LIVRE lil, C H A P. XL

En supposant encore, que n' y' est la moyenne proportionnelle entre ny et tl' y" , on a«ra c^'t'^pz--c^tt!^p^ donc il^zz:tf, ce cfui étant substitué dans Féquation n''^ y'^znc^t'^ p-ziLnn*' yy" , donne p m— — ^^» En introduisant cette valeur dans l'équation (H), il viendra

( J) xzn: ■ -

Maintenant on peut faire, pour une première approximation, y^y"zzj, ce ^ui domieraj par Féquation (lo}^

- := 7T- = I 4- v^' — v', d'où l'on tire .

En substituant cela en (D), on aura

2 B {^"-f- 1 ) V'^ sïn3^ i gin (/— (?0 = (/' -j- A) sin V (2 Y^ sin3 d' -f- c"- it" sin3 2') , ©lï (K) —77 — ■— sin (z'— (/) -» sin s' m r- •

La même supposition, yziz/'z~ïj donne (16) /''zz — , de sorte que l'équation

(K) ne renferme qu'une inconnue z'y et l'on aura

(i"?) -^ — -— — —i-r — - Bsino- ^sins (cot r — --t. — -^r— : — C0S2 > i

Ayant donc calculé un angle w' par la formule

Icot w'zï cot tf' — r^f — " ■ — , et en faisant pour abréger,

(îbj....< W' -^ A) c^'tr' sin ^' ^ , , , „, .

/-—Ti — ' N OX7/-. '3 jr~- — ;^^^Vï -s' sera donne par l'équation

(L) ..... Q sin^ / = sin (2' — wO- Cette équation sera facilement résolue par des tatonnemens. Comme z' esit ^ un très- petit arc, on peut d'abord négliger la quatrième puissance de son sinus, ce qui donnera sin (2' — wjrza, ou /zzw'. En faisant donc s'irito'-f"^''* ©n aura à peu près Q (sin tJ -^ ^^ cos (J)^ zn sin ^', ou

Q (sin^ w' -^ 4 ^' sin^ w' cos b/-{-6 ^'^ sin^ w' cos^ u/ -f- cet.) :^ ^' — ^ -j- eei On trouvera donc par des approximations successives,

fl en mettant dans le troisième terme ^'^zra'^, on aura

s «=a a Q sm* cg' sm s w*

, ®t aimi de suit

270 ASTRONOMIERATIONNELLE

On fera peut-être mieux, en donnant à ^' une valeur de quelques minutes. On calculera Q sin''- (w' -f- ^0 := Q'; on donnera ensuite à ^ une valeur un peu différente ^^ et on calculera avec cette nouvelle valeur, Qsin4(w'+^'0rQ'^ Les deux différences, Q' — sin^', Q''— sin^'', feront voir, comment il faut changer ^', pour que Q'— sin^' devienne nul, ou Q sin^s'— sin (^2' — w').

Ayant ainsi trouvé z' , on connaît (§. 171. 172.) (,9)....è'G'=z/-<7', hia-d!--J, a^"^"b'Jr^'. CD=:y+.^ '-'-■— ^^ On trouvera z, z'^, v, v" , au moyen des triangles GD'C, CD C, qui donnent

. ^ ^,, sinD''sinCD' . ^/ wr sin D sin C D

H "^CC'-— — ^^-, sinCC ==— — ^,^, donc

sinDsinC'D sin C^ C^|^ n^ .g. JU

, v'-y^sin D sin CD

C^) *" -~ linD'smCiy" '

En combinant de la même manière les triangles CD'' C, GD'C'', on trouvera

„ v''u'sin D'^sin C^

où CD', C^D', sont encore inconnues. Mais en combinant l'équation (M) avec (8) (§. 172.), on trouvera

Vsind •/aj'sinDsinC'D , 3in(CD' — '6) V sin A îln D^

sin (CD''— '6) sin D'sin CD' ' ^ sm C D' •/'''y'sin û sin C' D *

et cot 'i - cot c ly = 7-^J„D',lc"f— 7ï . ce qui donne

(ao) ..■'■■■ cot C D^= eot 'b - ,>^,,T„ p"l'^-7^ . et par l'équation (M), ^. On trouvera de la même manière, au moyen des équations (N) et (8),

