutes. Ayant observé les hauteurs méridiennes de la lune plusieurs jours de suite, on trouvera par le moyen du changement diurne de la hauteur , de combien elle change en 20 minutes , et par conséquent la hauteur que l'on aurait observée au méridien, dans le même instant où l'observation a été faite en M. Cette hauteur sera mise à la place de ri', dans la formule (4).

§. 222. La méthode précédente demande des arrangemens qui ne pei*mettent pas de l'employer souvent. En voici une autre qui peut être employée dans tous les cas, et qui sert à déterminer la parallaxe par les observations de peu de jours, avec une grande précision. Elle consiste, ainsi que la seconde (§. 220.), à observer la planète au méridien plusieurs jours de suite, et une fois dans l'intervalle aussi pi-ès de l'ii^orison que possible. Les observations méridiennes serviront à trouver, par interpolation, pour chaque tems intermédiaire^ l'angle horaire de la planète, et la hauteur qu'elle aurait, si elle se trouvait au méridien dans cet instant^ et le plus souvent les premières différences suffisent pour l'interpolation. Soient donc r{ , y\", les hauteurs observées aux deux passages consécutifs^ i\ t' ^ t, les tems de ces deux passages et de l'observation intermédiaire, y\ la hauteur méridienne qui répond au tems /, et 7 l'angle horaire. On aura donc

et i"^ t! '.t — i : : y)" ^ : yj — V, donc >] =: ^73;^, (V'— V) -j- W, Oiâ

On trouvera donc par interpolation la déclinaison dans l'instant /,

(3)....ô=:v,-(90^-(3), qui est affectée de la parallaxe A7)zz:Hcos yi, La déclinaison vraie sera donc ô-f-^^ — '^— '(90'' — P)-l"Hcos-/i. Soit la hauteur observée loin du méridiea

o43 ASTRONOMIE S P H É R I Q U E

:zzô, et nomiïions é' la vraie hauteur inconnue: la parallaxe de hau'teur sera>

h:ziB.cosùzizû^ — $-, ainsi tout 3e réduit à trouver 6'. Nommons $'^ la hautetir que l'on trouvera par le calcul, en y employant la déclinaison ê;, et Q'^-\-AÙ^'' la hauteur vraie, de sorte que 0"+Aô''=:ô'. L'équation (§. 34. I. i,) donne (4~) . . . • sin è'^'zz sin p sin ô' -|- cos [3 C05 7 cos 6'.. ^ En mettant au lieu de 0 la déclinaison vraie ô -|-^"0, on aura la hauteur vraie, (5) .... sin {ù" -\- A $'') =: sin (3 sin ^ô^ -L- At] -j- cos (3 cos 7 cas (5' -\- At]). Cela donne (5) — (4\ (6 ) sin ( $"-h A$'^) - sin /'z sin [3 [sin ', ô' + At]!" - sino'] - cospcos^ [ cosô' - cos(5' + At}) Jv

Le premier membre de cette équaiion est

(a e"]"^ . sin A 6'' cos ô'^ -— sin e^' ( i — cos A è") =1 sin A i)''' cos 0'' — ^/ ■ sin â'', ^

en négligeant la quatrième puissance des parallaxes. On trouvera de la mêmer

manière le premier terme du second membre msinpf sin A7}cosâ^ sin5"L

et le second terme zz — cos p cos? (sin A yr sin «3 -| ^cos5). En rassemblant

tous ces termes, l'équation 6) deviendra

sin A $"■ cos 0'^ — -^^ — sin e'^zn sinp I sin A v) cos 0" sin Si

— cos (3 cos 7 ( sin A y\ smô -\ • cos 0 j ^

sin Aa'''cosô''=:sin ATjsinA sin ^'' -\-- ^sina''^

et en. divisant par col'ô'', et mettant A 6^'', Ayj, au li«u de leurs sinusy

(7) Aô'' zz: ÀTi r, ~ tang ê"-f- ^-^- tang ^ '. ^^^

- Cette é'quation donne à peu près A 0''= A t) •^-^— : en négligeant donc la troisième puissance des parallaxes, on peut substituer dans le dernier terme

A r''' HZ A 7] ^ — --, d'où il viendra

cos a''^

sin A A r,^ sin à" (cos^ Q'^' — sln^ A) A 6^'= A 71 — — . —^ =. -^.

cos a ' 2 COS*-* ô''

Or nous avons vu que Ai^'^zziô' — ^"zz:^ — ô"-|~Hcos^5 et AyjzzHcosT): §n substituant ces valeurs, la dernière équation deviendra

, ^^ sinAcosr} H^ cos^ yi sin e^' (cos^ é^'' — sin^AV

H COS ô =: r — ô 4- H -—' ^ ~^— — -W-^ ^3^,

sin A cos y\

OU en faisant ces ô ■ —

cos ô'*'