CHAPITRE IV

Les équations de la longitude de la lune,

§. igS. JLJ'équation de 5° ayant été conclue par Hipparque et Ptoîéinée des éclipses seules i§. 192.), elle ne pouvait indiquer que les inégalités de la lune dans les syzygies, l'équation du centre étant en même tems un maximum, c'est-à-dire, les lignes des apsides et des syzygies étant perpendiculaires l'une à l'autre. Plolémée fut le premier qui observa la lune hors des syzygies, en se servant d'un instrument qu'il avait imaginé exprès pour cet usage (^)j et ces observationt lui apprirent, que la plus grande équation de 5*, appliquée suivant la théorie de l'épicycle, ne satisfaisait pas aux observations hors des syzygies^ que l'erreur de ce calcul, qu'on pouvait regarder comme une seconde équation, confondue avec la première de 5°, augmentait à mesure que la lune s'éloignait des syzygies, et qu'elle était un maximum dans les quadratures, où la première équation était la plus grande, et que par conséquent la lune était également 90° des apsides, ensorte que les apsides coïncidaient avec les syzygies^ mais que dans les quadratures où, la lune étant aux apsides, la première équation s'évanouit, la seconde était aussi nulle, ensorte que le calcul suivant la première équation se trouva juste, aussi bien que dans les syzygies; d'où il résulta, que l'équation de 5® était en général conforme aux observations, lorsque les lignes des apsides et des syzygies étaient perpendiculaires l'une à l'autre (^). Ces circonstances sont parfaitement d'accord avec la théorie moderne, suivant laquelle cette seconde équation est fonction de sin (fi — 2ti\ /h étant l'anomalie mo-

(l) ^linag, Llb. V. Cap. i, {SU] Almag. LU. V- Cap. a.

yenne (îe la lune, et y] son élongation du soleil. Dans les, quadratures, -y^ est 90* ou 11 °f donc 27^ nr 380**, et sin (ju, — ^yi)'=^ — sinv-, ce qui est nul, lorsque iizno ou jazziiSo', mais un maximum, si jxzizgo'* ou fi:zzi<^o*.

Ptolémée trouva de la manière suivante, que cette seconde inégalité était de '-i° io\ Une observation Ç) lui donna la longitude vraie du soleil m io^i8°5o', celle de la lune :zi 'j^ g° ^0' ^:z Ç . Les mouvemens moyens étant connus, il calcula pour cette époque, les longitudes moyennes du soleil :zz io^i6'&7'=:M, de la lune =i«j^']7*2o'z=: L, et Fanomalie moyenne de la lune =1187^ 39' z= fx, d'où il résulta la première équation ;zz — 4*^^'» Or la somme des deux équations était C — hzz — 7*4°'» donc la seconde équaiion zz:^ — ^'^^\ ce qui était son maximum, parceque M — 'Lzi:^'if'j'zz:—y\, et que par conséquent la lune était dans sa dernière quadrature: p, — ar^ étant 265*33', sin (/a, — 2-)3) était à très-peu-près izn- — i. En prenant le milieu de plusieurs ©bservations semblaîoles^ Ptolémée trouva le maximum tizi'^I^o'.

La première équation était donc un minimum :zz 5** dans les syzygîes, elle montait à ^* S^o' dans les deux quadratures. Il fallut en conclure, que la cause qui augmentait la première équation dans les quadratures, devait la diminuer de la même quantité dans les syzygies, et que par conséquent, elle devait avoir sa véritable valeur moyenne entre ces deux aspects, c'ést-à-dire dans les octants, il en résulta, que la seconde équation avait sa plus grande valeur positive, lorsque les syzygies coïncidaient avec les apsides, qu^'elle avait la plus grande valeur négative, quand les lignes des syzygîes et des apsides étaient perpendiculaires Tune à l'autre, et qu'elle était mdle, lorsque ^ces deux lignes faisaient un angle de 45'*- En nommant donc la première équation g, la seconde h, on 3l g A;- h :ii. ']° ^o\ g — h zz: h° ^ donc ^ HZ 6" 20', Àzzi'ao'. Ptolémée trouva le même résultat par le procédé suivant.