(21) cotC'D'— cot'^'^— , > r^n r^-n^f -TIT/ > ^t par (N), v'\

Cela donne

(as) sin s zr , sin 2 = — , A L = rf — 2-,

M'C— d!'— z", ""CD^' 1= ''b 4- z, C'D = i'' + z". Maintenant on connaît dans les triangles CD'' G', GD'G", G'DC", les angles D", D', D, et les deux côtés adjacens, d'où l'on trouve CG', C C", G'C. On connaît donc, outre les quantités précédentes,

r les trois rayons vecteurs, v, v' , -u", (23)... N les angles de commutation, AC, A' G', K' Q!\

les angles décrit» autour du soleil^ CCiru'— u, CC''i:w''-*w^ C'C'^irii — u.

L I V R E in, C H A p. XL 373

Mais ces quantités sont trouvées par la supposition que y =:/' zry zz i : il faut donc les corriger par le moyen des véritables valeurs de y, y' , y". §. i'j4' En nommant

les anomalies moyennes et excentriques, )u,, |ul', }i!\ et x, x'j x"^ on aura

[if — [i—-~ im— -^ (§. i-)^. (i3)).

Mais (§. ia8.)

(24) n)ziza{i — 7cos:r)^ lânijc — 7 sin a;^ donc

— zn (af ''-' x) — 7 (sin :r' — sin :»;), ou en faisant ^^^p

(a) — zr 2 r — a 7 sin r . cos •

On a de plus (§. 128.)

(25^ cos u = — r , d'où l'on tire

^ ' 1 — 7 cos X

tf ^ (^2Mm:çu^1 u (^+21ii=fJ^) , donc

2 n[i — 7eosx) ' 2 - 2(^1— 7cosx) '

COS — =:cos— 1/ — ^ , sin — izisin — y — , et en substituant

a a » I — Vcosx 2 2,' I — 7cosw

I — 7 cos ^ zz — , a

— =z:cos-y— ^^ ^, sin - zzsm-l/-^^ -^

cos — zz cos - y -^^ — - — -i sin — iz: sm — y — ^ — •

Il en suit

cos

fl (1 — 7) cos — cos h a (i -1- 'V) sin - sin

sm zz a ( sin — cos — — cos — sm — ) y 7-,

OU en faisant zz q,

a (cosr>-7cos— --^j ^^,

(*)... cos 7±: — -:=: * (c)...sin9rz:««inr,>/— ^.

Il suit de {b), 7 cos — * z:: cos r — ^^^ cos 7 ; ce qui étant substitué &x {a), donne

2^i ASTRONOMIE RATIONNELLE

— zzz^r — sin 2 r H sin r cos ^^.

Mais {•i^)...v-\-v'—a{2-^y(cosx'-j-cosx)}z=Z2ai^i''yco8rcos——J — -4-cosrfcosr — 7cos— — ]> :i:2û:sm^r4-2COsrcos9'yi;'u', donc

aa ^sin'^r-

OU en faisant

- (aÔ)......- — i^a/, et /-t-sin^^— ^#

2 cos <7

En substituant cela en (a), et faisant -

j[2j!j cos g yvv^)'^

(^) m—-^ ^y le.

Il s^agit de trouver /z=l^(§. ^:3.(.5))r.;^^^^-^(§. 17- («))^ ct^A(i-yg^ cj^^ pg^. ^^^y En substituant (:i7), on aura

2^)1/slng cos g asinr cosg r co/i/

,,„^ ^/'-__fil- m^, d'où Ton tire par (c/), /'-i-^, done

X, et o renfermant les angles :^ , x, qu'il faut éliminer, ce ^ui^ se fera le plus aisément, en développant ^ suivant les puissances de sin ^ =?.

- La série connue, cprzsincp^- ^-^ + '^^^ + -^' <^«---» «* mettant x' — a;=z^r k la place de (p,

^=' n — ~"^ mT5 ^ -^.7 ^

a*, sin' r

^(. .iaV)^-f ^- .' -.ia=.;5+^--^. -«■'='■)'+«'• =