LIVRE III, C H A P. VII. ao

$. i36. Les deux fonctions v}/ qu'on cherche ici, sont e et s'm i t. Dans le premier cas on a vp ou \\/ (&) m s , u zz. ^ {pi^) ziz ij. , xp'n-r— -mi, <P:zz — sin ja; ce qui donne à l'équation (6) cette forme: (B)....=^,.+7sm.a+-.^-- + -.^- + ....+ ^-^— ^.--^^~-.

Dans le second cas on a vj/zzisinze, w n: sin z" ja 5 4''^^^\cos / /a, (pm: — sin fx. En substituant ces valeurs dans l'équation (6), on trouvera (Lj ..... 3in i èzzz sin i fJL-\-y i cos ; |a . sin ]u, -|-

2 ^fj.

jyn 3n — i , cos f u. sin^iu.

Maintenant il s'agit, d'exprimer les différentielles ô'^~"^'.sin'V^ et ^^'~^cos^VsinV

par des séries ordonnées suivant les angles multiples de }j...

La trigonométrie analytique donne pour sin"^ju,, les quatre séries suivantes, selon que « est. un nombre de la forme ^s,-^s-{--7.^. 4-54"^») ^^^ 4^-1^3:

/ 2^~^sin V Z-f- cos«;x — NjCOs(n— 2)|x 4- 'N^cos(ti~^)ix~ ..o...,.— N'?? 2C0S2|a4-^N „ . l -7" ' T^

y.i'^ ^sinV z--cos/2,a.+Nj£Os(?i-=-2);x-N^cos(«-'4)]W'+ ' • • .— Nn 2C0S2]n.+^N „ .

^sin^jx.zi: -|- sin njx — NjSin(/î — 2)ja -|- N2sin(n.— 4)/^ •— .... -f N „ i sin fi j

2.^~^ain"/f z::!— sin «ft 4r J^iSiîi v^--- 2)|A •" N2sin(n— 4)P- 4" • • • • 4~ -^ " — î ^"'^•^

Nt=:i— , N^n:-^^ , N ^ zr: — — — — -, étant les , coëfEciens

éonnûs du binôme élevé à la puigsanca /?.

Pour trouver la diflérentielle de l'ordre « '— i , il faut dilTérentier la première série (4^ — 1) fois, la secondci (4>5 4" ^) ^°^^' 1^ troisième (4^) fois, et. la quatrième {Ji^s-\-'x) fois: la forme de la différentielle sera donc connue, en difTérentiant la première série trois fois, la seconde une fois, la troisième quatre fois ou point du tout, et la quatrième deux fois, parcequ'après quatre dilférentiations il revient toujours la même forme. Ainsi on. trouvera , que tautes les quatre séries donnent la même différentielle qui , pour la forme , convient avec la troisième série; et comme dans chaque nouvelle différeniiation , tous les termes sont multipliés par les nombres, 7? 5^ ou ?:;==- 2, etc. qui désignent le multiple de l'angle fx, on aura.

aoê A s T R O t^ 0 M ï E R A T î 0 N N ^ L L E

Cette série sera interrompue, lorsqu^un des nom'bres n — 2, n — 4» 6tc. devient iz: I pu :zZ2..

Ea faisant donc siiocessivement « rr: a, n nr 3 ^ etc. et en sul)stituant (-€) en (B), il viendra

(D) 6 ::^ p. -|- T sin fx -] sin 2 ju, -f- -^ • ^— - (3* sin 3 ja, — 3 sin ja) 4- . . . . . . ..

-1 — - — - . { 7i"-~^sinnfi,-N, (n'-2)^~^sJn(72-2)/i4-..±:Ny(«-2r)^~Vm(n-2r}îJt, } ;

2''-"'~I 2,3.... ri iv- V /^ \ / j

OÙ il faut observer que dans ceîîe formule , alasi que dans celles qui sui'yTont, s'il y a double sigiie '^ ou Zil, le supérieur ou i'irtférieur sera employé, selon que la lettre qui se trouve au pied du coefficient immédiate^ ment suivant (r au pied de N), est un nombre pair ou impair.

La fonction sin/s (;G) renferine~4a produit cos / /x. sin^ jul et sa différent tjelle de r^)rdre /ï — ij il faut donc multiplier les séries (7) par ços/;jlj alors, ayant substitué dans les dej^ix premières séries, cos.î'm- -cos >^/i z;: ï cos(/4- -j-«'))x -|- ? cos (7c — i) }x , et dans les deux dernières ,. cos î}x. sin /cfji zz: ïsin {k -|~ /) it -|-ôsin(iî: — i) P' , on trouvera pour les .qtiatr« cas, où n a, la forme 4-^* ^s -^ 2, ^s '^i, ou ^ s -\- 2,,

(9) . . . • a''' • cos / IX . sin'^ /x =:

■=:: -|- cos(/2 -4- /jju, -\-,cos(jî — fj/x — NiCos(n — 2 -^ / . ja — N j-cos^/z •'— 2 ■ — /" jx -j- . . , . ,

zz — cos(ri-\-i)jx — cos(« — /jja -|-NjCos(7i — 2 -\-ij}^ -|- N^cos.,7? — 2 — i)p. — . . , .^

|zz: -j- sin (n-\-î)ii -|- sin (n — î> — N^sin (n — :2-j-/))u, — NjS.in (?i — 2 — /j^-j- . . . .,

.:zz — sin{;i--4- i)}x — ^in (« — /),ix -|- NjSin (n — 2 -j-/;^ -1- NjSin(/i — 2 — /;jgi, — . . . * ,

le dernier terme des deux pi'emières séries étant zz~j-Nf?, et celui des

deux dernières zz:-|-Nn — i (sin (t 4- Ol*' — sin (/— i)!»-) , ce qui est évident

par le dernier terme des séries (j\ Comme les séries (g) ont absolument la même forme que les séries (7), on trouvera de la même manière la différentielle des quatre séries ,

, N «. «^^'"'^cosf ,'x.sin"- IX , • .M T • X I -N I / • fi— T • f "\

(10) .... 2"-. J^Jl^^i -ziz{n-\-ij^~Hm(.n-^i)p.-\-(n~ir . ^sm.(;/— zJM'

— N j (n — 2 -tJ-,/)"" "^ M^ (n — ^-\- i) P- — Nj (n — 2 — 1)'^~ ^ sin (« — 2 — /) /x -f- . . . .^ :i:Ny { (/i — a r-|-/)^~fsin {n -— »,r -f- O.M- -4- (?î — 2.r — ij'^'"^ sin (n — 2r — 0 fi } ^