La première équation, étant celle du centre, est nécessairement un maximum, lorsque l'anomalie est i: 90*, ou que la droite qui joint la terre et la lune, 1t {Fig.So.)^ est tangente à l'épicycle. Or cette équation CT i? zz gétant Tariable, à cause de la seconde équation, de 5® à 7*4°'» J^ *'^^ ^''^U

(I) yi/m. L, V. Cap. 3.

Ï.ITÎIE ÏV, C H A P. IV. 3i3

qu'en nommant le rayon de i'épicycle Cic=:c, celui du cercle déférent TCzii«; donc sin^rz: -., le- rayon a est variable, parceque suivant l'iiypothèse de Tépicycle, c est constant: en d'autres mois, la terre n'est pas dans le centre du déférent, ou le centre C de I'épicycle décrit la circonférence d'un cercle excentrique. Ainsi la première inégalile est expliquée par ïépicycle^ ia seconde par Vcxcentrique. :Si la lune est 90* des apsides et des syzygies, i'-équation g est un maodmum, donc a un minimum, ou le centre de I'épicycle est daiis le périgée de l'excentrique j mais la lune étant dans les syzygies, ^ est un minimum, a un maximum, ^et G dans l'apogée: d'où il suit, que l'épirycle G passe du périgée à l'apogée dans le quart d'un mois, et qu'il fait ^ne révolution dans un demi-mois synodique. Supposons donc, que G ait été dans l'apogée de l'excentrique, et que k lune ait été à la fois en conjonction avec le soleil, et dans la ligne des apsides de répicycle LMT: cela posé, au bout d'un demi-mois synodique, I'épicycle C sera encore dans l'apogée, la liine étant apposée au soleil, et avancée d'à peu près j3* au delà des apsides de I'épicycle, à cause de la différence des mouvemens anomaïistîque et synodique. Pour expliquer toutes ces inégalités de la lune, Ptolémée employai le procédé suivant (^)-.

Soit {lig. 62.) T la terre, YT.^ la ligne des ëquinoYes., supposée immobile, et A© û ^ un cercle concentrique à l'écliptique, dont le centre est en T. Soit sur T A le centre du cercle excentrique A D P en E, A et P étant Fapogée et le périgée de l'excentrique, ssur la circonférence duquel le centre G de I'épicycle CFG fait une révolution suivant la direction CD, dans un mois périodique, tandis que la lune parcoiîrt, dans un mois anomalistique, la circonférence de répic3xle suivant la direction CG (§. 191.). Supposons qu'au commencement de l'époque, l'apogée A ou le centre E de l'excentrique, le centre G de I'épicycle, le noeud ascendant, la lune, et le soleil, aient tous été sur la ligne TY, la lune étant en conjonction, dans ie noeud ascendant, et dans l'apogée, la plus grande équation ^ ou l'excentricité—étant un minimum zn ^'^ ^ et les longitudes du soleil et de la lunezzio.

Supposons qu^au bout de ^4 ^i^eures tout ail pris la situation que présente la j"ig. 5J. Cela posé^ "YTCrrazz i'd°i(/'dy^ sera le moypn mouvemen! périodique' de la lune, B C C m (3 zn i3**.y 54" le mouvement unomalistique, et 'YTQ le mouvement rétrograde des noeuds, qui est 3' 1 1'^ par jour, fcinsi qu'on le verra ci-après. Or en a vu, que Tépic^cle G fail, dans un mois synodique^ deux révolulions sui* la circonférence de Texcenhique ACP, et que par conséquent il s'est éloigné de A du doublé du mouvement S}' ru clique, AT G zn ô m 54*:Aa''53''':, le mouvement létrograde de Fapogée A de l'exconlrique seia. donc m ô.' — azzi ii° la'ib/'., ^

Dan& 1p& quadratures, G eal dans le périgée P, et la plus grande équation LTP devient un maximum ziz'j° ^lo'-,. mais si la lune est en même tems sur la ligne; des, apsides TPQ, toute l'équation g est nulle, quelle que soit

la dislance G T. Dans les syzygies, G est dans l'apogée A, l'équaiion g de-

AD ifient un mimjnumz:z:b'^zzL AT D,, et l'excentricité -—zrsin 5* iz: 0,0869405 1=; 7^