LIVRE III, C H A P. VIL 19g

en : et — . Les équations précétlentes prendront donc cette forme*.

L fi. zi: £ — ■ 'V sin e, II. z zz. a (^i — 7 ces t)j, ÎIL taiig —m tang— y -

Il est visible que ces équations prendraient la même forme , en faisant 'V négatif^ et il est aisé d'en voir la raison. Si rexcentricilé CS{Fjg. 37.) est négative, elle tombe en CF du côté de l'aphélie qui, par conséquent, devient le périhélie. On en tirera cette conclusion très-importante, que toutes les équations, au moyen desquelles on trouve le rayon vecteur et les anomalies^ doivent nécessairement être telles, qu'il soit indifférent, si l'on prend 7 négatif, ou si l'on ajoute 180* à tous les angles e, /x, v. Duns le premier cas, les seules puissances de 7 changent de signe, qui ont un exposant impair, 7, 7^, 72^i-f-î. cians le second cas, les seuls signes qui changent,, sont ceux de» sinus et cosinus des angles multipliés par un nombre impair, comme /x, 3 /Xp (2 ;ï -|- i) /x, parceque les sinus et cosinus de 2 (180**-)- /x) :zz 36o®-f- a /x, et en général de 2 «(iSo"-!- fx) zz;/z.36o'-|- 2«.|x, ont le même signe que ceux de 2 jix ou do 2«.ja. Il en résulte cette proposition très-remarquable, et importante pour les recherches suivantes, qu'en développant les équations précédentes en série, ces séries auront une telle forme, que tous les termes qui renferment un angle [in -\- 1) ix , seront multipliés par des puissances d'un degré impair de 7 ; et que ceux qui renferment un angle 2«.ju,, se trouveront multipliés par des puissances d'un exposant pair. On verra que c'est effectivement le cas des séries précédentes, ainsi que de celles que nous allons trouver.

§. i33. En multipliant la vitesse apparente ou vraie dvzupSq [Fig.3'],') par zzzzSp, on aura l'arc pQ, d'où l'on conclura la vraie vitesse linéaire pg~zpQ.&ecQpçzizzdv.secQpçi:z.ds. Or, si pr est parallèle à AB, on a

Ungçprzz^zz:^^, et j^ — -Ça'' -^ x^\ donc

^2 h h OC

jfdjzz=-~ xdx, Gl lang qprzz —y On a d'ailleurs

tang rpSziz tang p S M =r -— zn -^ — , d'où il suit

„ , fc , X a^ y"^ -h b"^ e X -i- b'' x^ b'^(a^ + ex) èh

ang Sp a :^ tang {i5pr-\-qpr)zz: —r— ; — z— -, — r z:z — »

aoo A S T R G N 0 M ï E R A T I 0 N N E L L E

c y Or SpQ étant un angle droit, on a tang Qp 9=: cot S/? 9 = — , et

secQpq- ^^ =:: ^ ,

OU k cause de xrzccosazz : ;^. 129. (4 }' ^°^ ^^ ^^"

I — i eus V "" ^ ^

y .' I — a 7 cos V + 7^) sec Q p o ru: —^ — ,

ce qu'il faut multiplier parsBu, pour avoir 85, jetant ^^^Y^ZYco^^^' ^^^' ^'^'

et' d V :zz — ^-^ '—. Il résulte donc la (--itesse réelle ou linéaire,

/i — 2 7 co;t'-f-72

Dans l'aphélie A, 3szz:a3,u. y — -— est un minimum^ au périhélie

d s zn ad }j.y — -T- est un maximum. La plus grande vitesse est donc à la plus petite, comme i-]-7:i — 7 = i\S:BS (§. i25.): la plus grande est à la vitesse moyenne a 3 a, comme V (i -f 7; : V (i — 7) =z VaS : VBS, et la plus petite est à la moyenne, comme T BS à "V AS: la vitesse moyenne est donc la moyenne proportionnelle entre la plus grande et la plus petite. Les deux extrêmes des vitesses réelles du soleil sont entre elles comme 1,0168 : 0,9832 iz: I : 0,967.

§. 134. Le problème, où le tems ou Vanomalîe moyenne ]i est donnée, est d"un usage beaucoup plus fréquent. On peut le résoudre, comme le problème précédent, par une méthode indirecte ou directe. La première se sert de l'anomalie excentrique £, comme d'un angle auxiliaire, pour trouver le lieu vrai à Tnide de Téquation ,a = s -|- 7 sin s (§. 128. (2)).- Mais, /x étant donné, il y a proprement deux inconnues, e et sin t; le problème serait donc indéterminé, si l'on ne pouvait éliminer Tune ou l'autre de ces quantités: ilfaut donc exprimer le sinus en fonction de Tare, ou réciproquement, ce qui conduit à la quadrature du cercle , de sorte que le problème est transcendant. On lui a donne le nom du problème de Kepler, qui le définit en vrai géomètre ainsi:,, aream senùcirculi ex- quocunque puncto diametri in data ratione