LIVRE III, C H A P. VIII

lieu de la couper, ce qui donnerait deux points A. Si la planète a été observée assés près des apsides, pour qu'on puisse supposer S AT z:::! go*', on connaît J.rois parties du triangle S AT, d'où l'on trouvera immédiatement ASzz^.

§. 145. La meilleure méthode pour déterminer la ligne des apsides de la terre, est sans doute celle de Kepler (§. 90. 91.); mais pour les autres planètes, il faut se servir d'une des méthodes suivantes.

I. L'observation de deux longitudes héliocentriques M^ N, donne, eora.me ci-dessus, les angles MSNziza et /nS«=z3. Connaissant, par les méthodes précédentes, l'excentricité exactement, et le lieu des apsides à peu près, on aura les anomalies vraies ASM, A S N, et les équations du centre correspondantes, g', h\ d'où l'on tirera

ASm:=:ASM-f-/, ASn = ASN-|- A', donc mS/i=z a -|-/-f A'zr (5'.

Si p' n'est pas égal à (3, il faut changer les équations g\ h' jusqu'à cô qu'on trouve a. ■\- g' -^^ h' zzL ^ \ et comme l'excentricité est supposée exacte, on ne changera que l'anomalie , c'est-à-dire l'aphélie. Mais il est plus sûr de faire les observations près des apsides, où l'équation est nulle, et par conséquent une erreur commise relativement à l'excentricité, influe moins sur les équations ^, h'. En général, la ligne des apsides est déterminée par la différence qui se trouve entre p' et (3: elle le sera donc d'autant plus exactement, que (3' — p change plus rapidement. En nommant g, h, les véritables équations, on aura p' — ^zH-g'-^-h' — g — h, dont la rariation dg'-\-dh^ sera la plus grande, lorsque dg' et dh' sont des maxima, et tous les deux ou positifs ou négatifs: d'où il suit, qu'il faut choisir deux observations qui sont faites peu de tems avant ou après l'aphélie, et le périhélie. Soient par ex. a et p les deux observations; alors, la ligne des apsides étant transportée de AB en aè, les deux équations g% h', diminuent en approchant des apsides. Mais si l'une des observations était faite après l'aphélie, et l'autre avant le périhélie, en a et 7, g' diminuerait, tandis que â' augmenterait^ §' — p ne changerait donc qu'insensiblement. Il est donc plus sûr, de comparer une observation près des apsides en a, avec une autre près de la plus grande équation en M: alors d^ sera un max^irnum^ et d h' nul.

lî II est aisé de voir, que les méthodes précédentes (§. i44' IL Hî.) sont également applicables à ce problème, avec cette différence, que les obser\aiions (IL) seront faites près des apsides, afin que les équations calculées avec une certaine excentricité, changent plus rapidement, si la ligne des apsides est déplacée. Les observations (ÎII.) au contraire devront être faites aux environs des moyennes distances, pour que le rayon vecteur AS éprouve un plus grand changement par un petit déplacement des apsides.

§. a 46. Les méthodes précédentes donnent l'un des deux élémens, les apsides ou l'excentricité, l'autre étant exactement connu: elles servent donc h corriger mutuellement, l'un par l'autre. On se rappellera que deux observations, faites aux apsides ou dans les moyennes distances, sutîisent pour cet effet. En conséquence, si Ton y ajoute une troisième observation, éloignée des deux autres d'environ 90", on atteindra les deux buts, et l'on pourra corriger à la fois les trois élémens elliptiques, le lieu des apsides^ Vexcenir'idiêj et Vc'poque,

Supposons que les trois observations soient M, N, a, et que A SB soit la véritable ligne des apsides, qui, par une fausse hypothèse, a été placée en a hy ensorte qu^'en nommant le petit angle AS^iizco, et la vraie longitude de l'aphélie A, sa longitude supposée sera A'ii:A-}-to. En ôtant A -{- w des longitudes héliocentriques, observées en M et N, on aura les anomalies vraies aSMiizi;, cSNzrw^ leurs justes valeurs étant A S M m 1; -f- '^^j ASNiz:j^ — tu. Soit la plus grande équation zng^ et la valeur qu'on lui a attribuée suivant les tables ou une fausse hypothèse zzz g^ zn g ■-\- ^ ', la vraie dpoque, ou longitude moyenne lors de la première observation en M ou 772 mL, celle qu'on a supposée ==: L' zn L -|- ^ '• il s'agit de déterminer les trois erreurs w, ^, X Les observations donnent les longitudes vraies en M zn M, et en Nzi:N, donc l'angle MSN z=: N — M zr a, et le tems écoulé donne l'angle inSn-zzQ, On trouvera par le calcul, les longitudes moyennes

en m zz L -4- X , en « m L ^- X -j- Pi les longitudes vraies

en M — M'zziL + X—^- — ^, en N zzN'zz L + X -|- (3 H-â' -|- ^