LIVRE III, C H A P. Vil, aoy

Cette série se terminera, comme la précédente (8), quand n — ar devient nul,. ou zz2i\- et dans le second cas, le dernier terme sera 3Z

±:N;^-i {(/-f i)^-^sin(/-f i)^L — (/— i)^-^sin(?— i) jx};.

dans le premier cas il sera m ~+" N „ . ?'^~ ^ sin î fx,

En faisant successivemenl «^1:2, nzzz'à. etc. dans cette série, et en la-

substituant en (C), on aura

(E) sin ié—z sin î fi -\-~ Y (sin (1 -|- z") ^ -j- siri (i — i) jx)

i 7^ + -a ' — [(2 -f- 0 sin (2 -f- /) ^ -|- (2 {) sin (2 — i) fi — 2 /sin /jj.]

((/z -|- /)"~^ sin (« -|- /) fi-^(n~ i)^~^ sin (« — n )x

+?i'."3::'::^ ) -^^ [(«-^+//-^sin(/r-2-H)/^+(«-2-o^-'sinc«-5t-.:)^j

{ilNy,[(/i-2r-f-/;"~^sin(n-2r--|-i)M'-i-(«-2r--/;^~''sin(/2— -2/--/J/X].

§. iSy. Reprenons l'équation (A) dont le terme général est -j- 4 X^sin A.

Pour développer 'k^ suivant les puissances de 7, faiisons 1 -|- 1^(1 -7^) — \y^.

©nsorte que (§. i35.) X — — ,; et 1— llllii~ — ' — tZ^^ d'où il résulte-

7» , o iz: H r — a.

Cette équation est parfaitement semblable à (i) (§. i35.),, si Ton fait /xnra,

tzn y, 7 =:7^, et (|) (e) izi: Cp (j) iz: — m 0. Or on demande ici X^ =z — : la

fonction cherchée ^ (y) est doac 4^^^ — .^ laquelle étant trciuvée , on aura- X^zz:7^ v|/ (j'). Mais on a ■

^zzvp' — — 1 = — /((î)y-+-V et x}v'((|))^— — /(cp)^'-*-^^-^-V

En mettant donc 7^ à la place de 7, l'équation {6) (g, i35.) deviendra

(,i !■> . =-. . \}/ zz M-f- ^7-^ ($) ^^-t— . — ii..^ i __ .. v::+ll . gjet,.

Or (pzz^, donc ~ zz (p^ zz — 4 = — C4)/; d'où l'on tire

Toute* ces différentielles sont comprises dans la formule générale

(a) ^^^=± n ('^-l- 1) (n + ri) . . . ..(n -f r-h 0 . (cPr ^ ^

le' ligne supéri^fur ou inférieur devant être pris, selon que f est un nombre pair ou impair. En faisant donc dans l'équation (11)5 nzz/-[-3 et rzzi^

à'oB ASTRONOMIE RATIONNELLE

7iiir/-|-4 6^ rziLi^ etc. tous les termes auront le signe -j-, et l'on trouvera

<^-=zu^ iy^ m''^^ + ^' 0* -f 3) ^ C^/'-^^ |. ,• (,•! 4) (/|.5) 2! (cî))''-6 |. cet.

Or on a ^^ = v]/ (a) z= -• , (p z= (^ (2) zr — , et X^ zz: 7^^|^: ce qui étant substitué dans la dernière série, donnera

Maintenant on a (§. i35.)

(A) . . . . tr=: £ -irj X (la) X (E^ z= (D) -f-y • (12) . (E^j où il faut faire successivement, dans (12) et dans (E), /mi, izh'è, iziz3^ etc. et pour chaque valeur de i, dans le terme général de (E) et de (^D), rizzzS, 7îzz:4, etc.

§. i38. Le rayon vecteur s est donné par l'équation II. (§. i35.),

— ni I — y cos £ :

il s'agit donc de trouver cos £. Or l'équation (6) (§. i35.), dans laquelle (p ziz — sin ju,, donne chaque fonction de £=i:^s et par conséquent aussi cos e.

