LIVRE ïîï, C H A P. Vn. ao

•0x on a généralement I (i — x)ziz — x- >- — — .... — — , donc

Z(i-Xe-^>'-^)— /(i — Xe^>^~ïj — X(e

f,xy — î p— jcy— I

:®t en substituant ::^2sm.x.

(A) ..... V z:r,5 -4- 2 ^- siîi s -4 — X^ sin 2 g -f- -|~ — X^ sin ïs j

î s'étendant à tous tes nombres entiers positifs.

Maintenant, v étant donné par e et sin^E, il s'agit d'exprimer g et -sin i e en fonction de fx et de 7 , ce qui se fera à IVide de Fcquation ï. Or ju. étant donné, le problème est réduit, à exprimer e et sin e en fonction de 7, quelle que soit l'excentricité de Torbite, /x étant regardée comme constante, de sorte que les coëfficiens seront composés des sinus des angles multiples de ;x : car il s''agit de trouver v en série qui procède suivant les puissances de 7. Il faut donc regarder, dans féquation ï , jx comme con» stante, 7 et e comme variables. Cela posé, sine étant une fonction de 6 que je désignerai par — $ (s), il s'agit de tirer de Féquation I, ou

(:ï)....o=:£-f 7. (?)(£) — /x,, une fonction quelconque de £iz:4'(£), développée suivant les puissances de 7; et l'on sait, que les fonctions ^ (s) qu'on cherche ici, sont s et sine, Ecrivons pour abréger, (p, 4», au lieu de cp (e) et de v}/ C^)*

Si pour une certaine valeur de 7, savoir yzzib, \|^ (ê) devient = c^, ©a- sait par le théorème de Taylor, que pour chaque autre valeur 7 zi:^ 4- A il viendra

Or si 7 est nul, féquation (i) donne £ = M-, sin / £ znsin j /j.., et en général 4/ (e)zi:\{^ (/x); et dans le même cas on sl b ziz o , donc y z=:h. Désignant

donc par m, u^, u^,.^..u^, les valeurs que 4, —^^ JyTt YyK> P^^^'

nent dans le cas où 7 m o, on aura

(2) .... 4 (£)=:« -4-7 . «,4- — .z/^-f . . . . 4-, g^^i^"n- Soit B(p — (p\ds, d (^' z=: <p'\ d t, etc. d^zn^'.de, d ^' ziz y\^'' , d i t et ainsi de luite, on aura, vu que £ est fonction de 7,

Les différentialions successives, douneroat donc

'±-^^ 'J.. i:'-±^r(-T-\-^'.'-^' ^^)dy^~'^ \^yj ^ ^ dy dy^^^ ày^

^^â — H^ [^■^j i-^t (^^^y a72^ ^ U7V ^^^ ^'V d7^^^-à74?' et ainsi du. reste.- Ea différentiant successivement l'éq^uation. (i), on aura, Q.:zii{ï-^y.(p')ds~]-(p.dy,,

o =r.(L -^ y ,(p')dd £ -h 7 . cp" . a £^ H- 2 cp' . 9 7 9 £ j

o — (i -4-7 . (î)0 3^ £ + 3 7 . cp'^ a £ a a £ 4-7 . $"'. a ^^ -1-3 cp'. a7 a a £ -f^Scp". a 7 a t^r

ct ainsi de suite. Pour avoir les valeurs de u, u^, eic, il faut faire 7=i0j, €6- qui' transibrjiiera. les. dernières éq[uations en celles-ci:

oz=a£-4-ô»a7f orz:.aa£4-2cp'.a7a£; o=:a3£-|-3cî)'.a7aa£-i-3(p''.a7af^5 etc..

En substitnarnt la valeur q[ue donne la. première, — in — cp, dans, les équations suivantes, on trouvera.

(>i| = 4 $ ($0^ 4- 36 ($ )^ cp' . $" + 4 (cî>)3 • $'". et ainsi de suite. En introduisant ces valeurs dans les équations (8)5 il viendra^

^^--^'.cp; ^ = -^ 4-". (0»'+^J'' •$•$';

. ^±-:, — y(^^y-6i>"(9f.<p'—6^'.<p.(^'f—'-i^'-{'PT'¥'; etc. 0a peut donner aux dernières équations cette forme beaucoup plus simple:-

dont il est aisé de se convaincre par ia. différentiation.. En substituant ces: valeurs daiAS l'équaLlon (2), on ar*ra

(6).....4^=^-7^l.^.cp-f-~---^--=--"-^- + . = .'±:^--•--,,,,„. >

cù. il faut prendre le signe supérieur ou intérieur^ selon que n eet un nombre pair ou impair. On se rappellera que dans u, <^\ $, il faut faire 7 z:: 0^ d'oà

il vient il) £ — ]i, uz:z^ (u)' '^' = ^^ ^' ^ =^ '^ <^''''' = ~ ^'" ''"•