Faisant donc \(/ iz: cos £, on aura w 11:4' (/x) m cos/x, et 4^ n: — ^ m — sin|X|

d'où il vient (^6),

(F)....cosg=icos/x — 7snrM' : ' •• • • ; — 7 ^ , ^, •

Pour trouver la diffcrentielle de sin"' fx del'ordre n — 2, il faut différentier la première des séries (7) (§. i36.) deux fois, la seconde aucune fois, la troisième trois fois, et la quatrième une fois: toutes les quatre auront donc la forme de la seconde série j et en multipliant chaque terme par le coefficient qui naît de la différentiation (n ■ — 2) fois répétée, on trouvera ^ • — - — ^pr^ — zn—n^ ^ cos n fx -}- Nj (« — a;'* ^ cos (/»— 2; /x —,..,. .

H^ N^ (n — 2 r)^~' cos{n — ^ 3 r) fx ,

n où il faut toujours prendre r plus petit que — • Cela donne

(F) .... cos £ zz cos |x -j (cos 2 /x — - 1) -^ - — (3 cos 3 /x — 3 cos /x) "f- • ' • ' • •

771—1 ^«""^cosnjx — Nj(n — 2)"''~'^cos (ti — 3) ,'x=-|- • • •

3^— i.3.3...(7i^i]|-+-î<^^ (^r»— . ar/'^cos (n— 2r; |x

XI V RE lîl, C H A P. VII.

aEiî sutslituant cette valeur dans l'équalion — z=: i — 7 €0S e, on aura

(<J) .... —m-l • — 7cosp- — C0S2/A — • (cos3p- — cosf^O'— • • »»

■■a yn

cos nii — IN" j (n — 2)'"' ^ cos ( « — -2) \i 4- . . . .

2^— ï. ^ . 3 . . . (n— i) :| -f- Ny (« ^ 9 .r)*^-= cos (n — 2 r) H, J '

La série que iioiis avons trouvée pour v (§. 137.), a cette forme, t» izi ju. -f- M^^^ sin /x 4- M^^) sin 2 p. -f- M^3) sin 3 /x -|- cet. ^uand les coëfficiens M seront connus, on trouvera aussi le mouvement

-vrai w. En effet on a -— =11 r|-M^^^ cosn-|-^M^*Uos2p, -|-3M'3 cos3/j,-^ceto

ei wznm - — . Si donc m -e&t le mouvement moyen pour une heure, le 'mouvement vrai sera (H) ....wzizm {I -f M'') cos jtt -j- 2M^^^ ces 2 |ul 4- 3 M^^) cos 3 |a -f- cet. } , §. 139. Si l'on substitue dans (A) (§. 137.) les valeurs de (D), (12)^ -et (E), il viendra

7^ (I) ..... ^ r^ija ~f- 7 sin ju, -j- — sin a/Li 4-

yn

£«- -- 1 2 3 ~ ^ ' " ^|A-N^('?-2)^~^-sin(n-2)H,-h....ztN^(«-2r)^~"^sin(7z«2?'> l

smi}x-\ 7 (sin(i -f-O ju. + sin (i — ^ jx)

H- -r- [(2+ i) s'm{p.+i)fx+(2-'i)sin(p.^i) ju,-2 z sin z fi] |(7î+0"'^^sin(7i4.i7ju,+(n-/;^~''sin(7z-/>]u.j

2n-a.ô...n {=t ^^^''- ^ r+.O^-^ sin («- 2 r+z) ^ I it N^ (w — 2 r — /; ^""^ sin (n — 2 r — 0 M- En faisant la multiplicatron indiquée dans l'équation (I), et en la développant, ainsi que l'équation (G), suivant les sinus et cosinus des angles multiples de }i, on trouvera, jusqu'à la seizième puissance de 7,

(K), . .>t'iz:/A4-7.sin/x.

-f-'V^sinafx